PAGE9-全國普通高等學校招生統一考試（理工農醫類）數學

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至2頁。第II卷3至8。共150分。考試時間120分鐘。第I卷（選擇題共60分）注意事項：l．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目、試卷類型（A或B）用鉛筆涂寫在答題卡上。2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后。再選涂其它答案，不能答在試題卷上。3．考試結束。監考人將本試卷和答題卡一并收回。參考公式：三角函數的積化和差公式sinα=cosβ[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα=sinβ[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα=cosβ[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα=sinβ[cos(α+β)-cos(α-β)]正棱臺、圓臺的側面積公式：S臺側=(c'+c)L/2其中c'和c表示圓臺的上下底面的周長，L表示斜高或母線長。臺體的體積公式：其中s,s'分別表示上下底面積，h表示高。一、選擇題：本大題共14小題；第1—10題每小題4分，第11—14題每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是A．（M∩P）∩S

B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩

D．（M∩P）∪

2．已知映射f：AB，其中，集合A={-3，-2，-1，l，2，3，4，}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且對任意的a∈A，在B中和它對應的元素是{a}，則集合B中元素的個數是A．4

B．5

C．6

D．73．若函數y＝f（x）的反函數是y＝g（x），f（a）=b，ab≠0，則g（b）等于A．a

B．a-1

C．b

D．b-14．函數f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在區間[a，b]上是增函數，且f（a）=-M，f（b）=M，則函數g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上A．是增函數

B．是減函數C．可以取得最大值M

D．可以取得最小值-M5．若f（x）sinx是周期為∏的奇函數，則f（x）可以是A．sinx

B．cosx

C．sin2x

D．cos2x6．在極坐標系中，曲線ρ＝4sin（θ-π/3）關于A．直線θ=π/3軸對稱

B．直線θ=6/5π軸對稱C．點（2，π/3）中心對稱

D．極點中心對稱7．若于毫升水倒人底面半徑為2cm的圓杜形器皿中，量得水面的高度為6cm，若將這些水倒人軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是8．若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，則（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值為A．l

B．-1

C．0

D．29．直線x+y2=0截圓x2+y2=4得的劣弧所對的圓心角為A．π/6

B．π/4

C．π/3

D．π/2

10．如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，EF=3/2，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為A．9/2

B．5

C．6

D．15/211．若sina>tga>ctga(-π/2<a<π/2)，則a∈A．(-π/2,-π/4)

B．（-π/4，0）C．（0，π/4）

D．（π/4，π/2）12．如果圓臺的上底面半徑為5．下底面半徑為R，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側面積的比為1：2，那么R=A．10

B．15

C．20

D．2513．已知兩點M（1，5/4）、N（-4，-5/4），給出下列曲線方程：①4x＋2y-1=0②x2+y2=3③x2/2+y2=1④x2/2-y2=1在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是A．①③

B．②④

C．①②③

D．②③④14．某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有A．5種

B．6種

C．7種

D．8種第Ⅱ卷(非選擇題共90分)注意事項：1．第II卷共6頁。用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中。2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚。二、填空題：本大題共4小題；每小圖4分，共16分把答案填在題中橫線15．設橢圓x2/a2+y2/b2＝1（a>b>0）的右焦點為F1，右準線為l1。若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點F1到l1的距離，則橢圓的離心率是___________________。16．在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有________________種（用數字作答）。17．若正數a、b滿足ab＝a+b+3，則ab的取值范圍是_______________。18．α、β是兩個不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線。給出四個論斷：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：______________________________________________________。三、解答題：本大題共6小題：共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟19．（本小題滿分10分）解不等式20．（本小題滿分12分）設復數z＝3cosθ＋i·2sinθ，y=θ-argZ(0<θ<π/2)求函數的最大值以及對應的θ值21．本小題滿分12分如圖，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，點E在棱D1D上，截面EACD1B，且面EAC與底面ABcD所成的角為45°，AB＝a（Ⅰ）求截而EAC的面積：（Ⅱ）求異面直線A1B1與AC之間的距離；（Ⅲ）求三棱錐B1—EAC的體積22．（本小題滿分12分）上圖為一臺冷軋機的示意圖；冷軋機由若干對軋輥組成。帶鋼從一端輸人，經過各對軋輥逐步減薄后輸出。（1）輸入帶鋼的厚度為a，輸出帶鋼的厚度為β，若每對軋輥的減薄率不超過ro，問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥？（一對輥減薄率＝輸入該對的帶鋼厚度－從該對輸出的帶鋼厚度）輸入該對的帶鋼厚度

（2）已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長均為1600mm。若第k對軋輥有缺

陷，每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點，在冷軋機輸出的帶鋼上，疵點的間距為LK。為了便于檢

修，請計算L1、L2、L3并填人下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變沮不考慮損耗）

（23）（本小題滿分14分）

已知函數y=f（x）的圖象是自原點出發的一條折線。當n≤y≤n+1(n=0,1,2...)時，該圖象是

斜率為bn的線段（其中正常數b≠1），設數列{xn}由f（xn）=n（n=1，2，...）定義

（1）求X1、X2和xn的表達式；

（2）求f（x）的表達式，并寫出其定義域：

（3）證明：y=f（x）的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標大于1的交點。（24）（本小題滿分14分）

如圖，給出定點A（a，0）（a〉0）和直線l：x=-1，B是直線l上的動點，∠BOA的角平分線交AB于點C求點C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關系。

2021年全國普通高等學校招生統一考試（理工農醫類）數學參考答案說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則。二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算。第（1）－第（10）題每小題4分，第（11）－（14）題每小題5分，滿分60分。（1）C （2〕A （3〕A （4）C （5）B（6）B （7）D （8）A （9）C （10）D（11）B （12）D （13）D （14）C

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分（15）1/2（16）12（17）[9,+∞]（18）m⊥a,n⊥β,a⊥β==>m⊥n或m⊥n,m⊥a,m⊥β==>a⊥β三、解答題（19）本小題主要考查對數函數的性質，對數不等式、無理不等式解法等基礎知識，考查分類論的思想，滿分10分解：原不等式等價于————一一一一4由①得logax≥2/3由②得logax<3/4,或logax>1,由③得logax>1/2.由此得2/3≤logax<3/4,或logax>1.——一一一一8分當a>1時得所求的解是{x|≤x<}U{x|x>a};當0<a<1時得所求的解集是：{x|<x≤}U{x|0<x<a}.——一一一一10分（20）本小題主要考查復數的基本概念、三角公式和不等式等基礎知識，考查綜合運用所學數學知識解決問題的能力，滿分12分。解：由0＜θ＜π/2得tgθ＞0。由z=3cosθ+i·2sinθ,得0＜argz＜π/2及tg(argz)=2sinθ/3cosθ=2/3tgθ.故tgy=tg(θ-argz)=(tgθ-2/3tgθ)/(1+2/3tg2θ)=1/(3/tgθ+2tgθ)∵3/tgθ+2tgθ≥2∴1/(3/tgθ+2tgθ)≤/12.當且僅當3/tgθ=2tgθ(0<θ<π/2時，即tgθ=/2時，上式取等號。所以當θ=arctg/2時，函數tgy取最大值/12。由y=-argθz得y∈(-π/2,π/2).由于在（-π/2,π/2）內因正切函數是遞增函數，函數y也取最大值arctg/12.12分(21）本小題主要考查空間線面關系、二面角和距離的概念思維能力、空間想象能力及運算能力。滿分12分。（1）解：如圖，連結DB交AC于O，連結EO。

∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC。又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC。∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角，－－－－2分∴∠EOD＝45°。DO＝(2)1/2/2a,AC=(2)1/2a,Eo=[(2)1/2a·sec45°]/2=a.故S△EAC=(2)1/2×a2/24分 （II）解：由題設ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC。又A1A⊥A1B1，∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線。－－－－6分∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO，∴D1B∥EO。又O是DB的中點，∴E是D1D的中點，D1B＝2ED＝2a。異面直線A1B1與AC間的距離為(2)1/2a。－－－－8分(III)解法一：如圖，連結D1B1。∵D1D＝DB＝(2)1/2a，∴BDD1B1是正方形。連結B1D交D1B于P，交EO于Q。∵B1D⊥D1B。EO∥D1B，∴B1D⊥EO又AC⊥EO，AC⊥ED，∴AC⊥面BDD1B1∴B1D⊥AC∴B1D⊥面EAC。∴B1Q是三棱錐B1－EAC的高。－－－－10分由DQ＝PQ，得B1Q＝3B1D/4＝3a/2。∴VB1－EAC＝(1/3)·[(2)1/2a2/2]·(3/20=(2)1/2·a3/4.所以三棱錐了－EAC的體積是(2)1/2·a3/4.－－－－12分解法二：連結B1O，則VB1－EAC＝2VA－EOB1。∵AO⊥面BDD1B1，∴AO是三棱錐A－EOB1的高，AO＝(2)1/2·a/2在正方形BDD1B1中，E、O分別是D1D、DB的中點（如右圖），則S△EOB1=3a2/4.∴VB1-EAC=2×(1/30×(3a2/4)×[(2)1/2a/2}=(2)1/2·a3/4.所以三棱錐B1－EAC的體積是(2)1/2·a3/4.－－－－12分。 （22）本小題主要考查等比數列，對數計算等基本知識，考查綜合運用數學知識和方法解決實際問題的能力，滿分14分。（I）解：厚度為a的帶鋼經過減薄率均為ro的n對軋輥后厚度為a(1-ro)n.為使出帶鋼的厚度不超過β，冷軋機的軋輥數（以對為單位）應滿足a(1-ro)n≤β，即(1-ro)n≤β/a－－－－4分由于(1-ro)n>O,β/a>0,對上式兩端取對數，得nlg(l-ro)≤lg(β/a).由于lg(1-ro)<0,所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].因此，至少需要安裝不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整數對軋輥－－－－7分（II）解法一：第k對軋輥出口處疵點間距離為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼的體積為1600a×(1-r)k×寬度（其中r＝20％），而在冷軋機出口處兩疵點間帶鋼的體積為Lk×a(1-r)4×寬度。因寬度相等，且無損耗，由體積相等得1600·a(1-r)k=Lk·a(1-k)4(r=20%),即Lk=1600·0.8K-4.－－－－10分由此得l3=2021(mm),

l2=2500(mm),

l1=3125mm)填表如下：軋輥序號K1234疵點間距LK（mm）3125250020211600

－－－－14分解法二：第3對軋輥出口疵點間距為軋輥周長，在此處出口的兩疵點間帶鋼體積與冷軋機出口處兩疵點間帶鋼體積相等，因寬度不變，有：1600=L3·(1-0.2),所以L3=1600/0.8=2021(mm).－－－－10分同理L2=L3/0.8=2500(mm).L1=L2/0.8=3125(mm).填表如下：

軋輥序號K1234疵點間距LK（mm）3125250020211600－－－－14分(23)本小題主要考查函數的基本概念、等比數列、數列極限的基礎知識，考查歸納、推理和綜合的能力。滿分14分。（1）解：依題意f(0)=0，又由f(x1)=1,當0≤y≤1時，，函數y＝f(x)的圖象是斜率為b0=1的線段，故由f(x1)-f(0)/x1-0=1得x1=12分又由f(x2)=2,當1≤y＜2時，函數y=f(x)的圖象是斜率為B的線段，故由f(x2)-f(x1)/X2-X1=b即x2=1+1/b．2分記x0=0,由函數y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn-1，故得f(xn)-f(xn-1)/xn-xn-1=bn-1,又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1；∴xn-xn-1=(1/b)n-1,n=1,2,…。由此知數列{xn-xn-1}為等比數列，其首項為1/b，公比為1/b因b≠1，得xn=(xK-XK-1)=1+1/b…+1/bn-1=b-(1/b)n-1，即xn=b-(1/b)n-1/(b-1).——一一6分(II)解：當0≤y≤1，從（I）可知y＝x,即當0≤x≤1時，f(x)=x當n≤y≤n十1時，即當xn≤x≤xn+1時，由(I)可知f(x)=n+bn(x-xn)(xn≤x≤xn+1,n=1,2,3…）——一一8分為求函數f(x)的定義域，須對xn=b-(1/b)n-1/(b-1)(n=1,2,3…)進行討論當b＞1時,xn=b-(1/b)n-1/(b-1)=b/(b-1)當0＜b＜1時，n→∞，xn也趨向于無窮大。綜上，當b>1時，y=f(x)的定義域為[0,b/(b-1));當0＜b＜1時，y＝f（x）的定義域為[0,+∞]——一一10分（24）本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎知識，以及求動點軌跡的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力。滿分14分。解法一：依題意，記B（－1，b）（b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y＝0和y＝－bx，設點C（x,y），則有0≤x<a,由OC平分∠AOB，知點C到OA、OB距離相等，根據點到直線的距離公式得|y|=|y+bx|/①－－－－4分依題設，點C在直線AB上，故有y=[-b/(1+a)](x-a).－－－－6分由x-a≠0，得b=-(1+a)y/(x-a).②將②式代入①式得y2[1+(1+a)2y2/(x-a)2]=[y-(1+a)xy/x-a]2,整理得y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0.－－－－9分若y≠0，則(1-a)x2-2as+(1+a)y2=0(0<x<a);若y=0,則b=0,∠AOB＝π，點C的坐標為（0，0），滿足上式，綜上得點C的軌跡方程為(1-a)a2-2ax+(1+A)y2=0(0≠x<a),－－－－10分∵a≠1,∴[x-a/(1-a)]2/[a/(1-a)]2+y2/[a2/(1-a2)]=1(0≤x<a).③－－－－12分由此知，當〔」「工時，方程③表示橢圓孤段；當a>1時，方程③表示雙曲線一支的弧段。－－－－14分解法二：如圖，設D是l與x軸的交點，過點C作CE⊥x軸，E是垂足。（1）當|BD|≠0時，設點C（x,y），則0<x<ay≠0.由CE∥BD得|BD|=|CE|·|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a).－－－－3分∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD,∴2∠COA=π-∠BOD，∵tg(2COA)=2tg∠COA/(1-tg2∠COA),tg(π-∠BOD)=-tg∠BOD,tg∠COA=|y|/x,tg∠BOD=∠|BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a).∴[2·|y|/x]/[1-(y2/x2)]=[|y|/(a-x)](1+a),整理得(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a).(II)當|BD|=0時，∠BOA＝π，則點C的坐標為（0，0），滿足上式。綜合（I）（II），得點C的軌跡方程為（1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)－－－－10分以下同解法一。

社會實踐報告系別：班級：學號：姓名：作為祖國未來的事業的繼承人，我們這些大學生應該及早樹立自己的歷史責任感，提高自己的社會適應能力。假期的社會實踐就是很好的鍛煉自己的機會。當下，掙錢早已不是打工的唯一目的，更多的人將其視為參加社會實踐、提高自身能力的機會。許多學校也積極鼓勵大學生多接觸社會、了解社會，一方面可以把學到的理論知識應用到實踐中去，提高各方面的能力；另一方面可以積累工作經驗對日后的就業大有裨益。進行社會實踐，最理想的就是找到與本專業對口單位進行實習，從而提高自己的實戰水平，同時可以將課本知識在實踐中得到運用，從而更好的指導自己今后的學習。但是作為一名尚未畢業的大學生，由于本身具備的專業知識還十分的有限，所以我選擇了打散工作為第一次社會實踐的方式。目的在于熟悉社會。就職業本身而言，并無高低貴賤之分，存在即為合理。通過短短幾天的打工經歷可以讓長期處于校園的我們對社會有一種更直觀的認識。實踐過程：自從走進了大學，就業問題就似乎總是圍繞在我們的身邊，成了說不完的話題。在現今社會，招聘會上的大字報都總寫著“有經驗者優先”，可還在校園里面的我們這班學子社會經驗又會擁有多少呢？為了拓展自身的知識面，擴大與社會的接觸面，增加個人在社會競爭中的經驗，鍛煉和提高自己的能力，以便在以后畢業后能真正真正走入社會，能夠適應國內外的經濟形勢的變化，并且能夠在生活和工作中很好地處理各方面的問題，我開始了我這個假期的社會實踐-走進天源休閑餐廳。實踐，就是把我們在學校所學的理論知識，運用到客觀實際中去，使自己所學的理論知識有用武之地。只學不實踐，那么所學的就等于零。理論應該與實踐相結合。另一方面，實踐可為以后找工作打基礎。通過這段時間的實習，學到一些在學校里學不到的東西。因為環境的不同，接觸的人與事不同，從中所學的東西自然就不一樣了。要學會從實踐中學習，從學習中實踐。而且在中國的經濟飛速發展，又加入了世貿，國內外經濟日趨變化，每天都不斷有新的東西涌現，在擁有了越來越多的機會的同時，也有了更多的挑戰，前天才剛學到的知識可能在今天就已經被淘汰掉了，中國的經濟越和外面接軌，對于人才的要求就會越來越高，我們不只要學好學校里所學到的知識，還要不斷從生活中，實踐中學其他知識，不斷地從各方面武裝自已，才能在競爭中突出自已，表現自已。在餐廳里,別人一眼就能把我人出是一名正在讀書的學生,我問他們為什么,他們總說從我的臉上就能看出來,也許沒有經歷過社會的人都有我這種不知名遭遇吧!我并沒有因為我在他們面前沒有經驗而退后,我相信我也能做的像他們一樣好.我的工作是在那做傳菜生,每天9點鐘-下午2點再從下午的4點-晚上8:30分上班,雖然時間長了點但,熱情而年輕的我并沒有絲毫的感到過累,我覺得這是一種激勵,明白了人生,感悟了生活,接觸了社會,了解了未來.在餐廳里雖然我是以傳菜為主,但我不時還要做一些工作以外的事情，有時要做一些清潔的工作，在學校里也許有老師分配說今天做些什么，明天做些什么，但在這里，不一定有人會告訴你這些，你必須自覺地去做，而且要盡自已的努力做到最好，一件工作的效率就會得到別人不同的評價。在學校，只有學習的氛圍，畢竟學校是學習的場所，每一個學生都在為取得更高的成績而努力。而這里是工作的場所，每個人都會為了獲得更多的報酬而努力，無論是學習還是工作，都存在著競爭，在競爭中就要不斷學習別人先進的地方，也要不斷學習別人怎樣做人，以提高自已的能力！記得老師曾經說過大學是一個小社會，但我總覺得校園里總少不了那份純真，那份真誠，盡管是大學高校，學生還終歸保持著學生的身份。而走進企業，接觸各種各樣的客戶、同事、上司等等，關系復雜，但我得去面對我從未面對過的一切。記得在我校舉行的招聘會上所反映出來的其中一個問題是，學生的實際操作能力與在校理論學習有一定的差距。在這次實踐中，這一點我感受很深。在學校，理論的學習很多，而且是多方面的，幾乎是面面俱到；而在實際工作中，可能會遇到書本上沒學到的，又可能是書本上的知識一點都用不上的情況。或許工作中運用到的只是很簡單的問題，只要套公式似的就能完成一項任務。有時候我會埋怨，實際操作這么簡單，但為什么書本上的知識讓人學得這么吃力呢？這是社會與學校脫軌了嗎？也許老師是正確的，雖然大學生生活不像踏入社會，但是總算是社會的一個部分，這是不可否認的事實。但是有時也要感謝老師孜孜不倦地教導，有些問題有了有課堂上地認真消化，有平時作業作補充，我比一部人具有更高的起點，有了更多的知識層面去應付各種工作上的問題，作為一名大學生，應該懂得與社會上各方面的人交往，處理社會上所發生的各方面的事情，這就意味著大學生要注意到社會實踐，社會實踐必不可少。畢竟，很快我就不再是一名大學生，而是社會中的一分子，要與社會交流，為社會做貢獻。只懂得紙上談兵是遠遠不及的，以后的人生旅途是漫長的，為了鍛煉自己成為一名合格的、對社會有用的人才.很多在學校讀書的人都說寧愿出去工作，不愿在校讀書；而已在社會的人都寧愿回校讀書。我們上學，學習先進的科學知識，為的都是將來走進社會，獻出自己的一份力量，我們應該在今天努力掌握專業知識，明天才能更好地為社會服務。實踐心得：雖然這次的實踐只有短短的幾天，而且從事的是比較簡單的服務工作，但是通過與各種各樣的人接觸，還是讓我學會了很多道理。首先是明白了守時的重要性。工作和上學是兩種完全不同的概念，上學是不遲到很多時候是因為懼怕老師的責怪，而當你走上了