第三章線性系統的時域分析演示文稿現在是1頁\一共有139頁\編輯于星期四優選第三章線性系統的時域分析現在是2頁\一共有139頁\編輯于星期四

分析和設計控制系統的首要工作是確定系統的數模，一旦獲得系統的數學模型，可以采用幾種不同的方法去分析系統的性能。

線性系統：時域分析法ch3，根軌跡法ch4，頻率法ch5

非線性系統：

多輸入多輸出系統：描述函數法，相平面法ch7

采樣系統：Z

變換法ch8狀態空間法現在是3頁\一共有139頁\編輯于星期四

分析系統的時間響應亦即分析描述其運動的微分方程的解。以RC網絡為例：若穩態分量暫態分量穩態分量暫態分量可見：不論哪種求解方法，也不論初始條件如何，均有：系統響應=穩態響應+暫態響應§3-1典型輸入信號和時域性能指標

現在是4頁\一共有139頁\編輯于星期四典型輸入信號動態性能需要通過其對輸入信號的響應過程來評價。因此在分析和設計控制系統時，需要一個對系統的性能進行比較的基準---典型輸入信號。條件：1能反映實際輸入；2在形式上盡可能簡單，便于分析；3使系統運行在最不利的工作狀態。tf(t)01考查系統對恒值信號的跟蹤能力

系統響應由穩態響應和暫態響應組成，穩態響應由穩態性能描述，而暫態響應由暫態性能描述，故系統的性能指標也就由穩態性能指標和暫態性能指標組成。

因為階躍輸入對系統來說是最一般也是最嚴峻的工作狀態，如果系統在階躍信號輸入下的暫態性能滿足要求，則在其他形式下的輸入信號下，其暫態性能也會令人滿意?，F在是5頁\一共有139頁\編輯于星期四A=1，稱單位斜坡函數,記為t·1(t)

2.斜坡函數（等速度函數）

tf(t)0考查系統對勻速信號的跟蹤能力現在是6頁\一共有139頁\編輯于星期四

3.拋物線函數（等加速度函數）A=1，稱單位拋物線函數,記為tf(t)0考查系統的機動跟蹤能力現在是7頁\一共有139頁\編輯于星期四

4.脈沖函數t

(t)0考查系統在脈沖擾動下的恢復情況現在是8頁\一共有139頁\編輯于星期四

各函數間關系：（5）正弦函數tf(t)0考查隨動系統在波浪環境中的控制和跟隨能力現在是9頁\一共有139頁\編輯于星期四

二.階躍響應的時域性能指標c(t)=ct(t)+css(t)=暫態響應+穩態響應

1.暫態性能指標

非振蕩階躍響應過程衰減振蕩階躍響應過程現在是10頁\一共有139頁\編輯于星期四(1)延遲時間td：c(t)從0到0.5c(∞)的時間。(2)上升時間tr：c(t)第一次達到c(∞)的時間。無超調時,c(t)從0.1c(∞)到0.9c(∞)的時間。(3)峰值時間tp：c(t)到達第一個峰值的時間。(4)調節時間ts：c(t)衰減到與穩態值之差不超過±2%或±5%所需的時間。通常該偏差范圍稱作誤差帶,用符號△表示，即△

=2%或△

=5%

。

快速性(5)超調量σp

%：c(t)最大峰值偏離穩態值的部分，常用百分數表示，描述系統的平穩性。現在是11頁\一共有139頁\編輯于星期四2.穩態性能指標

穩態誤差ess：穩定系統誤差的終值。即系統響應的實際值與期望值（即輸入量）之差。最后一節細講?，F輸入信號的最終精度。一上述各種性能指標中，描述系統起始段的快慢；反映暫態過程振蕩的劇烈列程度；

總體上反映系統的表示系統過渡過程持續時間，快速性；反映系統復般以、和評價系統

響應的穩、快、準。現在是12頁\一共有139頁\編輯于星期四凡是可用一階微分方程描述的系統，稱為一階系統。T＝RC，時間常數。其典型傳遞函數及結構圖為：3.2一階系統的時域分析RC

r(t)c(t)1Ts﹣+R(s)C(s)1Ts+1R(s)C(s)

系統中只有一個參數T,一階系統也叫慣性環節。現在是13頁\一共有139頁\編輯于星期四tc(t)

０T

2T3T4T

當輸入信號r(t)=1(t)時，系統的響應c(t)稱作其單位階躍響應。3.2.1單位階躍響應

響應曲線在[0，）的時間區間中始終不會超過其穩態值，把這樣的響應稱為非周期響應。無振蕩0.6320.950.9820.8651.0現在是14頁\一共有139頁\編輯于星期四一階系統的瞬態響應指標調整時間ts定義：︱c(ts)1︱=(取5%或2%)

一階系統響應具備兩個重要的特點：①可以用時間常數T去度量系統輸出量的數值。②響應曲線的初始斜率等于1/T。

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0T反映了系統的慣性。T越小慣性越小，響應快！T越大，慣性越大，響應慢?，F在是15頁\一共有139頁\編輯于星期四

1．與有確定關系，是表征系統響應特征的唯一參數。2.初始速度：，若以等速上升到

1，所需時間正好為T。

一階系統階躍響應：

０T

2T3T4T

tc(t)0.6320.950.9820.8651.0系統單位階躍響應曲線可用實驗的方法確定，將測得的曲線與下圖的曲線作比較，就可以確定該系統是否為一階系統或等效為一階系統。此外，用實驗的方法測定一階系統的輸出響應由零值開始到達穩態值的63.2%所需的時間，就可以確定系統的時間常數T。現在是16頁\一共有139頁\編輯于星期四3.2.2單位斜坡響應

[r(t)=t]tc(t)0r(t)=tc(t)=t﹣T+Te﹣t/T

穩態響應是一個與輸入斜坡函數斜率相同但在時間上遲后了一個時間常數T的斜坡函數。TT穩態分量（跟蹤項+常值）暫態分量現在是17頁\一共有139頁\編輯于星期四

表明過渡過程結束后，其穩態輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差，一般叫做跟蹤誤差。比較階躍響應曲線和斜坡響應曲線：

在階躍響應中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而減小，最終趨于0，而在初始狀態下，位置誤差最大，響應曲線的斜率也最大；無差跟蹤

在斜坡響應中，輸出量與輸入量之間的位置誤差隨時間而增大，最終趨于常值T，在初始狀態下，位置誤差和響應曲線的斜率均等于0。有差跟蹤。

0tc(t)1.0tc(t)0r(t)=tTT現在是18頁\一共有139頁\編輯于星期四表明一階系統在過渡過程結束后，其穩態輸出與單位斜坡輸入之間，在位置上仍有誤差。4．對斜坡響應求導：即單位斜坡響應的導數是單位階躍響應。2．初始速度：斜坡響應（續）現在是19頁\一共有139頁\編輯于星期四單位脈沖響應

[R(s)=1]

它恰是系統的閉環傳函，這時輸出稱為脈沖（沖激）響應函數，以g(t)標志。

求系統閉環傳函提供了實驗方法，以單位脈沖輸入信號作用于系統，測定出系統的單位脈沖響應，可以得到閉環傳函。對應T2T3Tth(t)01/T0.368/T0.135/T0.05/T現在是20頁\一共有139頁\編輯于星期四1．一階系統不能跟蹤拋物線信號。2．對拋物線響應求導：斜坡響應。、單位拋物線響應：現在是21頁\一共有139頁\編輯于星期四★這是線性定常系統的一個重要特征，適用于任何線性系統，但不適用于非線性系統。

現在是22頁\一共有139頁\編輯于星期四線性定常系統的重要性質

2.在零初始條件下，當系統輸入信號為原來輸入信號時間的積分時，系統的輸出則為原來輸出對時間的積分，積分常數由零初始條件決定。

1.當系統輸入信號為原來輸入信號的導數時，這時系統的輸出則為原來輸出的導數。現在是23頁\一共有139頁\編輯于星期四例1系統如圖所示，現采用負反饋方式，欲將系統調節時間減小到原來的0.1倍，且保證原放大倍數不變，試確定參數Ko和KH的取值。

現在是24頁\一共有139頁\編輯于星期四例2已知單位反饋系統的單位階躍響應

試求

F(s),g(t),G(s)。

解．現在是25頁\一共有139頁\編輯于星期四3.3.1二階系統的數學模型標準化二階系統的結構圖為：

閉環傳遞函數為

二階系統有兩個結構參數ξ(阻尼比)和n(無阻尼振蕩頻率)

。二階系統的性能分析和描述，都是用這兩個參數表示的。3.3典型二階系統時域分析s(s+2ξn)R(s)C(s)n2

﹣+現在是26頁\一共有139頁\編輯于星期四微分方程式為：

對于不同的二階系統，阻尼比和無阻尼振蕩頻率的含義是不同的。

例如:RLC電路RCr(t)c(t)L現在是27頁\一共有139頁\編輯于星期四

j

0二階系統的閉環極點二階系統的閉環特征方程，即

s2+2ξns+n2=0其兩個特征根為：

上述二階系統的特征根表達式中，隨著阻尼比ξ

的不同取值，特征根有不同類型的值，或者說在s平面上有不同的分布規律。分述如下：s1s2ξ>1時，特征根為一對不等值的負實根，位于s平面的負實軸上，使得系統的響應表現為過阻尼的?，F在是28頁\一共有139頁\編輯于星期四(3)

0<ξ

<1

時，特征根為一對具有負實部的共軛復根，位于s平面的左半平面上，使得系統的響應表現為欠阻尼的。(2)ξ=1時，特征根為一對等值的負實根，位于s平面的負實軸上，使得系統的響應表現為臨界阻尼的。

j

0s1=s2=

nns1s2

jd

ξn

j

0現在是29頁\一共有139頁\編輯于星期四

j

0

(4)ξ=0時，特征根為一對幅值相等的虛根，位于s平面的虛軸上，使得系統的響應表現為無阻尼的等幅振蕩過程。

jn

j

0

(5)ξ<0時，特征根位于s平面的右半平面，使得系統的響應表現為幅值隨時間增加而發散。s1s2現在是30頁\一共有139頁\編輯于星期四

j

0s1s2

j

0s1=s2ns1s2

jd

ξn

j

0

j

0

jn

阻尼比取不同值時，二階系統根的分布ξ>1ξ=10<ξ<1ξ=0過阻尼臨界阻尼欠阻尼無阻尼ξ<0

j

0s1s2現在是31頁\一共有139頁\編輯于星期四

單位階躍響應由式，其輸出的拉氏變換為式中s1，s2是系統的兩個閉環特征根。

對上式兩端取拉氏反變換，可以求出系統的單位階躍響應表達式。阻尼比在不同的范圍內取值時，二階系統的特征根在s平面上的位置不同，二階系統的時間響應對應有不同的運動規律。下面分別加以討論?，F在是32頁\一共有139頁\編輯于星期四（1）欠阻尼情況0<ξ<1

j

ns1s2

jd

ξn0阻尼振蕩頻率現在是33頁\一共有139頁\編輯于星期四設直角三角形：則

現在是34頁\一共有139頁\編輯于星期四

欠阻尼二階系統的單位階躍響應由兩部分組成：穩態分量為1，表明系統在1(t)作用下不存在穩態位置誤差；瞬態響應是阻尼正弦項，其振蕩頻率為阻尼振蕩頻率ωd，而其幅值則按指數曲線衰減，兩者均由參數ξ

和n決定。c(t)t01衰減振蕩衰減系數或振蕩阻尼系數現在是35頁\一共有139頁\編輯于星期四c(t)t0等幅振蕩

(2)無阻尼情況ξ=0現在是36頁\一共有139頁\編輯于星期四（3）臨界阻尼情況ξ=1

s1,2=n

此時響應是穩態值為1的非周期上升過程，其變化率t=0，變化率為0；t>0變化率為正，c(t)單調上升；t→∞

，變化率趨于0。整個過程不出現振蕩，無超調，穩態誤差＝0。tc(t)01現在是37頁\一共有139頁\編輯于星期四

其中（4）過阻尼情況ξ>1現在是38頁\一共有139頁\編輯于星期四1、由兩項指數函數組成；2、曲線單調上升，無

0tc(t)1.0ts現在是39頁\一共有139頁\編輯于星期四

響應特性包含兩個單調衰減的指數項，且它們的代數和不會超過1，因而響應是非振蕩的。調節速度慢。（不同于一階系統）

0tc(t)1.0ts現在是40頁\一共有139頁\編輯于星期四∴響應中兩個指數項隨著時間的延長，后一項很小∴后一項只在后的前期對響應有影響，求時可忽略。的近似計算：3．則有現在是41頁\一共有139頁\編輯于星期四此時相當于的慣性環節。

（一般）計算。當響應是非振蕩的。調節速度慢。（不同于一階系統）現在是42頁\一共有139頁\編輯于星期四

過阻尼系統響應緩慢，對于一般要求時間響應快的系統過阻尼響應是不希望的。但在有些應用場合則需要過阻尼響應特性：例如（1）大慣性的溫度控制系統、壓力控制系統等。（2）指示儀表、記錄儀表系統，既要無超調、時間響應盡可能快。另外，有些高階系統可用過阻尼二階系統近似?，F在是43頁\一共有139頁\編輯于星期四（5）不穩定系統

ξ<0總結：

1）ξ<0時，響應發散，系統不穩定；

2）ξ>＝1時，響應與一階系統相似，無超調，但調節速度慢；

3）ξ＝0時，無過渡過程，直接進入穩態，響應等幅振蕩；

4）0<ξ<1時，響應有超調，但上升速度快，調節時間短，合理選擇ξ可使響應既快又平穩，工程上把ξ＝0.707的二階系統稱為二階最優系統；現在是44頁\一共有139頁\編輯于星期四45橫坐標nt

，曲線只是的函數。=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2二階系統的階躍響應：現在是45頁\一共有139頁\編輯于星期四σp%3.3.4二階系統的動態性能指標1.欠阻尼

用tr

,

tp

,σ

p

,

ts

四個性能指標來衡量瞬態響應的好壞。

c(t)t010.50.05或0.02tr

tp

tstd現在是46頁\一共有139頁\編輯于星期四(1)上升時間tr

：從零上升至第一次到達穩態值所需的時間，是系統響應速度的一種度量。tr越小，響應越快。(2)

峰值時間tp：響應超過穩態值，到達第一個峰值所需的時間?，F在是47頁\一共有139頁\編輯于星期四(3)超調量σp%：響應曲線偏離階躍曲線最大值，用百分比表示?，F在是48頁\一共有139頁\編輯于星期四

σp

%只是ξ

的函數，其大小與自然頻率ωn無關。ξ

σp(4)調節時間ts

：響應曲線衰減到與穩態值之差不超過5%或2%所需要的時間。c(t)c()c()(tts)=0.2p=52.7%=0.4p=25.4%=0.6p=9.5%

=0.707p=4.3%現在是49頁\一共有139頁\編輯于星期四

工程上，為簡單起見，可以采用近似的計算方法，忽略正弦函數的影響，認為指數項衰減到0.05（或0.02）時，過渡過程即進行完畢，于是得到現在是50頁\一共有139頁\編輯于星期四其中為包絡線的時間常數。當0.1<ξ

<0.9

時，通常用下列二式近似計算調節時間?，F在是51頁\一共有139頁\編輯于星期四總結：各性能指標之間是有矛盾的。

(1)ωn

一定，使trtp

ξ

使ts

ξ(ξ

一定范圍)必須必須必須(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

σp

只由ξ

決定必有現在是52頁\一共有139頁\編輯于星期四例3-1單位負反饋隨動系統如圖所示(1)確定系統特征參數與實際參數的關系。(2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，試計算系統的動態性能指標。解:(1)系統的閉環傳遞函數為與典型二階系統比較可得：K/T=n21/T=2ns(Ts+1)R(s)C(s)K﹣+現在是53頁\一共有139頁\編輯于星期四(2)K=16，T=0.25時(=0.05)K/T=n21/T=2ntr=?tp=?ts=?σp=?現在是54頁\一共有139頁\編輯于星期四（3）若要求

當T不變時：現在是55頁\一共有139頁\編輯于星期四例3-2已知單位負反饋系統的單位階躍響應曲線如圖所示，試求系統的開環傳遞函數。

解：由系統的單位階躍響應曲線，直接求出超調量和峰值時間。

σp=30%tp=0.1求解上述二式，得到=0.357，n=33.65(rad/s)。于是二階系統的開環傳遞函數為1c(t)t01.30.1現在是56頁\一共有139頁\編輯于星期四解：

Tp=0.785σp=e-2.355ts=1

現在是57頁\一共有139頁\編輯于星期四§3.2.3一階系統的典型響應r(t)R(s)C(s)=F(s)R(s)c(t)一階系統典型響應

d(t)11(t)

t

一階系統的典型響應現在是58頁\一共有139頁\編輯于星期四59橫坐標nt

，曲線只是的函數。=0,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2二階系統的階躍響應：現在是59頁\一共有139頁\編輯于星期四總結：各性能指標之間是有矛盾的。

(1)ωn

一定，使trtp

ξ

使ts

ξ(ξ

一定范圍)必須必須必須(2)ξ

一定，使

trtpts

ωn

(3)ξ

σp

只由ξ

決定必有現在是60頁\一共有139頁\編輯于星期四二階系統性能的改善1.誤差的比例－微分控制具有誤差比例－微分控制的二階系統如圖所示:系統的開環傳遞函數為閉環傳遞函數為(仍符合規律)式中

d

為系統的有效阻尼比。s(s+2n)R(s)C(s)n2

﹣+Tds++K(=1)現在是61頁\一共有139頁\編輯于星期四

比例－微分控制的二階系統有時稱為有零點的二階系統。與沒有零點的二階系統相比，由于微分項的原因，初始快速性提高，超調量會增大一些，但整體響應的速度會加快。t01c(t)c1(t)

可見，比例－微分控制的二階系統不改變系統的自然頻率，但是可以增大系統的有效阻尼比以抑制振蕩。同時為系統增加了一個閉環零點。若令Z=1/Td

c1(t)有零點的二階系統。

c(t)沒有零點的二階系統?，F在是62頁\一共有139頁\編輯于星期四以角度隨動系統為例(a)比例控制[0，t1)系統阻尼小，修正轉矩過大；輸出超調[t1,t3)轉矩反向，起制動作用，但慣性與制動轉矩不夠大，仍超調[t3,t5)誤差又為正，修正轉矩又為正，力圖使輸出趨勢減小……(b)控制措施：附加誤差的微分量

[0，t2)內減小正向修正轉矩，增大反向制動轉矩；

[t2,t4)內減小反向制動轉矩，增大正向修正轉矩

比例－微分控制的二階系統有時稱為有零點的二階系統。與沒有零點的二階系統相比，由于微分項的原因，初始快速性提高，超調量會增大一些，但整體響應的速度會加快。現在是63頁\一共有139頁\編輯于星期四(2)(1)現在是64頁\一共有139頁\編輯于星期四系統的閉環傳遞函數為：式中為系統的有效阻尼比。2.輸出量的速度反饋控制輸出量的速度反饋控制也可以在不改變系統的自然頻率基礎上，增大系統的有效阻尼比，使超調量減小。s(s+2n)R(s)C(s)n2

﹣+Kfs﹣+與比例微分控制不同的是，輸出量的速度反饋控制沒有附加零點的影響，兩者對系統動態性能的改善程度是不同的?，F在是65頁\一共有139頁\編輯于星期四3.兩種控制方案的比較都為系統提供了一個參數選擇的自由度，兼顧了系統響應的快速性和平穩性。但是，二者改善系統性能的機理及其應用場合是不同的。簡述如下：（1）微分控制的附加阻尼作用產生于系統輸入端誤差信號的變化率，而速度反饋控制的附加阻尼作用來源于系統輸出量的變化率。微分控制為系統提供了一個實零點，可以縮短系統的初始響應時間，但在相同阻尼程度下，將比速度反饋控制產生更大的階躍響應超調量?，F在是66頁\一共有139頁\編輯于星期四

(2)比例－微分控制位于系統的輸入端，微分作用對輸入噪聲有明顯的放大作用。當輸入端噪聲嚴重時，不宜選用比例－微分控制。同時，由于微分器的輸入信號是低能量的誤差信號，要求比例－微分控制具有足夠的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，需選用高質量的前置放大器。輸出速度反饋控制，是從高能量的輸出端向低能量的輸入端傳遞信號，無需增設放大器，并對輸入端噪聲有濾波作用，適合于任何輸出可測的控制場合。現在是67頁\一共有139頁\編輯于星期四典型輸入信號典型輸入信號。條件：1能反映實際輸入；2在形式上盡可能簡單，便于分析；3使系統運行在最不利的工作狀態。現在是68頁\一共有139頁\編輯于星期四

準:(穩態要求）穩態輸出與理想輸出間的誤差(穩態誤差)要小

穩：(基本要求)

系統受擾動影響后能回到原來的平衡位置

延遲時間

td—階躍響應第一次達到終值的50％所需的時間

上升時間

tr—階躍響應從終值的10％上升到終值的90％所需的時間

有振蕩時，可定義為從0到第一次達到終值所需的時間

峰值時間

tp—階躍響應越過終值達到第一個峰值所需的時間

超調量

s％

—峰值超出終值的百分比

調節時間

ts—階躍響應到達并保持在終值5％誤差帶內所需的最短時間

快:(動態要求)

階躍響應的過渡過程要平穩，迅速動態性能指標現在是69頁\一共有139頁\編輯于星期四G(s)，H(s)

一般是復變量s的多項式之比，故上式可記為3.4高階系統的時域分析高階系統的階躍響應控制系統的基本結構如圖所示。其閉環傳遞函數為G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)現在是70頁\一共有139頁\編輯于星期四

式中0<ξ

k<1

。即系統有q

個實極點和r

對共軛復數極點。稱為系統閉環特征根，或閉環極點。分子多項式的階次m不一般高于分母多項式的階次n。對上式進行因式分解，可以表示為現在是71頁\一共有139頁\編輯于星期四

取拉氏反變換，并設全部初始條件為零，得到系統單位階躍響應的時間表達式：

于是，系統單位階躍響應的拉氏變換：式中；k

=arccosξ

k

；Ai、Bk是與C(s)在對應閉環極點上的留數有關的常數。現在是72頁\一共有139頁\編輯于星期四

上式表明，如果系統的所有閉環極點都具有負實部，系統時間響應的各暫態分量都將隨時間的增長而趨近于零，這時稱高階系統是穩定的。閉環主導極點

1）高階系統瞬態響應各分量的衰減快慢由pi，ξkk決定，也即閉環極點負實部的絕對值越大，相應的分量衰減越快。

2）各分量所對應的系數由系統的零極點分布決定。

3）系統的零極點共同決定了系統瞬態響應曲線的形狀。現在是73頁\一共有139頁\編輯于星期四4）對系統瞬態響應起主導作用的極點，稱為閉環主導極點。

條件：

1距離s平面虛軸較近，且周圍沒有其它的閉環零點；對應的暫態分量衰減緩慢，起主要作用。不會構成閉環偶極子，產生零極點相消現象（相應分量的系數很?。?。

2其實部的絕對值比其它極點小5倍以上。

應用閉環主導極點的概念，可以把一些高階系統近似為一階或二階系統，以實現對高階系統動態性能的近似評估。一般情況，高階系統具有振蕩性，所以主導極點常常是一對共軛復數極點。找到了這一對共軛復數主導極點，高階系統的動態性能就可以應用二階系統的性能指標來近似估計?，F在是74頁\一共有139頁\編輯于星期四試求階躍響應。解：c(t)=11.1e

t+0.11e

10t

≈

11.1e

t主導極點是s=1

，這時系統傳遞函數近似為tc(t)01例3-4-1已知閉環傳遞函數為現在是75頁\一共有139頁\編輯于星期四現在是76頁\一共有139頁\編輯于星期四例3-4-2已知閉環傳遞函數為試求階躍響應。解：

j

01101.25c(t)=10.22e

t

0.78e

10tc(t)=11.1e

t+0.11e

10t現在是77頁\一共有139頁\編輯于星期四tc(t)010.220.780.78e

10t0.22e

t

（1）零點不影響系統動態響應分量的個數，也不影響系統的穩定性；（2）零點改變了系統動態響應的形狀；（3）過渡過程要快。零點起微分加快作用。

c(t)=10.22e

t

0.78e

10t現在是78頁\一共有139頁\編輯于星期四

零極點分布對系統動態響應的影響:1）極點決定系統固有運動屬性；

2）零點決定運動模態的比重；

3）若閉環零、極點離虛軸較遠，則對系統的動態性能影響不大。反之，則影響較大。

4）增加閉環零點，將會提高系統的響應速度。閉環零點越靠近虛軸，這種作用將會越顯著。

5）增加閉環極點，將會延緩系統的動態響應，也即響應速度變慢。且離虛軸愈近，其作用愈顯著?，F在是79頁\一共有139頁\編輯于星期四3.5線性系統的穩定性分析

穩定性是對系統的基本要求，探討系統的穩定條件，提出保證系統穩定的措施。穩定的概念和定義

如果系統受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統都能以足夠的準確度恢復到初始平衡狀態，則這種系統稱為大范圍穩定的系統。（課本上單擺的例子）

a現在是80頁\一共有139頁\編輯于星期四

如果系統受到有界擾動，只有當擾動引起的初始偏差小于某一范圍時，系統才能在取消擾動后恢復到初始平衡狀態，否則就不能恢復到初始平衡狀態，則稱為小范圍穩定的系統。

現在是81頁\一共有139頁\編輯于星期四

對于穩定的線性系統，它必然在大范圍內和小范圍內都能穩定，只有非線性系統才可能有小范圍穩定而大范圍不穩定的情況。

如果系統受到有界擾動，不論擾動引起的初始偏差有多小，當擾動取消后，無論經過多長時間，系統都不可能恢復到初始平衡狀態，則這種系統稱為不穩定的系統。（課本上倒立擺的例子）

b現在是82頁\一共有139頁\編輯于星期四

線性控制系統穩定性的定義如下：若線性控制系統在初始擾動(t)的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統為穩定。反之，則為不穩定。線性系統的穩定條件

線性系統的穩定性只取決于系統自身固有特性，而與輸入信號無關。根據定義輸入擾動(t)，設擾動響應為Cn(t)。如果當t→∞時，Cn(t)收斂到原來的平衡點，即有

那么，線性系統是穩定的。

不失一般性，設n階系統的閉環傳遞函數為現在是83頁\一共有139頁\編輯于星期四

線性系統穩定的充要條件是：閉環系統特征方程的所有根都具有負實部，或者說，閉環傳遞函數的極點均位于s左半平面（不包括虛軸）。

根據穩定的充要條件決定系統的穩定性，必須知道系統特征根的全部符號。如果能解出全部根，則立即可判斷系統的穩定性。然而對于高階系統，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介紹勞斯代數穩定判據?，F在是84頁\一共有139頁\編輯于星期四

線性系統的代數穩定判據

首先給出系統穩定的必要條件：設線性系統的閉環特征方程為

式中，si（i=1,2,,

n）是系統的n個閉環極點。根據代數方程的基本理論（韋達定理），下列關系式成立：現在是85頁\一共有139頁\編輯于星期四

從上式可以導出，系統特征根都具有負實部的必要條件為：aiaj>0(i,

j=1,2,

,

n)即，閉環特征方程各項同號且不缺項。如果特征方程不滿足上式的條件，系統必然非漸近穩定。但滿足上式，還不能確定一定是穩定的，因為上式僅是必要條件。下面給出系統穩定的充分必要條件。

1.勞斯判據

系統穩定的充要條件是：特征方程式的全部系數為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都為正。若不滿足，則不穩定勞斯表中第一列元素符號改變的次數，等于相應特征方程式位于右半s平面上根的個數?，F在是86頁\一共有139頁\編輯于星期四表中：1）最左一列元素按s的冪次排列，由高到低，只起標識作用，不參與計算。

2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。

3）從第三行起各元素，是根據前二行的元素計算得到。a0

a2a4…a1

a3a5…b1

b2b3…┋…ansnsn?1

sn?2

┋s1

s0

勞斯表的構造：現在是87頁\一共有139頁\編輯于星期四對系統瞬態響應起主導作用的極點，稱為閉環主導極點。

條件：

1距離s平面虛軸較近，且周圍沒有其它的閉環零點；對應的暫態分量衰減緩慢，起主要作用。不會構成閉環偶極子，產生零極點相消現象（相應分量的系數很?。?。

2其實部的絕對值比其它極點小5倍以上。

應用閉環主導極點的概念，可以把一些高階系統近似為一階或二階系統，以實現對高階系統動態性能的近似評估?，F在是88頁\一共有139頁\編輯于星期四

零極點分布對系統動態響應的影響:1）極點決定系統固有運動屬性；

2）零點決定運動模態的比重；

3）若閉環零、極點離虛軸較遠，則對系統的動態性能影響不大。反之，則影響較大。

4）增加閉環零點，將會提高系統的響應速度。閉環零點越靠近虛軸，這種作用將會越顯著。

5）增加閉環極點，將會延緩系統的動態響應，也即響應速度變慢。且離虛軸愈近，其作用愈顯著。現在是89頁\一共有139頁\編輯于星期四

線性控制系統穩定性的定義如下：若線性控制系統在初始擾動(t)的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統為穩定。反之，則為不穩定。勞斯判據

系統穩定的充要條件是：特征方程式的全部系數為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都為正。若不滿足，則不穩定勞斯表中第一列元素符號改變的次數，等于相應特征方程式位于右半s平面上根的個數。現在是90頁\一共有139頁\編輯于星期四2.勞斯判據的應用（1）判斷系統的穩定性

例3-3

設有下列特征方程D(s)=s4+2s3+

3s2+4s+5=0，試用勞斯判據判別該特征方程的正實部根的數目。解：勞斯表第一列元素符號改變了2次，∴系統不穩定，且s右半平面有2個根。s4s3s2s1s0135246155現在是91頁\一共有139頁\編輯于星期四例3-4系統的特征方程為

D(s)=s33s+2=0試用勞斯判據確定正實數根的個數。解：系統的勞斯表為第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各項不為零，或不全為零。對此情況，可作如下處理：s3s2s1s01302∞①用一個很小的正數ε來代替第一列為零的項，從而使勞斯表繼續下去。②可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可為任意正數，再對新的特征方程應用勞斯判據?，F在是92頁\一共有139頁\編輯于星期四∵ε→0+時，b1<0，勞斯表中第一列元素符號改變了兩次∴系統有兩個正根，不穩定。

用（s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為：

D1(s)

=D(s)(s+3)=s4+

3s3

3s2

7s+6=0s3s2s1s0130(ε)22s4s3s2s1s0136372/36206會得到相同的判斷結果現在是93頁\一共有139頁\編輯于星期四例3-5

設某線性系統的閉環特征方程為

D(s)=s4+

s3

3s2

s+2=0

試用勞斯判據判斷系統穩定性。解:該系統的勞斯表如下：第二種特殊情況：勞斯表中某行元素全為零。此時，特征方程中存在關于原點對稱的根（實根，共軛虛根或共軛復數根）。對此情況，可作如下處理：s4s3s2s1s0132112200現在是94頁\一共有139頁\編輯于星期四

由于勞斯表中第一列元素的符號改變了兩次，∴系統有兩個正根，系統不穩定。通過解輔助方程可求出關于原點對稱的根：

s1=1和s2=1

。對本例題，可用長除法求出另二個根，分別為s3=1和s4=2

。

用全零行的上一行的系數構成一個輔助方程，對輔助方程求導，用所得方程的系數代替全零行，繼續勞斯表。s4s3s2s1s01321122

42F(s)=2s2+2

F(s)=4s現在是95頁\一共有139頁\編輯于星期四（2）分析參數變化對穩定性的影響例3-6

已知系統結構圖如下，試確定使系統穩定時K的取值范圍。

解：系統特征方程式s3+3s2+2s+K=0要使系統穩定，勞斯表中第一列元素均大于零。0<K<6s3s2s1s012

3K(6K)/3Ks(s+1)(s+2)R(s)C(s)

K﹣+現在是96頁\一共有139頁\編輯于星期四（3）確定系統的相對穩定性

例3-7

檢驗多項式2s3+10s2+13s+4=0是否有根在s右半平面，并檢驗有幾個根在垂直線s

=1的右邊？解：1)

勞斯表中第一列元素均為正∴系統在s右半平面沒有根，系統是穩定的。

2)令s=s1

1坐標平移，得新特征方程為

2

s13+4

s12

s1

1=0s3s2s1s0213

10412.24-1ss1現在是97頁\一共有139頁\編輯于星期四

勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號改變了一次，故系統在s1右半平面有一個根。因此，系統在垂直線s=1的右邊有一個根。s13s12s11s1021410.512

s13+4

s12

s1

1=0現在是98頁\一共有139頁\編輯于星期四系統的穩態分量反映系統跟蹤控制信號的準確度或抑制擾動信號的能力，用穩態誤差來描述。在系統的分析、設計中，穩態誤差是一項重要的性能指標，它與系統本身的結構、參數及外作用的形成有關，也與元件的不靈敏、零點漂移、老化及各種傳動機械的間隙、摩擦等因素有關。本節只討論由于系統結構、參數及外作用等因素所引起的穩態誤差。3.6

線性系統的誤差分析現在是99頁\一共有139頁\編輯于星期四

誤差的基本概念

1.誤差的定義誤差的定義有兩種：①從系統輸入端定義，它等于系統的輸入信號與反饋信號之差，即

E(s)=R(s)B(s)

在實際當中，各量均可測量，具有物理意義。G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)現在是100頁\一共有139頁\編輯于星期四

②從系統輸出端定義，它定義為系統輸出量的期望值與實際值之差。E*

(s)=C*(s)C(s)由于C*(s)不可測量，故僅具有數學意義。

對于單位反饋系統，兩種定義是一致的。

2.兩種定義的關系G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)現在是101頁\一共有139頁\編輯于星期四

將上圖等效成單位負反饋系統，兩圖比較可知，U(s)=1/H(s),C*(s)為輸出的期望值。因而，E*(s)是從輸出端定義的非單位反饋控制系統的誤差。

由此可見，從系統輸入端定義的穩態誤差，可以直接或間接地表示出從系統輸出端定義的穩態誤差。G(s)H(s)R(s)C(s)1H(s)E*(s)C*(s)﹣+G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)B(s)U(s)﹣+E*(s)C*(s)U(S)現在是102頁\一共有139頁\編輯于星期四

3.穩態誤差ess定義：例3-8設單位反饋控制系統的開環傳函為：

當r(t)=t2/2R(s)=1/s3解法一：試求當輸入信號分別為r(t)=t2/2，r(t)=1(t)，

r(t)=t

，

r(t)=sinωt時，控制系統的穩態誤差。解：

終值定理的條件：除原點外，在虛軸及s平面的右半平面無極點?，F在是103頁\一共有139頁\編輯于星期四解法二：e(t)=T(t－T)+T2e－t/T

(2)

當r(t)=1(t)R(s)=1/s(3)當r(t)=t

R(s)=1/s2現在是104頁\一共有139頁\編輯于星期四(4)當r(t)=sinωt

R(s)=ω/(s2+ω2)終值定理的條件不成立！

終值定理的條件：除原點外，在虛軸及s平面的右半平面無極點?，F在是105頁\一共有139頁\編輯于星期四3.6.2控制系統類型不失一般性，閉環系統的開環傳遞函數可寫為：υ

=0

稱為0型系統；υ

=1稱為Ⅰ型系統；υ

=2稱為Ⅱ型系統。等等在一般情況下，系統誤差的拉氏變換為：現在是106頁\一共有139頁\編輯于星期四1.階躍輸入作用下的穩態誤差令稱為系統的靜態位置誤差系數

0型系統：Kp

=

Kess=

A/(1+K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系統：Kp

=∞

ess=03.6.3在給定作用下的穩態誤差計算分析現在是107頁\一共有139頁\編輯于星期四2.單位斜坡輸入作用下的穩態誤差令靜態速度誤差系數

0型系統：Kv

=0ess=∞，0型系統無法跟蹤斜坡輸入

Ⅰ型系統：Kv

=

Kess=

B/K，有差跟蹤Ⅱ型及Ⅱ型以上系統：Kv

=∞

ess=0，無差跟蹤現在是108頁\一共有139頁\編輯于星期四3.加速度輸入作用下的穩態誤差令靜態加速度誤差系數

0型系統：Ka=0ess=∞Ⅰ型系統：Ka

=0ess=∞Ⅱ型系統：Ka

=

Kess=

C/KⅢ型及Ⅲ型以上系統：Ka

=∞

ess=0現在是109頁\一共有139頁\編輯于星期四階躍、斜坡、加速度輸入作用下的穩態誤差r(t)=Ct2/2r(t)=Btr(t)=A·1(t)靜態誤差系數系統型別ess=C/Ka

ess=B/Kv

ess=A/(1+Kp)

KpKvKaυ∞∞A/(1+K

)

K

0

00∞C/K

00

∞∞

KПB/K

0

∞

K

0?現在是110頁\一共有139頁\編輯于星期四現在是111頁\一共有139頁\編輯于星期四例3-9

已知兩個系統如圖所示，當參考輸入

r(t)=4+6t+3t2，試分別求出兩個系統的穩態誤差。

解：圖（a），Ⅰ型系統

Kp=∞，

Kv=10/4

，Ka=0圖（b），Ⅱ型系統Kp=∞，

Kv=∞

，Ka=10/410s(s+4)R(s)C(s)E(s)（a）﹣+10(s+1)s2(s+4)R(s)C(s)E(s)（b）﹣+現在是112頁\一共有139頁\編輯于星期四例3-10設圖所示系統的輸入信號r(t)=10+5t，試分析系統的穩定性并求出其穩態誤差。解由圖求得系統的特征方程為R(s)-C(s)系統結構圖現在是113頁\一共有139頁\編輯于星期四由特征方程列勞斯表

21+0.5K3KK要使系統穩定，必須

K>0,1+0.5K>0,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K>-2，K<6所以，當0<K<6時，系統是穩定的。由圖可知，系統的開環傳遞函數為系統的穩態誤差系數分別為現在是114頁\一共有139頁\編輯于星期四所以，系統的穩態誤差為

上述結果表明，系統的穩態誤差與K成反比，K值越大，穩態誤差越小，但K值的增大受到穩定性的限制，當K>6時，系統將不穩定。r(t)=10+5t現在是115頁\一共有139頁\編輯于星期四給定穩態誤差（由給定輸入引起的穩態誤差）擾動穩態誤差（由擾動輸入引起的穩態誤差）對于隨動系統，給定輸入變化，要求系統輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩態誤差來衡量系統的穩態性能。

對恒值系統，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩態誤差來衡量系統的穩態性能。3.6.4擾動作用下的穩態誤差現在是116頁\一共有139頁\編輯于星期四所有的控制系統除承受輸入信號作用外，還經常處于各種擾動作用之下。因此，系統在擾動作用下的穩態誤差數值，反映了系統的抗干擾能力。

計算系統在擾動作用下的穩態誤差，同樣可以采用拉氏變換終值定理。例3-11控制系統如圖G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++現在是117頁\一共有139頁\編輯于星期四H(s)=1，G1(s)=K1，G2(s)=K2/s(Ts+1)試求系統在單位階躍給定和單位階躍擾動共同作用下的穩態誤差。解：（1）單位階躍給定作用下的穩態誤差:系統是Ⅰ型系統：Kp

=∞

ess=0

（2）單位階躍擾動作用下的穩態誤差。系統誤差的拉氏變換為

K1R(s)C(s)﹣+E(s)K2

s(Ts+1)N(s)++現在是118頁\一共有139頁\編輯于星期四

系統結構穩定，且滿足終值定理的使用條件。擾動單獨作用時穩態誤差為

（3）根據線性系統的疊加原理，系統在單位階躍給定和單位階躍擾動共同作用下的穩態誤差為現在是119頁\一共有139頁\編輯于星期四例3-12系統結構圖如圖所示。（1）Kt=0時系統的性能?

（2）Kt時，s,ts變化趨勢?

x=0.707時,s,ts=？

（3）Kt，r(t)=t，ess變化趨勢?

x=0.707時,ess=？解.(1)時

系統結構不穩定！(2)時(2)時

(3)現在是120頁\一共有139頁\編輯于星期四3.6.5提高系統控制精度的措施

上面的分析和例題可知：通過調整系統的結構和參數，可以提高系統精度，比如：增加積分環節的個數或增大開環放大倍數；但積分環節個數一般不能超過2個，K也不能任意擴大，否則會造成動態品質變差，甚至造成系統不穩定。

解決的辦法是引入與給定或擾動作用有關的附加控制作用，構成復合控制系統。例3-12控制系統結構圖如圖所示。圖中試確定補償通道的傳遞函數，使系統在單位斜坡給定作用下無穩態誤差?，F在是121頁\一共有139