2023年中考數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．若點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函數y＝﹣圖象上的點，并且y1＜0＜y2＜y3，則下列各式中正確的是（）A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x12．在一次男子馬拉松長跑比賽中，隨機抽取了10名選手，記錄他們的成績（所用的時間）如下：選手12345678910時間(min)129136140145146148154158165175由此所得的以下推斷不正確的是（）A．這組樣本數據的平均數超過130B．這組樣本數據的中位數是147C．在這次比賽中，估計成績為130min的選手的成績會比平均成績差D．在這次比賽中，估計成績為142min的選手，會比一半以上的選手成績要好3．已知二次函數(為常數)，當時，函數的最小值為5，則的值為()A．－1或5 B．－1或3 C．1或5 D．1或34．小明解方程的過程如下，他的解答過程中從第（）步開始出現錯誤．解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1①去括號，得1﹣x+2＝1②合并同類項，得﹣x+3＝1③移項，得﹣x＝﹣2④系數化為1，得x＝2⑤A．① B．② C．③ D．④5．山西有著悠久的歷史，遠在100多萬年前就有古人類生息在這塊土地上．春秋時期，山西大部分為晉國領地，故山西簡稱為“晉”，戰國初韓、趙、魏三分晉，山西又有“三晉”之稱，下面四個以“晉”字為原型的Logo圖案中，是軸對稱圖形的共有（）A． B． C． D．6．由一些相同的小立方塊搭成的幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體的小立方塊有（）A．3塊 B．4塊 C．6塊 D．9塊7．如圖，已知點A，B分別是反比例函數y=（x＜0），y=（x＞0）的圖象上的點，且∠AOB=90°，tan∠BAO=，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣48．下列實數中是無理數的是（）A． B．π C． D．9．隨著我國綜合國力的提升，中華文化影響日益增強，學中文的外國人越來越多，中文已成為美國居民的第二外語，美國常講中文的人口約有210萬，請將“210萬”用科學記數法表示為（）A． B． C． D．10．如圖所示的四張撲克牌背面完全相同，洗勻后背面朝上，則從中任意翻開一張，牌面數字是3的倍數的概率為（）A． B． C． D．11．為了增強學生體質，學校發起評選“健步達人”活動，小明用計步器記錄自己一個月（30天）每天走的步數，并繪制成如下統計表：步數（萬步）1.01.21.11.41.3天數335712在每天所走的步數這組數據中，眾數和中位數分別是（）A．1.3，1.1 B．1.3，1.3 C．1.4，1.4 D．1.3，1.412．如圖，若a∥b，∠1=60°，則∠2的度數為（）A．40° B．60° C．120° D．150°二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．若a+b=5，ab=3，則a2+b2=_____．14．如圖，扇形OAB的圓心角為30°，半徑為1，將它沿箭頭方向無滑動滾動到O′A′B′的位置時，則點O到點O′所經過的路徑長為_____．15．如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，垂足為點E，△BDE是等邊三角形，若AD＝4，則線段BE的長為______．16．如圖，點P的坐標為（2，2），點A，B分別在x軸，y軸的正半軸上運動，且∠APB=90°．下列結論：①PA=PB；②當OA=OB時四邊形OAPB是正方形；③四邊形OAPB的面積和周長都是定值；④連接OP，AB，則AB＞OP．其中正確的結論是_____．（把你認為正確結論的序號都填上）17．在△ABC中，點D在邊BC上，且BD：DC=1：2，如果設=，=，那么等于__（結果用、的線性組合表示）．18．小剛家、公交車站、學校在一條筆直的公路旁（小剛家、學校到這條公路的距離忽略不計）．一天，小剛從家出發去上學，沿這條公路步行到公交站恰好乘上一輛公交車，公交車沿這條公路勻速行駛，小剛下車時發現還有4分鐘上課，于是他沿著這條公路跑步趕到學校（上、下車時間忽略不計），小剛與學校的距離s（單位：米）與他所用的時間t（單位：分鐘）之間的函數關系如圖所示．已知小剛從家出發7分鐘時與家的距離是1200米，從上公交車到他到達學校共用10分鐘．下列說法：①公交車的速度為400米/分鐘；②小剛從家出發5分鐘時乘上公交車；③小剛下公交車后跑向學校的速度是100米/分鐘；④小剛上課遲到了1分鐘．其中正確的序號是_____．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A（，1）在反比例函數的圖象上．求反比例函數的表達式；在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP=S△AOB，求點P的坐標；若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數的圖象上，說明理由．20．（6分）講授“軸對稱”時，八年級教師設計了如下：四種教學方法：①教師講，學生聽②教師讓學生自己做③教師引導學生畫圖發現規律④教師讓學生對折紙，觀察發現規律，然后畫圖為調查教學效果，八年級教師將上述教學方法作為調研內容發到全年級8個班420名同學手中，要求每位同學選出自己最喜歡的一種．他隨機抽取了60名學生的調查問卷，統計如圖(1)請將條形統計圖補充完整；(2)計算扇形統計圖中方法③的圓心角的度數是；(3)八年級同學中最喜歡的教學方法是哪一種？選擇這種教學方法的約有多少人？21．（6分）如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長．22．（8分）如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC、BD的交點，點E是邊CD的中點，點F在BC的延長線上，且CF＝BC，求證：四邊形OCFE是平行四邊形．23．（8分）某商店準備購進甲、乙兩種商品．已知甲商品每件進價15元，售價20元；乙商品每件進價35元，售價45元．(1)若該商店同時購進甲、乙兩種商品共100件，恰好用去2700元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？(2)若該商店準備用不超過3100元購進甲、乙兩種商品共100件，且這兩種商品全部售出后獲利不少于890元，問應該怎樣進貨，才能使總利潤最大，最大利潤是多少？（利潤=售價﹣進價）24．（10分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．求∠ABC的度數；求證：AE是⊙O的切線；當BC=4時，求劣弧AC的長．25．（10分）從2017年1月1日起，我國駕駛證考試正式實施新的駕考培訓模式，新規定C2駕駛證的培訓學時為40學時，駕校的學費標準分不同時段，普通時段a元/學時，高峰時段和節假日時段都為b元/學時．（1）小明和小華都在此駕校參加C2駕駛證的培訓，下表是小明和小華的培訓結算表（培訓學時均為40），請你根據提供的信息，計算出a，b的值．學員培訓時段培訓學時培訓總費用小明普通時段206000元高峰時段5節假日時段15小華普通時段305400元高峰時段2節假日時段8（2）小陳報名參加了C2駕駛證的培訓，并且計劃學夠全部基本學時，但為了不耽誤工作，普通時段的培訓學時不會超過其他兩個時段總學時的，若小陳普通時段培訓了x學時，培訓總費用為y元①求y與x之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍；②小陳如何選擇培訓時段，才能使得本次培訓的總費用最低？26．（12分）如圖，在?ABCD中，過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥DC于點F，AE=AF．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若∠EAF=60°，CF=2，求AF的長．27．（12分）如圖，已知拋物線經過，兩點，頂點為.（1）求拋物線的解析式；（2）將繞點順時針旋轉后，點落在點的位置，將拋物線沿軸平移后經過點，求平移后所得圖象的函數關系式；（3）設（2）中平移后，所得拋物線與軸的交點為，頂點為，若點在平移后的拋物線上，且滿足的面積是面積的2倍，求點的坐標.

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、D【解析】

先根據反比例函數的解析式判斷出函數圖象所在的象限及在每一象限內函數的增減性，再根據y1＜0＜y2＜y3判斷出三點所在的象限，故可得出結論．【詳解】解：∵反比例函數y＝﹣中k＝﹣1＜0，∴此函數的圖象在二、四象限，且在每一象限內y隨x的增大而增大，∵y1＜0＜y2＜y3，∴點（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）兩點均在第二象限，∴x2＜x3＜x1．故選：D．【點睛】本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，先根據題意判斷出函數圖象所在的象限是解答此題的關鍵．2、C【解析】分析：要求平均數只要求出數據之和再除以總個數即可；對于中位數，因圖中是按從小到大的順序排列的，所以只要找出最中間的一個數（或最中間的兩個數）即可求解．詳解：平均數=（129+136+140+145+146+148+154+158+165+175）÷10=149.6(min),故這組樣本數據的平均數超過130，A正確，C錯誤；因為表中是按從小到大的順序排列的，一共10名選手，中位數為第五位和第六位的平均數，故中位數是（146+148）÷2=147(min),故B正確，D正確.故選C.點睛：本題考查的是平均數和中位數的定義．要注意，當所給數據有單位時，所求得的平均數和中位數與原數據的單位相同，不要漏單位．3、A【解析】

由解析式可知該函數在x=h時取得最小值1，x>h時，y隨x的增大而增大；當x<h時，y隨x的增大而減小；根據1≤x≤3時，函數的最小值為5可分如下兩種情況：①若h<1，可得x=1時，y取得最小值5；②若h>3，可得當x=3時，y取得最小值5，分別列出關于h的方程求解即可．【詳解】解：∵x>h時，y隨x的增大而增大，當x<h時，y隨x的增大而減小，∴①若h<1，當時，y隨x的增大而增大，∴當x=1時，y取得最小值5，可得：，解得：h=?1或h=3（舍），∴h=?1；②若h>3，當時，y隨x的增大而減小，當x=3時，y取得最小值5，可得：，解得：h=5或h=1（舍），∴h=5，③若1≤h≤3時，當x=h時，y取得最小值為1，不是5，∴此種情況不符合題意，舍去．綜上所述，h的值為?1或5，故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數的性質和最值，根據二次函數的性質和最值進行分類討論是解題的關鍵．4、A【解析】

根據解分式方程的方法可以判斷哪一步是錯誤的，從而可以解答本題．【詳解】=1，去分母，得1-（x-2）=x，故①錯誤，故選A．【點睛】本題考查解分式方程，解答本題的關鍵是明確解分式方程的方法．5、D【解析】

根據軸對稱圖形的概念求解．【詳解】A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故此選項正確．

故選D．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．6、B【解析】分析：從俯視圖中可以看出最底層小正方體的個數及形狀，從主視圖和左視圖可以看出每一層小正方體的層數和個數，從而算出總的個數．解答：解：從俯視圖可得最底層有3個小正方體，由主視圖可得有2層上面一層是1個小正方體，下面有2個小正方體，從左視圖上看，后面一層是2個小正方體，前面有1個小正方體，所以此幾何體共有四個正方體．故選B．7、D【解析】

首先過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，易得△OBD∽△AOC，又由點A，B分別在反比例函數y=（x＜0），y=（x＞0）的圖象上，即可得S△OBD=，S△AOC=|k|，然后根據相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求出k的值【詳解】解：過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，

∴∠ACO=∠ODB=90°，

∴∠OBD+∠BOD=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∴∠OBD=∠AOC，

∴△OBD∽△AOC，

又∵∠AOB=90°，tan∠BAO=，

∴=，

∴=，即，

解得k=±4，

又∵k＜0，

∴k=-4，

故選：D．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質、反比例函數的性質以及直角三角形的性質．解題時注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法。8、B【解析】

無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．【詳解】A、是分數，屬于有理數；B、π是無理數；C、=3，是整數，屬于有理數；D、-是分數，屬于有理數；故選B．【點睛】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數．9、B【解析】【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數．【詳解】210萬=2100000，2100000=2.1×106，故選B．【點睛】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．10、C【解析】

根據題意確定所有情況的數目，再確定符合條件的數目，根據概率的計算公式即可．【詳解】解：由題意可知，共有4種情況，其中是3的倍數的有6和9，∴是3的倍數的概率，故答案為：C．【點睛】本題考查了概率的計算，解題的關鍵是熟知概率的計算公式．11、B【解析】

在這組數據中出現次數最多的是1.1，得到這組數據的眾數；把這組數據按照從小到大的順序排列，第15、16個數的平均數是中位數．【詳解】在這組數據中出現次數最多的是1.1，即眾數是1.1．要求一組數據的中位數，把這組數據按照從小到大的順序排列，第15、16個兩個數都是1.1，所以中位數是1.1．故選B．【點睛】本題考查一組數據的中位數和眾數，在求中位數時，首先要把這列數字按照從小到大或從的大到小排列，找出中間一個數字或中間兩個數字的平均數即為所求．12、C【解析】如圖：∵∠1=60°，∴∠3=∠1=60°，又∵a∥b，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=120°，故選C.點睛：本題考查了平行線的性質，對頂角相等的性質，熟記性質是解題的關鍵.平行線的性質定理：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補，兩條平行線之間的距離處處相等.二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、1【解析】試題分析：首先把等式a+b=5的等號兩邊分別平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根據題意即可得解．解：∵a+b=5，∴a2+2ab+b2=25，∵ab=3，∴a2+b2=1．故答案為1．考點：完全平方公式．14、【解析】

點O到點O′所經過的路徑長分三段，先以A為圓心，1為半徑，圓心角為90度的弧長，再平移了AB弧的長，最后以B為圓心，1為半徑，圓心角為90度的弧長．根據弧長公式計算即可．【詳解】解：∵扇形OAB的圓心角為30°，半徑為1，∴AB弧長=∴點O到點O′所經過的路徑長=故答案為:【點睛】本題考查了弧長公式：．也考查了旋轉的性質和圓的性質．15、1【解析】

本題首先由等邊三角形的性質及垂直定義得到∠DBE=60°，∠BEC=90°，再根據等腰三角形的性質可以得出∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，最后根據三角形內角和定理得出關系式∠C-60°+∠C=90°解出∠C，推出AD=DE，于是得到結論．【詳解】∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°；∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，則∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，∠BEC=90°；∴∠EBC+∠C=90°，即∠C-60°+∠C=90°，解得∠C=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=30°，∵∠AED=90°-∠DEB=30°，∴∠A=∠AED，∴DE=AD=1，∴BE=DE=1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質及等邊三角形的性質及垂直定義，解題的關鍵是根據三角形內角和定理列出符合題意的簡易方程，從而求出結果．16、①②【解析】

過P作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，得出四邊形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=1，證△APM≌△BPN，可對①進行判斷，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM=2，當當OA=OB時，OA=OB=1，然后可對②作出判斷，由△APM≌△BPN可對四邊形OAPB的面積作出判斷，由OA+OB=2，然后依據AP和PB的長度變化情況可對四邊形OAPB的周長作出判斷，求得AB的最大值以及OP的長度可對④作出判斷．【詳解】過P作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N

∵P（1，1），

∴PN=PM=1．

∵x軸⊥y軸，

∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，

∴∠MPN=360°-90°-90°-90°=90°，則四邊形MONP是正方形，

∴OM=ON=PN=PM=1，

∵∠MPA=∠APB=90°，

∴∠MPA=∠NPB．

∵∠MPA=∠NPB，PM=PN，∠PMA=∠PNB，

∴△MPA≌△NPB，

∴PA=PB，故①正確．

∵△MPA≌△NPB，

∴AM=BN，

∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2．

當OA=OB時，OA=OB=1，則點A、B分別與點M、N重合，此時四邊形OAPB是正方形，故②正確．

∵△MPA≌△NPB，

∴四邊形OAPB的面積=四邊形AONP的面積+△PNB的面積=四邊形AONP的面積+△PMA的面積=正方形PMON的面積=2．

∵OA+OB=2，PA=PB，且PA和PB的長度會不斷的變化，故周長不是定值，故③錯誤．

，∵∠AOB+∠APB=180°，

∴點A、O、B、P共圓，且AB為直徑，所以

AB≥OP，故④錯誤．

故答案為：①②．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，坐標與圖形性質，正方形的性質的應用，關鍵是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON17、【解析】

根據三角形法則求出即可解決問題；【詳解】如圖，∵=，=，∴=+=-，∵BD=BC，∴=．故答案為．【點睛】本題考查平面向量，解題的關鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考常考題型．18、①②③【解析】

由公交車在7至12分鐘時間內行駛的路程可求解其行駛速度，再由求解的速度可知公交車行駛的時間，進而可知小剛上公交車的時間；由上公交車到他到達學校共用10分鐘以及公交車行駛時間可知小剛跑步時間，進而判斷其是否遲到，再由圖可知其跑步距離，可求解小剛下公交車后跑向學校的速度.【詳解】解：公交車7至12分鐘時間內行駛的路程為3500-1200-300=2000m，則其速度為2000÷5=400米/分鐘，故①正確；由圖可知，7分鐘時，公交車行駛的距離為1200-400=800m，則公交車行駛的時間為800÷400=2min，則小剛從家出發7-2=5分鐘時乘上公交車，故②正確；公交車一共行駛了2800÷400=7分鐘，則小剛從下公交車到學校一共花了10-7=3分鐘＜4分鐘，故④錯誤，再由圖可知小明跑步時間為300÷3=100米/分鐘，故③正確.故正確的序號是：①②③.【點睛】本題考查了一次函數的應用.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）；（2）P（，0）；（3）E（，﹣1），在．【解析】

（1）將點A（，1）代入，利用待定系數法即可求出反比例函數的表達式；（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（，﹣3），計算求出S△AOB=××4=．則S△AOP=S△AOB=．設點P的坐標為（m，0），列出方程求解即可；（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根據旋轉的性質求出E點坐標為（﹣，﹣1），即可求解．【詳解】（1）∵點A（，1）在反比例函數的圖象上，∴k=×1=，∴反比例函數的表達式為；（2）∵A（，1），AB⊥x軸于點C，∴OC=，AC=1，由射影定理得=AC?BC，可得BC=3，B（，﹣3），S△AOB=××4=，∴S△AOP=S△AOB=．設點P的坐標為（m，0），∴×|m|×1=，∴|m|=，∵P是x軸的負半軸上的點，∴m=﹣，∴點P的坐標為（，0）；（3）點E在該反比例函數的圖象上，理由如下：∵OA⊥OB，OA=2，OB=，AB=4，∴sin∠ABO===，∴∠ABO=30°，∵將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC=，BC﹣DE=1，∴E（，﹣1），∵×（﹣1）=，∴點E在該反比例函數的圖象上．考點：待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數系數k的幾何意義；坐標與圖形變化-旋轉．20、解：(1)見解析；(2)108°；(3)最喜歡方法④，約有189人.【解析】

（1）由題意可知：喜歡方法②的學生有60-6-18-27=9（人）；（2）求方法③的圓心角應先求所占比值，再乘以360°；（3）根據條形的高低可判斷喜歡方法④的學生最多，人數應該等于總人數乘以喜歡方法④所占的比例；【詳解】(1)方法②人數為60?6?18?27=9(人);補條形圖如圖：(2)方法③的圓心角為故答案為108°(3)由圖可以看出喜歡方法④的學生最多,人數為(人)；【點睛】考查扇形統計圖,條形統計圖，用樣本估計總體,比較基礎，難度不大，是中考常考題型.21、（1）見解析；（2）2【解析】試題分析：（1）連接OB，證PB⊥OB．根據四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證；（2）連接OP，根據切線長定理得直角三角形，根據含30度角的直角三角形的性質即可求得結果．（1）連接OB．∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°．∵四邊形的內角和為360°，∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．∴OB⊥PB．又∵點B是⊙O上的一點，∴PB是⊙O的切線．（2）連接OP，∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=1．∴PA=OP2-OA2=2∵PA=PB，∠APB=60°，∴PA=PB=AB=2．考點：此題考查了切線的判定、切線長定理、含30度角的直角三角形的性質點評：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．22、證明見解析.【解析】

利用三角形中位線定理判定OE∥BC，且OE=BC．結合已知條件CF=BC，則OE//CF，由“有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”證得結論．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點O是BD的中點．又∵點E是邊CD的中點，∴OE是△BCD的中位線，∴OE∥BC，且OE=BC．又∵CF=BC，∴OE=CF．又∵點F在BC的延長線上，∴OE∥CF，∴四邊形OCFE是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和三角形中位線定理．此題利用了“平行四邊形的對角線互相平分”的性質和“有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”的判定定理．熟記相關定理并能應用是解題的關鍵.23、(1)商店購進甲種商品40件，購進乙種商品60件；(2)應購進甲種商品20件，乙種商品80件，才能使總利潤最大，最大利潤為900元．【解析】

（1）設購進甲、乙兩種商品分別為x件與y件，根據甲種商品件數+乙種商品件數=100，甲商品的總進價+乙種商品的總進價=2700，列出關于x與y的方程組，求出方程組的解即可得到x與y的值，得到購進甲、乙兩種商品的件數；（2）設商店購進甲種商品a件，則購進乙種商品（100-a）件，根據甲商品的總進價+乙種商品的總進價小于等于3100，甲商品的總利潤+乙商品的總利潤大于等于890列出關于a的不等式組，求出不等式組的解集，得到a的取值范圍，根據a為正整數得出a的值，再表示總利潤W，發現W與a成一次函數關系式，且為減函數，故a取最小值時，W最大，即可求出所求的進貨方案與最大利潤．【詳解】(1)設購進甲種商品x件，購進乙商品y件，根據題意得：，解得：，答：商店購進甲種商品40件，購進乙種商品60件；(2)設商店購進甲種商品a件，則購進乙種商品（100﹣a）件，根據題意列得：，解得：20≤a≤22，∵總利潤W=5a+10（100﹣a）=﹣5a+1000，W是關于a的一次函數，W隨a的增大而減小，∴當a=20時，W有最大值，此時W=900，且100﹣20=80，答：應購進甲種商品20件，乙種商品80件，才能使總利潤最大，最大利潤為900元．【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的性質，以及一元一次不等式組的應用，弄清題中的等量關系及不等關系是解本題的關鍵．24、（1）60°;(2)證明略;(3)【解析】

（1）根據∠ABC與∠D都是劣弧AC所對的圓周角，利用圓周角定理可證出∠ABC=∠D=60°；

（2）根據AB是⊙O的直徑，利用直徑所對的圓周角是直角得到∠ACB=90°，結合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，從而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切線；

（3）連結OC，證出△OBC是等邊三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半徑等于4，可得劣弧AC所對的圓心角∠AOC=120°，再由弧長公式加以計算，可得劣弧AC的長．【詳解】（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，∴∠ABC=∠D=60°；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；（3）如圖，連接OC，∵OB=OC，∠ABC=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC=4，∠BOC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的長為==．【點睛】本題考查了切線長定理及弧長公式，熟練掌握定理及公式是解題的關鍵.25、（1）120，180；（2）①y=-60x+7200，0≤x≤；②x=時，y有最小值，此時y最小=-60×+7200=6400（元）．【解析】

（1）根據小明和小華的培訓結算表列出關于a、b的二元一次方程組，解方程即可求解；（2）①根據培訓總費用=普通時段培訓費用+高峰時段和節假日時段培訓費用列出y與x之間的函數關系式，進而確定自變量x的取值范圍；②根據一次函數的性質