案例四用動力學觀點或能量觀點破解電磁感應計算題(12分)(2020·全國Ⅲ卷)如圖,一邊長為l0的正方形金屬框abcd固定在水平面內,空間存在方向垂直于水平面、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一長度大于

l0的均勻導體棒以速率v自左向右在金屬框上勻速滑過,滑動過程中導體棒始終與ac垂直且中點位于ac上,導體棒與金屬框接觸良好。已知導體棒單位長度的電阻為r,金屬框電阻可忽略。將導體棒與a點之間的距離記為x,求導體棒所受安培力的大小隨x(0≤x≤

l0)變化的關系式。【評分標準】當導體棒與金屬框接觸的兩點間棒的長度為l時,由法拉第電磁感應定律知,導體棒上感應電動勢的大小為E=Blv ①(2分)由歐姆定律,流過導體棒的感應電流為I=

②(1分)式中,R為這一段導體棒的電阻。按題意有R=rl ③(2分)此時導體棒所受安培力的大小為f=BIl ④(1分)由題設和幾何關系有l=

⑤(2分)聯立①②③④⑤式得f=

⑥(4分)

【閱卷揭秘】①寫出標準公式即可得分。③寫出電阻的表達式或I=

均可得分。⑤根據關系分類羅列,每個條件1分。未標注x范圍的不得分。(答題陷阱點)⑥根據公式分類計算,每個結果2分。未標注x范圍的不得分。(答題陷阱點)【答題規則】規則1:解題過程要有必要的過程和公式題目簡單,也要有必須的中間過程,符號的應用應當統一規范,不能簡寫。規則2:書寫說明的時候,應當用規范的表述例如法拉第電磁感應定律。規則3:未知公式一定用語言說明R為這一段導體棒的電阻,電阻的計算公式是根據題意自行推測出來的,需要有說明。規則4:分步列式,不要只寫綜合式前4個公式,每個基本公式都會對應步驟分,漏寫一個,就會扣掉該步驟分。除上述規則,還需關注以下規則:規則5:有小數點、有效數字或其他特殊要求的要按要求操作要求結果保留2位有效數字,就不能保留1位,否則不得分。沒有具體要求的結果帶根號或分式均可。【考生滿分答卷】體驗規則贏滿分1.(彈力下的單棒切割)如圖所示,兩足夠長的光滑平行金屬導軌水平放置,處于磁感應強度為B、方向豎直向上的勻強磁場中,導軌間距為L,一端連接阻值為R的電阻。一金屬棒垂直導軌放置,質量為m,接入電路的電阻為r。水平放置的輕彈簧左端固定,右端與金屬桿中點絕緣連接,彈簧勁度系數為k,裝置處于靜止狀態。現給導體棒一個水平向右的初速度v0,第一次運動到最右端時,棒的加速度為a,棒與導軌始終接觸良好,導軌電阻不計,彈簧在彈性限度內,重力加速度為g,求:(1)金屬棒剛開始運動時受到的安培力F的大小和方向;(2)金屬棒從開始運動到第一次運動到最右端時,通過R的電荷量q;(3)金屬棒從開始運動到最終停止的整個過程中,R上產生的熱量Q。1.【解析】(1)金屬棒剛開始運動時,感應電流:I0=安培力:F=I0LB解得:F=,方向水平向左。(2)設金屬棒向右運動的最大距離為x,則a=此過程回路產生的平均感應電動勢通過電阻R的電荷量q=Δt解得:q=(3)金屬棒從開始運動到最終停止的整個過程,由能量守恒定律可知回路產生的總熱量Q總=由于可得:Q=。答案:(1)方向水平向左(2)

(3)2.(斜面切割能量轉化)如圖所示,兩根足夠長的光滑金屬導軌平行放置在傾角為30°的絕緣斜面上,導軌寬度為L,下端接有阻值為R的電阻,導軌處于方向垂直于斜面向上、磁感應強度大小為B0的勻強磁場中。輕繩一端跨過光滑定滑輪,懸吊質量為m的小物塊,另一端平行于導軌系在質量為m的金屬棒的中點,現將金屬棒從PQ位置由靜止釋放,金屬棒與導軌接觸良好且電阻均忽略不計,重力加速度為g。(1)求金屬棒勻速運動時的速度大小;(2)若金屬棒速度為v0且距離導軌底端x時開始計時,磁場的磁感應強度B的大小隨時間t發生變化,使回路中無電流,請推導出磁感應強度B的大小隨時間t變化的關系式。【解析】(1)金屬棒勻速運動時,對物塊:FT=mg對金屬棒有:F安+mgsin30°=FT又因F安=B0IL由歐姆定律:I=聯立解得:v=(2)當回路中沒有電流時,金屬棒不受安培力對金屬棒:FT′-mgsin30°=ma對物塊:mg-FT′=ma回路中無電流,回路中的磁通量不變,則:B0Lx=BL(x+v0t+at2)聯立解得:B=。答案:(1)

(2)B=3.(含容切割)如圖甲所示,兩平行長直光滑金屬導軌水平放置,間距為L,左端連接一個電容為C的電容器,導軌處在磁感應強度大小為B、方向垂直導軌平面向上的勻強磁場中。質量為m的金屬棒垂直導軌放置,某時刻金屬棒獲得一個水平向右的初速度v0,之后金屬棒運動的v-t圖像如圖乙所示。不考慮導軌的電阻。(1)求金屬棒勻速運動時的速度的大小v1;(2)求金屬棒勻速運動時電容器的電荷量q;(3)已知金屬棒從開始到勻速運動的過程中,產生的焦耳熱為Q,求電容器充電穩定后儲存的電能E電能。【解析】(1)金屬棒勻速運動切割磁感線產生的電動勢E=BLv1電容器的電荷量q=CE金屬棒從開始到勻速運動的過程中,由動量定理有-BLt0=mv1-mv0

電容器的電荷量q=t0

聯立解得v1=(2)由(1)可知q=CE=CBLv1=(3)在0～t0時間內,金屬棒的速度由v0到v1,由能量守恒可得E電能+Q=解得E電能=答案:(1)

(2)(3)4.(電磁感應在科技中的應用)我國高鐵技術處于世界領先水平,其中一項為電磁剎車技術。某次科研小組要利用模型火車探究電磁剎車的效果,如圖所示,軌道上相距s處固定著兩個長l、寬0.5l

、電阻為R的單匝線圈,s>0.5l

。在火車頭安裝一個電磁裝置,它能產生長l、寬0.5l的矩形勻強磁場,磁感強度為B。經調試,火車在軌道上運行時摩擦力為零,不計空氣阻力。現讓火車以初速度v0從圖示位置開始勻速運動,經過2個線圈,矩形磁場剛出第2個線圈時火車停止。測得第1個線圈產生的焦耳熱Q1是第2個線圈產生的焦耳熱Q2的3倍。求:(1)車頭磁場剛進入第1個線圈時,火車所受的安培力大小;(2)求車頭磁場在兩線圈之間勻速運行的時間。【解析】(1)對線圈,由法拉第電磁感應定律E=Blv0 ①由閉合電路歐姆定律I= ②F安=BIl ③