《導數的概念》教學設計（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）教學環節內容師生活動設計意圖復習引入提出問題【回顧1】當運動員從10米高臺跳水時，從騰空到進入水面的過程中，不同時刻的速度是不同的.假設t秒后運動員相對地面的高度為：，問在2秒時運動員的瞬時速度為多少？【回顧2】已知曲線C是函數的圖象,求曲線上點P處的切線斜率.【思考】對瞬時速度和和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處？學生相互交流探討瞬時速度和和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處.針對新概念創設相應的學生熟悉的問題情景，讓學生從概念的現實原型，體驗、感受直觀背景和概念間的關系，為學生主動建構新知提供自然的生長點.類比探索形成概念①歸納共性揭示本質研究對象求解問題求解方法本質思想具體例子物體運動規律H=h(t)物體在時的瞬時速度求時間增量求位移增量求平均速度求瞬時速度平均速度的極限極限思想曲線y=f(x)曲線上P點處切線的斜率求橫坐標增量求縱坐標增量求割線的斜率求切線的斜率割線斜率的極限極限思想一般情形函數y=f(x)函數在處的變化率？？？？？？【師生活動】將學生分成若干學習小組，以表格為載體為師生、生生互動搭起積極交流的探究平臺.教師巡視，鼓勵學生參與，對個別學有困難的小組加以指導.探究后，共同歸納得出：兩個問題的解決在方法、本質、思想上都有相同之處.一個是“位移改變量與時間改變量之比”的極限，一個是“縱坐標改變量與橫坐標改變量之比”的極限.如果舍去它們的具體含義，都可以概括為求平均變化率的極限.【設計意圖】給學生創設探究的平臺，分析瞬時速度和切線的斜率兩個具體問題，討論解決這兩個問題的方法、本質、思想上有什么共同之處，引導學生分析、觀察、歸納，打通揭示事物本質的思維通道.教學環節內容師生活動設計意圖類比探索形成概念②類比遷移形成概念【思考】考慮求一般函數y=f(x)在點到+之間的平均變化率的極限問題，也就是怎樣計算函數在點處的變化率？引出導數定義后，回歸問題情景，反思概念的“原型”解釋“切線的斜率”、“物體的瞬時速度”的本質.引導學生利用求瞬時速度的方法和思想類比探究，猜想得出函數在點處的變化率=,并對猜想的合理性進行分析后，引出定義1：（函數在一點處可導及其導數）用具體到抽象，特殊到一般的思維方式，利用瞬時速度進行類比遷移，自然引出函數在一點處可導和導數的概念.由具體到抽象再回到具體的過程，感知上升到了理性，強化了對概念的理解.類比探索形成概念=3\*GB3③剖析概念加深理解【探討1】怎樣判斷函數在一點是否可導？判斷函數在點處是否可導轉化判斷極限是否存在轉化【探討2】導數是什么？描述角度本質文字語言瞬時變化率符號語言圖形語言（切線斜率）組織學生閱讀“導數”定義，抓住定義中的關鍵詞“可導”與“導數”交流探討，然后通過師生互動挖掘這些概念之間的深層含義.分析導數的本質后，同時簡單提及導數產生的時代背景.引導學生以數學語言（文字語言、符號語言、圖形語言）的理解、把握、運用為切入點去揭示概念的內涵與外延，提高學生數學閱讀和自主學習的能力.讓學生感受數學文化的熏陶，了解導數的文化價值、科學價值和應用價值.教學環節內容師生活動設計意圖類比探索形成概念【探討3】求導數的方法是什么？【例1】將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品,需要對原油進行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h和第6h,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.讓學生類比瞬時速度的問題，根據導數定義歸納出求函數在點處導數的方法步驟：（1）求函數的增量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數.學生動手解答，老師強調符號語言的規范使用，對諸如忘寫括號的現象加以糾正.用定義法求導數是本課的重點之一.有了可導這個邏輯基礎，導數成為可導的自然結果，求導數的方法則是對導數概念的理解與應用.讓學生積極主動參與，進行有意義的建構，有利于重點知識的掌握.本題是教材上的一道例題.在學生建立起導數概念，明確用定義求導數的方法之后,進行強化訓練,滲透算法思想，加深對導數概念的理解，強化對重點知識的鞏固.引申拓展發展概念利用例1繼續設問，函數在處可導，那么，，這些點也可導嗎？從而引申拓展出定義2：（函數在開區間內可導）【探討1】函數在開區間內可導，那么對于每一個確定的值,都有唯一確定的導數值與之相對應，這樣在開區間內存在一個映射嗎？【探討2】存在的這個映射是否構成一個新的函數呢？若能，新函數的定義域和對應法則分別是什么呢？師生互動，共同探討歸納函數在開區間的每一點可導，每一點就有確定的唯一的導數.這樣在開區間內構成一個特殊的映射，這里的映射是數集到數集的映射，就是函數，我們把這個新函數叫做在開區間內的導函數。它的定義域是通過層層展開的探討，激活學生知識思維的“最近發展區”，引導學生主動將新問題與原認知結構中函數的相關知識相聯系，自然引入導函數概念，從而完成從函數在一點可導函數在開區間內可導函數在開區間內的導函數的兩次拓展.教學環節內容師生活動設計意圖引申拓展發展概念【探討3】怎樣求新函數的解析式？探討后引出定義3：（函數在開區間內的導函數）【例2】意圖：導數的實質解釋開區間，對應法則是對開區間內每一點求導.運用函數思想，只要把求一點處的導數替換成，就可以求出導函數的解析式.分學習小組讓學生動腦思考，動手“操作”，相互交流。書面總結出兩小問的區別與聯系，選出代表作品用投影儀全班交流.完善后，屏幕顯示形成共識：【區別】（1）函數在點處的導數，是在點處的變化率，是一個常數；（2）函數的導數是對開區間內任意點而言，是在開區間內任意點的變化率，是一個函數.【聯系】一般而言，在處的導數就是導函數在=處的函數值，表示為，這也是求的一種方法.本例共兩個小問，第(1)小問是教材上的一道例題,第(2)小問是補充題.兩問都是求導數，但它們有本質上的區別！學生容易產生混淆.通過此題讓學生辨清“函數在一點處的導數”、“函數在開區間內的導數”與“導數”三者的關系.教學環節內容設計意圖練習反饋鞏固概念練習：1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2.2．設函數f(x)在x0處可導，則等于A.f′(x0) B.0C.2f′(x0)D.－2f′(x0)3．已知一個物體運動的位移S（m）與時間t（s）滿足關系S（t）＝-2t2+5t（1）求物體第5秒和第6秒的瞬時速度；（2）求物體在t時刻的瞬時速度；（3）求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動？設計練習1，鞏固求導方法；設計練習2，通過適當的變式訓練，揭示概念的內涵，提高學生的模式識別的能力，培養學生思維的深刻性和靈活性；設計練習3，體驗實際應用，展示概念的外延，讓學生認識到數學來源于生活并應用于生活.通過練習，反饋學生對知識技能的掌握情況，以便及時調節教學，更好的達成教學目標.小結整理形成系統①知識層面：=2\*GB3②方法層面：用定義求導數的三個步驟=3\*GB3③思想層面：極限思想、函數思想、類比思想、轉化思想=4\*GB3④應用層面：舉出生活中與導數有關的實例（涉及變化率問題的問題可以考慮用導數解決）.引導學生從知識、方法、思想和應用四個層面進行小結，理清知識結構，提煉數學方法和領悟數學思想，培養應用意識.分層作業深化概念必做題：1.教材習題3.11、2、3、4、52.已知f(3)=2，則的值為（）（A）0 （B）－4（C）8 （D）不存在3.已知曲線C是函數的圖象（1）求點A(1,3)處的切線的斜率（2）求函數在x=1處的導數選做題：1.有條件的同學上網查閱有關微積分產生的時代背景和歷史意義的資料并交流討論.2.函數=|x|在x=0處是否可導？3.函數y=f(x)在x=x0處可導是它在x=x0處連續的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條D.既不充分也不必要條件彈性的分層作業，照顧到各種層次的學生.補充的必做3，為下節課研究導數的幾何意義打下伏筆.可導與連續的關系，設計成選作題，既不影響主體知識建構,又能使學有余力的學生得到進一步的發展.利用網絡，便于學生開展自主學習，拓展學習方式和平臺.（三）板書設計（板書附后）【設計意圖】本課使用了電腦投影屏幕，黑板上的板書保留勾勒本課知識發展的主要線索，呈現完整的知識結構體系，用彩色粉筆突出重點，強化學生對新信息的納入，同時對新學的符號語言的規范使用進行示范.板書設計：辨析：f′(x0)與f′(x辨析：f′(x0)與f′(x)課堂小結函數在開區間內的導函數導數定義1定義2定義3函數在點x可導及導數函數在開區間內可導例1．。。。。。。。電子屏幕例2.。。。。。。。。。。課堂練習導數的概念（第三課時）布置作業布置作業《導數的概念》學情分析（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）學生已較好地掌握了函數的平均變化率及高一物理學中的平均速度、瞬時速度，并積累了大量的關于函數變化率的經驗；另外，高二年級的學生思維較活躍，并具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力；對導數這一新鮮的概念，具有強烈求知欲和渴望探究的積極情感態度，這為本課的學習奠定了基礎．由于瞬時變化率就是導數，又是用平均變化率“無限接近”進行研究，而“無限”是非常抽象的，是學生首次接觸，要求學生既要具備一定的直觀感悟能力，又要具有較高的抽象思維能力，這是本節學習必備的認知基礎．從平均速度、瞬時速度到平均變化率、瞬時變化率，是將實例抽象為數學模型，是本節認識的第一次飛躍；由平均變化率用極限的思想方法刻劃瞬時變化率是本節思維與認識的第二次飛躍．第一次飛躍學生可完成，第二次飛躍借助幾何畫板的動態演示學生能初步感悟，但是對“是無限趨近于0，但始終不能為0”，學生不能自主或合作順利完成，需要教師在此充分發揮主導作用進行點撥．綜上分析確定本節的難點是：對極限思想的感悟及用平均變化率的極限刻劃瞬時變化率的科學性．突破策略為：用幾何畫板動態直觀演示以降低思維難度；多利用實例以降低抽象程度，強化對過程的感悟；給足時間讓學生充分合作交流；教師恰當精講點撥，用“動”來看“靜”．《導數的概念》效果分析（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）教學中充分發揮學生的主體和教師的主導作用。用新課程理念處理傳統教材，以恰當的問題為紐帶，給學生創設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數概念，引導學生經歷數學知識再發現的過程。因此采用了引導發現式教學法。（1）教學設計上，把數學知識的“學術形態”轉化為數學課堂的“教學形態”，返璞歸真，從兩個反應概念現實原型的具體問題出發，讓學生像數學家那樣去“想數學”，“經歷”一遍發現、創新的過程，體現了以學生的發展為本，不是教教材而是用教材教。（2）在概念的教學過程中，與一般設想不同。如一般設想是“重結果，輕過程”，常常是直接給出一個定義，幾項注意后，就是大量變式訓練。本課的設計上注重過程教學，提出問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學生充分經歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴謹的知識再發現過程，引導學生經歷了一個完整的數學概念發生、發展的探究過程，讓學生在參與中獲取知識，發展思維，感悟數學。（3）教學過程中，以三種不同數學語言的識別、理解、組織、轉換為切入點，組織學生進行數學閱讀，培養自主學習的能力。借助于多媒體，直觀顯示而引起平均速度的系列變化，讓學生從“數”的角度領悟極限思想，通過割線變切線的動態過程，讓學生從“形”的角度領悟極限思想。從而，更好地揭示導數的本質。（4）教學中，對不同層次的學生，提出不同的教學要求，采取不同的教學方法進行情感激勵。對學有困難的學生更多地給予幫助和肯定，以激發他們學習數學的興趣和信心。根據不同學情，把可導與連續的關系，設計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構,又能使學有余力的學生得到進一步的發展，尊重了學生的個體差異，讓每位學生的數學才能都能獲得較好的發展。（5）教學中，努力以數學文化滋養課堂。讓學生了解導數的科學價值、文化價值和基本思想，體會到數學的理性與嚴謹，激發起對數學知識的熱愛，養成實事求是的科學態度。同時，培養學生正確認識量變與質變、運動與靜止等辯證唯物主義觀點，形成正確的數學觀。以上的教學設計，符合學生認知規律，促進了個性化學習，有利于教學目標的落實。《導數的概念》教學反思（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）本節課在教學方法的選擇上，充分尊重學生認知事物的基本規律，強調教師的啟發與學生的參與度，給學生操作感知、觀察發現的時間充分．由于技術的介入，大大方便了學生獲得導數概念的表象，因此學生通過表象抽象出導數概念的過程自然到位，并且能幫助學生更準確地理解導數的本質．一個概念的形成是螺旋式上升的，對新概念的抽象不僅是對結果的抽象，更是對方法和過程的抽象.本課設計上，把數學知識的“學術形態”轉化為數學課堂的“教學形態”，返璞歸真，從兩個反應概念現實原型的具體問題出發，引出函數在一點處的導數再到開區間內的導函數，引導學生經歷了一個完整的數學概念發生、發展的探究過程.提出問題、觀察歸納、概括抽象，拓展概念讓學生充分經歷了具體到抽象，特殊到一般，感性到理性，直觀到嚴謹的知識再發現過程，教師作為學生學習的組織者、引導者、合作者創設機會和空間，激活學生思維的最近發展區，倡導學生積極參與，自主探究，發現知識，培養能力.把可導與連續的關系，設計成彈性化的選作題，既不影響主體知識建構,《導數的概念》教材分析（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）1.本節內容：《導數的概念》這一小節分“曲線的切線”，“瞬時速度與瞬時加速度”，“導數的概念”，“導數的幾何意義”四個部分展開，大約需要4個課時．第一、二課時學習“曲線的切線”，“瞬時速度”，今天說的是第三課時的內容導數概念的形成.2.導數在高中數學中的地位與作用：“導數的概念”是全章核心.不僅在于它自身具有非常嚴謹的結構，更重要的是，導數運算是一種高明的數學思維，用導數的運算去處理函數的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數學中的不少問題；導數的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經濟學等其它學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用.導數的出現推動了人類事業向前發展.3.導數學習的必要性導數是微積分學的核心概念之一，導數是導函數的簡稱，本質仍是函數，其實也就是微商．導數不僅是數學知識，也是一種數學思想，也蘊含著函數思想和極限的思想方法，本節內容的核心是用平均變化率的極限來刻劃瞬時變化率，從課標要求與教材的編寫看，淡化了極限的形式化定義，不把導數作為一種特殊的極限來處理，而是直接通過實例來反映導數的思想和本質，因此，讓學生充分體驗“極限的過程及研究的思想方法”為本節課的重點．導數屬于事實型知識——函數的瞬時變化率是客觀存在的，用平均變化率的極限來刻劃，并用形式化的極限符號表示只是我們研究導數的方法．導數為研究變量和函數提供了重要的方法和手段，具有將復雜問題歸納為簡單規則和步驟的非凡能力，不僅是研究初等函數最有效的工具，還是研究微積分學的必備基礎，也是研究各種科學的工具，黎曼曾說過“只有在微積分發明之后，物理學才成為一門科學”．變量和函數在自然界和社會中有著幾乎地處不在的實際背景，所以高中學生不論他將來是否進入高校學習，都應學習導數及其應用的內容，并應用它考察和理解實際現象中的變化．毫不夸張地說，不學或未學懂微積分，學生思維難以達到較高的水平，從某種意義上看，對導數所蘊含的數學思想方法的研究價值，遠高于對其知識的學習．通過本課導數概念的形成過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟“逼近”思想、數形結合思想和函數思想，進一步體會數學的本質．《導數的概念》評測練習（教材：高中新課程人教A版選修2-2第一章1.1.2）1．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(1，2)及鄰近一點(1＋Δx，2＋Δy)，則為A．Δx＋＋2B．Δx－－2C．Δx＋2D．2＋Δx－2．物體自由落體運動方程為s(t)＝gt2，g＝9．8m/s2，若＝g＝9．8m/s，那么下面說法正確的是A．9．8m/s是0～1s這段時間內的平均速度B．9．8m/s是從1s到1＋Δs這段時間內的速度C．9．8m/s是物體在t＝1這一時刻的速度D．9．8m/s是物體從1s到1＋Δs這段時間內的平均速度3．已知曲線y＝x＋，則y′|x＝1＝________．4．已知函數f(x)在x＝a處可導，且f′(a)＝A，求．思考：請你根據對導數概念的理解，命制2-3道類似題目。5．動點沿x軸運動，運動規律由x＝10t＋5t2給出，式中t表示時間(單位s)，x表示距離(單位m)，(1)當Δt＝1，Δt＝0．1，Δt＝0．01時，分別求在20≤t≤20＋Δt時間段內動點的平均速度．(2)當t＝20時，運動的瞬時