任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性完整56、死去何所道，托體同山阿。57、春秋多佳日，登高賦新詩(shī)。58、種豆南山下，草盛豆苗稀。晨興理荒穢，帶月荷鋤歸。道狹草木長(zhǎng)，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿無(wú)違。59、相見(jiàn)無(wú)雜言，但道桑麻長(zhǎng)。60、迢迢新秋夕，亭亭月將圓。任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性完整任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性完整56、死去何所道，托體同山阿。57、春秋多佳日，登高賦新詩(shī)。58、種豆南山下，草盛豆苗稀。晨興理荒穢，帶月荷鋤歸。道狹草木長(zhǎng)，夕露沾我衣。衣沾不足惜，但使愿無(wú)違。59、相見(jiàn)無(wú)雜言，但道桑麻長(zhǎng)。60、迢迢新秋夕，亭亭月將圓。、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法定義設(shè)vn>0,則稱∑(-1yan或∑(-1yann=1為交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理1(Leibniz判別法)若∑(-)un滿足(1)u>0(2)W,2um4I(3)limin=0n→》則其收斂,且和S≤m1;證明∵:Ln-1-un≥0,∵S2n=(u1-l2)+(ul3-l4)+…+(2m-1-l2n數(shù)列{s2n單調(diào)增加,又s2n=l1-(2-u3)-…-(l數(shù)列{s2n}有界,Iims2n=S≤.limu2n1=0→0lims2n+1=lm(s,+uS級(jí)數(shù)收斂于和s,且≤u1依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)。將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究與求解的方法，叫做分類討論的方法。分類討論是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法。解答分類討論問(wèn)題時(shí)，其基本方法和步驟是：先確定討論的對(duì)象及范圍，再確定分類標(biāo)準(zhǔn)(即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)、不遺漏)，然后對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論。獲取階段性結(jié)果，最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。下面，通過(guò)實(shí)例予以說(shuō)明。一、疑難問(wèn)題例1學(xué)校開(kāi)辦了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、美術(shù)和音樂(lè)四個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)班(可以不參加)。問(wèn)至少在多少個(gè)學(xué)生中，才能保證有兩個(gè)或兩個(gè)以上的同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況完全相同?分析與解：本題是一道以抽屜原理為背景的題目，但要構(gòu)造“抽屜”與“物品”，則必須通過(guò)分類討論。顯然，所有的學(xué)生可以分為三大類：(1)不參加課外學(xué)習(xí)班的學(xué)生，只有一種情況(c04或用枚舉法)；(2)參加一門課外學(xué)習(xí)班的學(xué)生，共有四種情況(c14或用枚舉法)；(3)參加兩門課外學(xué)習(xí)班的學(xué)生，共有六種情況(c24或用枚舉法)。于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少將多少個(gè)物品放人11(1+4+6=11)個(gè)抽屜里，才能保證某個(gè)抽屜中有兩個(gè)或兩個(gè)以上物品。由抽屜原理易知至少需12個(gè)物品，即本題答案為12個(gè)學(xué)生。在本題中，分類討論的運(yùn)用是將疑難問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的關(guān)鍵。二、繁雜問(wèn)題例2數(shù)一數(shù)下圖中有幾個(gè)正方形?分析與解：本題雖然幾乎不需要任何知識(shí)，但學(xué)生解題時(shí)極易多數(shù)或漏數(shù)。其原因就在于他們沒(méi)有進(jìn)行分類討論。圖中正方形可分為四類：(1)單個(gè)的小正方形(1×1)16個(gè)；(2)四個(gè)小正方形拼成的正方形(2×2)9個(gè)；(3)九個(gè)小正方形拼成的正方形(3×3)4個(gè)；(4)十六個(gè)小正方形拼成的正方形(4×4)1個(gè)。因此，圖中共有1+4+9+16=30(個(gè))正方形。從上述分析中不難發(fā)現(xiàn)，將一個(gè)繁瑣的問(wèn)題通過(guò)分類討論，分成幾個(gè)小問(wèn)題。再各個(gè)擊破，問(wèn)題就容易解決了。三、參數(shù)問(wèn)題例3兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根剪去3/10米，第二根剪去3／10，哪根剩下的長(zhǎng)?分析與解：第一根繩子剪去3／10米，其值是固定不變的；第二根繩子剪去3／10，則跟繩子原長(zhǎng)有關(guān)，即繩子原來(lái)越長(zhǎng)，剪去的就越多。所以，必須分類討論。設(shè)繩子長(zhǎng)為a米，不難得出a=l時(shí)，兩繩減去一樣多，是臨界值。則：(1)01時(shí)，3a／10>3／10，第一根繩剪得少，剩下的較長(zhǎng)。這道題中，參變量(繩長(zhǎng))的取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果。由于繩長(zhǎng)未知，只有對(duì)參變量的不同取值范圍進(jìn)行分類討論，才能將問(wèn)題說(shuō)清楚。對(duì)于這種含有參數(shù)的問(wèn)題?；蚱渌恍┥婕皵?shù)學(xué)概念與性質(zhì)的問(wèn)題，只有分類討論才能充分考慮到各種可能，保證解題的完整。誠(chéng)然，在上述問(wèn)題中，分類討論發(fā)揮著重要且特殊的作用，決定著解題的思路和途徑，若能靈活掌握運(yùn)用這種思想方法，就可輕松而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟忸}。學(xué)生有無(wú)進(jìn)步或發(fā)展是教學(xué)有沒(méi)有效益的唯一標(biāo)準(zhǔn)。教學(xué)有沒(méi)有效益，并不是指教師有沒(méi)有完成教學(xué)內(nèi)容，或教得認(rèn)真不認(rèn)真，而是指學(xué)生有沒(méi)有學(xué)到什么，或?qū)W生學(xué)得好不好。要達(dá)到有效教學(xué)的目的，教師在課堂教學(xué)中不僅僅是解決怎樣教的問(wèn)題，更重要的是教學(xué)生怎樣學(xué)。以往教師都能教的內(nèi)容準(zhǔn)備得竭盡所能，講課時(shí)也能做到如行云流水一樣暢通，盡力處處講到，卻忽略了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)，忽略了學(xué)困生的困惑。這種單純傳授知識(shí)卻忽略了對(duì)學(xué)生主體作用的指導(dǎo)和發(fā)揮。教師在幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，努力想方設(shè)法地幫助學(xué)生提高他們對(duì)事物認(rèn)識(shí)、分析、判斷能力，提高他們靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。使他們?cè)趯W(xué)習(xí)中能真正感受到成功的喜悅，在成功的喜悅中激發(fā)熱愛(ài)學(xué)習(xí)興趣，在學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)真正的發(fā)展和提高，這樣的教學(xué)才是有效的。一、吃透教材、明確目標(biāo)、制作學(xué)案、整合教材（1）學(xué)案引導(dǎo)，學(xué)會(huì)預(yù)習(xí)：俗話說(shuō)：“書(shū)讀百遍，其義自現(xiàn)”，初中學(xué)生已具備一定的自學(xué)能力，因此筆者利用學(xué)案提出學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓學(xué)生通過(guò)閱讀學(xué)習(xí)目標(biāo)和重難點(diǎn)，明確學(xué)習(xí)的目的；指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，完成前提測(cè)評(píng)并根據(jù)學(xué)案上給的提綱，思考熟悉知識(shí)點(diǎn)，記下不懂的問(wèn)題。在閱讀課本，查看參考書(shū)的基礎(chǔ)上完成預(yù)習(xí)自測(cè)題，檢查預(yù)習(xí)效果。（2）明確目標(biāo)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)：教學(xué)目標(biāo)是課堂教學(xué)的指揮棒，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著決定性的作用，它限定課堂教學(xué)的整個(gè)過(guò)程，對(duì)保證課堂教學(xué)有效進(jìn)行至關(guān)重要。目標(biāo)設(shè)置既要符合“課程目標(biāo)”中“總目標(biāo)”的要求，又要體現(xiàn)現(xiàn)階段、本章節(jié)的具體目標(biāo)定位，避免廣度和深度的隨意性和盲目性。在強(qiáng)調(diào)過(guò)程與方法、情感、態(tài)度和價(jià)值觀目標(biāo)的同時(shí)，不能忽視知識(shí)教學(xué)，應(yīng)切實(shí)保證知識(shí)教學(xué)的有效性。（3）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣：教學(xué)情境是教師為了支持學(xué)生的學(xué)習(xí)，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容，有目的創(chuàng)設(shè)的教學(xué)時(shí)空和教學(xué)環(huán)境。貼近學(xué)生生活、符合學(xué)生認(rèn)知的教學(xué)情境可以使學(xué)生更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用與生活的廣泛性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和求知欲望。（4）單元整合，整體推進(jìn)：在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有相當(dāng)規(guī)模的一類知識(shí)整個(gè)單元具有相似的呈現(xiàn)形式：定義――判定――性質(zhì)；公式――應(yīng)用――公式逆用。我們傳統(tǒng)教學(xué)是今天教定理1.明天教定理2.后天再教定理3.每個(gè)定理的學(xué)習(xí)又以固定的模式展開(kāi)，而不思考與其它相似知識(shí)的聯(lián)系，證明后用較多的時(shí)間直接操練該定理的“應(yīng)用”。雖然當(dāng)堂練習(xí)效果不錯(cuò)，對(duì)剛學(xué)的定理能掌握能理解，但當(dāng)幾條定理全部呈現(xiàn)后，學(xué)生在定理去運(yùn)用的選擇上就會(huì)存在障礙，而且這種單一的教學(xué)耗時(shí)多，效益低。所以在平時(shí)教學(xué)中我運(yùn)用導(dǎo)學(xué)案，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行拆分、組合，編出適合學(xué)生自學(xué)的知識(shí)體系，進(jìn)行單元整體推進(jìn)教學(xué)法。二、變“空洞的數(shù)學(xué)活動(dòng)”為“有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)”數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，這已經(jīng)逐漸成為數(shù)學(xué)教育工作者的共識(shí)。目前，在新課程數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，都可以看到小組活動(dòng)、合作學(xué)習(xí)……說(shuō)明教師已經(jīng)開(kāi)始重視數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，但農(nóng)村初中由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍較差，所以數(shù)學(xué)活動(dòng)往往是形式上的活動(dòng)，是表面的、空洞的，無(wú)真正意義上的數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)學(xué)活動(dòng)要么成了費(fèi)時(shí)低效的“滿堂言”，要么成了個(gè)別學(xué)生的“一言堂”，最容易走兩個(gè)極端。在創(chuàng)設(shè)有效數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)我認(rèn)為要注意以下幾個(gè)方面。（1）活動(dòng)應(yīng)具有適度挑戰(zhàn)性。在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)有效的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生的思維受到適度挑戰(zhàn)。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)就可以啟迪學(xué)生的思維活動(dòng)，從而不會(huì)使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)停留在活動(dòng)的淺層次。（2）活動(dòng)要有明確的目的性。在活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生都有一個(gè)明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)?，F(xiàn)在討論的是什么問(wèn)題？教師應(yīng)隨時(shí)觀察學(xué)生在思考什么？思維上有無(wú)障礙？如何引導(dǎo)？（3）在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，對(duì)于一些學(xué)生標(biāo)新立異的觀點(diǎn)或思維的閃光點(diǎn)，教師都要在正確引導(dǎo)的基礎(chǔ)上盡量給予鼓勵(lì)性的評(píng)價(jià)。例如我在“用代入法解二元一次方程組”的教學(xué)中的課堂練習(xí)這一數(shù)學(xué)活動(dòng)里，讓學(xué)生練習(xí)解方程組：2x-y=4①2x=10-y②我每組安排一個(gè)學(xué)生共四位學(xué)生在黑板上解題，然后再讓幾個(gè)學(xué)生上來(lái)批改，其中一個(gè)學(xué)生的做法被批改為錯(cuò)誤，他的做法是：由①得2x=y+4③把③代入②得y+4=10-y。∴2y=6，∴y=3。把y=3代入③得2x=7，∴x=7/2?！喾匠探M的解是x=7/2y=3。于是我問(wèn)：“為什么認(rèn)為他的解法有錯(cuò)誤？”該學(xué)生答：“因?yàn)槔蠋熤v的代入方法不是這樣的，他沒(méi)有按老師的方法做。”我說(shuō)：“但他的結(jié)論與其他的同學(xué)是一樣的呀！”該學(xué)生答不出。于是我趁機(jī)表?yè)P(yáng)解題的學(xué)生：“他的解法非常正確，是一種創(chuàng)新的解法！他能夠不滿足于老師所講的方法，自己探索出一種新的方法解決問(wèn)題，這就是一種創(chuàng)新的行為。同學(xué)們應(yīng)多動(dòng)腦筋，多向這位同學(xué)學(xué)習(xí)，從更多方面去開(kāi)拓解決問(wèn)題的方法……”三、小組合作、生生互助、講題輔學(xué)、效率提升（1）小組互助，課堂交流：小組合作學(xué)習(xí)是指學(xué)生在小組或團(tuán)體中為了完成共同的任務(wù)，有明確的責(zé)任分工的互助性學(xué)習(xí)。小組合作學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生合作精神、團(tuán)隊(duì)意識(shí)和集體觀念。一個(gè)集體當(dāng)中學(xué)生的學(xué)習(xí)情況往往差異較大，教師在課上如果能充分發(fā)揮學(xué)優(yōu)生的力量，不但可以極大地調(diào)動(dòng)學(xué)優(yōu)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，還可以促進(jìn)學(xué)困生的進(jìn)步。于是筆者將學(xué)生按成績(jī)及學(xué)習(xí)能力分成5～6人的小組，課堂上采取小組互助的方式，由各組組長(zhǎng)帶領(lǐng)組員交流預(yù)習(xí)成果，互相提問(wèn)解答。在這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)交流，對(duì)問(wèn)題再認(rèn)識(shí)，加深理解，傳授者與接受者都有不同的收獲。合作時(shí)間，整體把握：小組合作學(xué)習(xí)應(yīng)該有針對(duì)性，不能整節(jié)課都交流，這樣會(huì)讓部分學(xué)生產(chǎn)生依賴心理。所以，如何合理設(shè)計(jì)合作環(huán)節(jié)，也是值得我們探討的問(wèn)題。筆者認(rèn)為，要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的深淺、學(xué)生理解的程度等方面有計(jì)劃又隨機(jī)安排討論時(shí)間，讓課堂互助真正落到實(shí)處。（2）適時(shí)指導(dǎo)，養(yǎng)成習(xí)慣：小組活動(dòng)時(shí)，教師應(yīng)該深入學(xué)生，參與其中，掌握學(xué)情，適時(shí)點(diǎn)撥，保證小組學(xué)習(xí)有效進(jìn)行。做到以下幾點(diǎn)：第一：學(xué)會(huì)傾聽(tīng)。第二：學(xué)會(huì)質(zhì)疑。第三：學(xué)會(huì)表達(dá)。很多學(xué)生剛開(kāi)始都不善于表達(dá)，他們的發(fā)言有時(shí)片言只語(yǔ)；有時(shí)又不夠簡(jiǎn)潔，偏離主題。教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生如何對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，比如逐字審題、分清題設(shè)結(jié)論的關(guān)系、數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用、新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)等，這樣長(zhǎng)期訓(xùn)練，一定會(huì)取得顯著地效果。（3）講題輔學(xué)，能力提升：講題的模式如下：①講作業(yè)。希望學(xué)生能夠認(rèn)真對(duì)待有一定難度的作業(yè)，杜絕見(jiàn)困難就躲避的思想，養(yǎng)成善于思考、樂(lè)于思考的好習(xí)慣。②講練習(xí)。這個(gè)環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學(xué)生善于聽(tīng)講、觸類旁通的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性。③講一題多解。當(dāng)例習(xí)題有多種解法時(shí)，筆者會(huì)請(qǐng)同學(xué)找到盡可能多的解題方法，并學(xué)會(huì)對(duì)各種方法進(jìn)行歸納，比較，選擇最優(yōu)方法。經(jīng)過(guò)幾年的教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)明顯轉(zhuǎn)變，課堂參與度高了，一部分學(xué)生會(huì)說(shuō)了，一部分學(xué)生課堂上主動(dòng)提問(wèn)了，課堂上不再只有教師的聲音了。雖然備課沒(méi)有以前那么輕松了，但學(xué)生在課堂上給予的驚喜也讓我們感到了創(chuàng)造的快樂(lè)。我們只有把課堂真正的還給學(xué)生，讓學(xué)生在動(dòng)中學(xué)，思中學(xué)、樂(lè)中學(xué)，學(xué)習(xí)才具有了真正的意義。、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法定義設(shè)vn>0,則稱∑(-1yan或∑(-1yann=1為交錯(cuò)級(jí)數(shù)定理1(Leibniz判別法)若∑(-)un滿足(1)u>0(2)W,2um4I(3)limin=0n→》則其收斂,且和S≤m1;證明∵:Ln-1-un≥0,∵S2n=(u1-l2)+(ul3-l4)+…+(2m-1-l2n數(shù)列{s2n單調(diào)增加,又s2n=l1-(2-u3)-…-(l數(shù)列{s2n}有界,Iims2n=S≤.limu2n1=0→0lims2n+1=lm(s,+uS級(jí)數(shù)收斂于和s,且≤u1例討論交錯(cuò)級(jí)數(shù)∑(-1)的斂散性解nn+I4且lim-=0n→0∑(-1)+1收斂,且其和為S<類似得∑(-1)1產(chǎn),∑(-1”均收斂n例審斂∑(-)n+1l+√n√m+1>0即+1n(n-1)(√n+√m+1)又limu=lim0故收斂n→∞n→a例討論級(jí)數(shù)∑(-1)(m+1-、m斂散性#:limu=lim(n+1-Nn)=lim-1n√n+1+√n又un-un1=(m+1-√m)-(m+2-m+1)n+1+√n、n+2+、n+1(√n+2>0(√n+1+、m)(√n+2+√n+1)即≥Ll∑(-1)(n+1-√m)收斂例討論級(jí)數(shù)∑(-1的斂散性n=1解n-olim2nlimun→∞2x-1,2(1-x)又<0(x≥2)故函數(shù)2n-1單減,從而Ln≥Ln+1∵所以原級(jí)數(shù)收斂注意1.滿足萊布尼茲定理?xiàng)l件的級(jí)數(shù)稱為萊布尼茲型級(jí)數(shù).如∑(-1)"1∑(-1)n均為萊布尼茲型級(jí)數(shù)2.萊布尼茲定理的兩個(gè)條件僅是充分條件,但mu也是必要條件三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義設(shè)級(jí)數(shù)∑un()若∑mn收斂則稱∑絕對(duì)收斂(2)若∑un發(fā)散,但∑un收斂則稱∑4n條件收斂定理2若∑un收斂則un收斂n=1H=1證明令v=(un+an)顯然n≥0,且v≤mn∑"收斂,又∑an=∑(2n-mn,故∑1收斂n=1n=1結(jié)論:級(jí)數(shù)逐項(xiàng)取絕對(duì)值后收斂,原級(jí)數(shù)收斂注意:∑|n收斂→∑a收斂∑|ln1發(fā)散∑發(fā)散