現代控制理論第一章控制系統的數學模型第1頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日

“三域”模型及其相互關系第2頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日對控制系統的分析（根軌跡法和頻率響應法），都以傳遞函數或頻率特性的形式來描述控制系統。方法的局限性：傳遞函數只描述系統輸出與輸入間的關系，不涉及到系統內部狀態的信息，因而這種描述不完整；傳遞函數的概念主要適用零初始條件于單輸入單輸出系統。無法表示時變系統，非線性系統以及非零初始條件的線性定常系統。以傳函方法表示控制系統，有時達不到系統最優性能。第3頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日狀態空間表達式：

通過輸入，狀態變量和輸出來描述系統；

通過將高階微分方程或傳遞函數改寫成一截微分方程組，即系統的狀態方程。它可以用向量和矩陣的形式來表示，使模型簡單，易于計算，分析。第4頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日9.1.1線性系統的數學描述系統描述中常用的基本概念系統的外部描述傳遞函數

系統的內部描述狀態空間描述一、狀態、狀態變量和狀態空間第5頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日解：以作為中間變量，列寫該回路的微分方程

求解這個微分方程組，出現兩個積分常數。它們由初始條件第6頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日狀態變量：系統的狀態變量就是確定系統狀態的最小一組變量。（或完全表征系統運動狀態的最小一組變量。）和就可以表征這個電路的行為。若將和視為一組信息量，則這樣一組信息量就稱為狀態。這組信息量中的每個變量均是該電路的狀態變量。狀態:表征系統運動的信息和行為。第7頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日如果知道這些變量在任意時刻t0的值以及t≧t0的系統的輸入，便能完整地確定系統在時刻t的狀態。這樣一組最小的變量稱為系統的狀態變量。這里所說的“完整”是指系統所有可能的運動情況都能表示出來；所謂“最小”既是變量的個數最少。一個系統有幾個儲能元件，就有幾個狀態變量。第8頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日狀態空間：以選擇的一組狀態變量為坐標軸而構成的正交空間，稱為狀態空間。系統在任意時刻的狀態可以用狀態空間中的一個點來表示。例如t1時刻的狀態，在狀態空間中的表示為第9頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第10頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日二、狀態空間表達式第11頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日這個方程組描述了系統狀態變量和輸入量之間的關系，稱為電路的狀態方程。這個方程組描述了系統狀態變量和輸出量之間的關系，稱為電路的輸出方程。第12頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日一般情況：其中，第13頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日線性定常連續系統的狀態圖：第14頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日三、狀態變量的選取視研究的問題性質和輸入特性而定。

對一個物理系統而言，通?？蛇x擇系統中反映獨立儲能元件狀態的特征量為狀態變量。例如電路中電容兩端的電壓，流過電感的電流，機械系統中的速度和位置（轉角）均可作為系統的狀態變量。狀態變量的選取不唯一。狀態變量的數目是唯一的。第15頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日四、狀態空間表達式的建立舉例例1求圖示機械系統的狀態空間表達式外力

位移

牛頓力學定律令---彈性系數阻尼系數第16頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日動態方程如下第17頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日狀態空間表達式為：

第18頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日例2求圖示RLC電路系統的狀態空間表達式第19頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日

為系統兩狀態變量，則原方程可化成寫成矩陣—向量的形式為：

第20頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日令為狀態向量則：第21頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日9.1.2線性定常連續系統的狀態空間表達式1.由系統微分方程建立狀態空間表達式1）系統輸入量中不含導數項第22頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日選?。籂顟B空間表達式：第23頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第24頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第25頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第26頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日例

設

求系統狀態空間表達式。

解：選

第27頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日則：第28頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日狀態空間表達式為第29頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日2.系統輸入量中含有導數項如果單輸入—單輸出系統的微分方程為：一般輸入量中導數項的次數小于或等于系統的次數n。為了避免在狀態方程中出現u的導數項，可以選擇如下的一組狀態變量。設，選?。旱?0頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日為了用狀態空間分析系統，對于已知由傳遞函數（或微分方程）描述的系統，就需要先將它們轉變為相應的動態防城，且不改變系統的輸入—輸出特性，這樣求得的動態方程稱為系統的一個狀態空間實現。動態方程多種不同形式，實現的方法也多種，這里介紹最常見的四種標準實現：能控標準形實現，能觀標準形實現對角標準形實現，約當標準形實現第31頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日

2.由傳遞函數列寫動態方程（狀態空間表達式）

設單輸入/輸出系統的傳遞函數：

其中，。為傳遞函數的一般形式。第32頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日傳遞函數中存在著有零、極點對消和沒有零、極點對消情況。這里所討論的實現是沒有零、極點對消的情況，據此求得的動態方程，其狀態變量數量少，相應矩陣的維數也最小。若構成硬件系統時，所需積分器的個數也最少，故這種實現有最小實現之稱。第33頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日（一）能控標準形實現1傳遞函數無零點第34頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日矩陣特點說明p336第35頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日圖9-5傳遞函數無零點時的能控標準形狀態圖第36頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日例9-3已知一系統的傳遞函數為試寫出能控標準形的狀態空間表達式。第37頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日2傳遞函數有零點第38頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日（1）串聯分解的形式dy(s)y2(s)y1(s)第39頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日選取狀態變量第40頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日則狀態方程為：第41頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日輸出方程為：寫成向量-矩陣形式為：第42頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第43頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日例9-4已知一系統的傳遞函數為試寫出能控標準形的狀態空間表達式。第44頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日(二)能觀標準形實現

第45頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日寫成向量-矩陣形式為：第46頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第47頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日圖9-8能觀標準形狀態圖第48頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日（三）對角標準形實現第49頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日并聯分解（對角標準形）把傳遞函數展開成部分分式求取狀態空間表達式只含單實極點，設可分解為：其中為系統的單實極點則：第50頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日其中：

為極點的留數第51頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日a.選取狀態變量:將上式整理，并進行拉氏變換，可得狀態方程再將代入：展開：第52頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日

第53頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日

第54頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日特點：傳函極點全1

對應極點的留數

b.選取狀態變量:第55頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第56頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第57頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日狀態變量圖（并聯結構）

對角標準形(a)第58頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日對角標準形(b)第59頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日例9-5已知一系統的傳遞函數為試寫出對角標準形的狀態空間表達式。第60頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日（四）約當標準形實現當含重實極點第61頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日為了簡單起見，設T(s)只有r重極點，則傳遞函數的部分式展開式為：第62頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日.狀態空間表達式第63頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日..

第64頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日其中第65頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日.狀態變量圖第66頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日例9-6已知一系統的傳遞函數為試寫出約當標準形的狀態空間表達式。第67頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第68頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日例：設系統傳遞函數為：試求其狀態空間表達式。解：分母三重極點用部分分式為：第69頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日

第70頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日狀態空間表達式第71頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日3由動態方程求系統的傳遞函數矩陣定義：初始條件為零時，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換之間的傳遞關系傳遞函數矩陣（簡稱傳遞矩陣）表達式：設動態方程令初始條件為零，求拉氏變換式：第72頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日則系統傳遞矩陣表達式為：第73頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第74頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日例9-6已知系統的動態方程式為求系統的傳遞函數矩陣。第75頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日第76頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日

9.2線性變換前面已指出一個給定的動態系統、狀態變量的選取有許多方法。因此一個系統有許不同的狀態空間表達式來描述。狀態變量的不同選取，其實是狀態向量的一種線性變換。

一個給定的動態系統，狀態變量的選取有許多不同的方法（如前面的電路），因此狀態空間表達式也不同，即一個系統有許多不同的狀態空間表達式來描述。第77頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日狀態變量的不同選取狀態向量的線性變換（或坐標變換）

1.系統狀態的線性變換目的：便于揭示系統特性及分析計算且不會改變系統的性質如果是一組由個狀態變量構成的維狀態向量，則的線性組合也完全可以作為一組新的狀態變量，構成新的狀態向量，第78頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日在與之間存在如下的非奇異線性變換關系：或其中是非奇異變換矩陣第79頁，共89頁，2023年，2月20日，星期日于是有：雖然狀態變量和狀態表達式不同，但和都是描述同一系統動態行為的描述。