湖南省重點(diǎn)中學(xué)知識點(diǎn)交匯題型分析及解題策略2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯題型分析及解題策略【命題趨向】函數(shù)的觀點(diǎn)和方法既貫穿了高中代數(shù)的全過程，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)中極為重要的內(nèi)容，縱觀全國及各自主命題省市近三年的高考試題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在選擇、填空、解答三種題型中每年都有試題，分值26分左右，如08年福建文11題理12題(5分)為容易題，考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系、08年江蘇14題(5分)為容易題，考查函數(shù)值恒成立與導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、08年北京文17題(12分)為中檔題考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性與導(dǎo)數(shù)的交匯、08年湖北理20題(12分)為中檔題，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題、08年遼寧理22題(12分)為中檔題，考查函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)極值與單調(diào)性問題等.預(yù)測2022年關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的命題趨勢，仍然是難易結(jié)合，既有基本題也有綜合題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯的考查既有基本題也有綜合題，基本題以考查基本概念與運(yùn)算為主，考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識及函數(shù)性質(zhì)及圖象為主，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，知識載體主要是三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合題.主要題型：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題；(2)考查以函數(shù)為載體的實(shí)際應(yīng)用題，主要是首先建立所求量的目標(biāo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.【考試要求】 1．了解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法． 2．了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)． 3．掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)． 4．掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)． 5．能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題． 6．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念． 7．熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c，xm（m為有理數(shù)），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的導(dǎo)數(shù)）；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 8．理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號）；會求一些實(shí)際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值．【考點(diǎn)透視】高考對導(dǎo)數(shù)的考查主要以工具的方式進(jìn)行命題，充分與函數(shù)相結(jié)合.其主要考點(diǎn)：（1）考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、極值與最值）；（2）考查原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系；（3）考查利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)相結(jié)合的實(shí)際應(yīng)用題.從題型及考查難度上來看主要有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①以填空題、選擇題考查導(dǎo)數(shù)的概念、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值與最值；②與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相結(jié)合的函數(shù)綜合題，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間、最值或極值，屬于中檔題；③利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際應(yīng)用問題中最值，為中檔偏難題.【典例分析】題型一導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系如果原函數(shù)定義域內(nèi)可導(dǎo)，則原函數(shù)的圖象f(x)與其導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象有密切的關(guān)系：1．導(dǎo)函數(shù)f(x)在x軸上、下方圖象與原函數(shù)圖象上升、下降的對應(yīng)關(guān)系：（1）若導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上恒有f(x)＞0，則f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)，由此進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)f(x)圖象在x軸上方的圖象對應(yīng)的區(qū)間D為原函數(shù)圖象中的上升區(qū)間D；（2）若導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上恒有f(x)＜0，則f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù)，由此進(jìn)一步得到導(dǎo)函數(shù)f(x)圖象在x軸下方的圖象對應(yīng)的區(qū)間為原函數(shù)圖象中的下降區(qū)間.2．導(dǎo)函數(shù)f(x)圖象的零點(diǎn)與原函數(shù)圖象的極值點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系：導(dǎo)函數(shù)f(x)圖象的零點(diǎn)是原函數(shù)的極值點(diǎn).如果在零點(diǎn)的左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，則導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為原函數(shù)的極大值點(diǎn)；如果在零點(diǎn)的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，則導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為原函數(shù)的極小值點(diǎn).【例1】如果函數(shù)y＝f(x)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是 （）【分析】根據(jù)原函數(shù)y＝f(x)的圖象可知，f(x)有在兩個(gè)上升區(qū)間，有兩個(gè)下降區(qū)間，且第一個(gè)期間的上升區(qū)間，然后相間出現(xiàn)，則反映在導(dǎo)函數(shù)圖象上就是有兩部分圖象在x軸的上方，有兩部分圖象在x軸的下方，且第一部分在x軸上方，然后相間出現(xiàn).【解】由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正→負(fù)→正→負(fù),只有答案A滿足.【點(diǎn)評】本題觀察圖象時(shí)主要從兩個(gè)方面：(1)觀察原函數(shù)f(x)的圖象哪些的上升區(qū)間？哪些下降區(qū)間？；(2)觀察導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象哪些區(qū)間在大于零的區(qū)間？哪些部分昌小于零的區(qū)間？【例2】設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能是 （）【分析】先觀察所給出的導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的圖象的正負(fù)區(qū)間，再觀察所給的選項(xiàng)的增減區(qū)間，二者結(jié)合起來即可作出正確的選擇.本題還可以通過確定導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的圖象零點(diǎn)0、2對應(yīng)原函數(shù)的極大或極小值點(diǎn)來判斷圖象.【解法1】由y＝f(x)的圖象可以清晰地看出，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，y＝f(x)＜0，則f(x)為減函數(shù)，只有C項(xiàng)符合，故選C.【解法2】在導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象中，零點(diǎn)0的左側(cè)函數(shù)值為正，右側(cè)為負(fù)，由可知原函數(shù)f(x)在x＝0時(shí)取得極大值.又零點(diǎn)2的左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，由此可知原函數(shù)f(x)在x＝0時(shí)取得極小值，只有C適合，故選C.【點(diǎn)評】(1)導(dǎo)函數(shù)值的符號決定函數(shù)的單調(diào)性為“正增、負(fù)減”，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定原函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)導(dǎo)函數(shù)的增減性與函數(shù)增減性之間沒有直接的關(guān)系，但它刻畫函數(shù)圖象上的點(diǎn)的切線斜率的變化趨勢.題型二利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性問題若f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)，則由f(x)＞0(f(x)＜0)可推出f(x)為增（減）函數(shù)，但反之則不一定，如：函數(shù)f(x)＝x3在R上遞增，而f(x)≥(x)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件是f(x0)≥0(≤0)，且f(x)在(a，b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)求解參數(shù)問題；(3)求解與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的其它問題，如函數(shù)圖象的零點(diǎn)、不等式恒成立等問題.【例3】(08全國高考)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－eq\f(2,3)，－eq\f(1,3))內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．【分析】第（Ⅰ）小題先求導(dǎo)函數(shù)f(x)，由于含有參數(shù)a，根據(jù)判別式確定對a的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間；第（Ⅱ）小題根據(jù)第（Ⅰ）小題的結(jié)果，建立關(guān)于a的不等式組，由此可確定a的范圍.【解】(Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求導(dǎo)得f(x)＝3x2＋2ax＋1，當(dāng)a2≤3時(shí)，△＝4(a2－3)≤0，f(x)≥0，f(x)在R上遞增，當(dāng)a2＞3，f(x)＝求得兩根為x＝eq\f(－a±eq\r(a2－3),3)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，eq\f(－a－eq\r(a2－3),3))上遞增，在區(qū)間(eq\f(－a－eq\r(a2－3),3)，eq\f(－a＋eq\r(a2－3),3))上遞減，在區(qū)間(eq\f(－a－eq\r(a2－3),3)，＋∞)上遞增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得eq\b\lc\{(\s(,,,,))eq\s(eq\f(－a－eq\r(a2－3),3)≤－eq\f(2,3),eq\f(－a＋eq\r(a2－3),3)≥－eq\f(1,3))，且a2＞3，解得a≥2.【點(diǎn)評】本題是利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性問題的兩類最典型的題型.由于函數(shù)解析式中含有字母參數(shù)a，因此解答第(Ⅰ)小題時(shí)注意分類討論.第(Ⅱ)小題的解答是根據(jù)第(Ⅰ)小題的結(jié)果，利用集合集合間的關(guān)系建立不等式來求解的.第(Ⅱ)小題還是利用函數(shù)在已知區(qū)間上減函數(shù)建立不等式eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(f(－eq\f(2,3))≤0,f(－eq\f(1,3))≤0)來求解.題型三求函數(shù)的極值問題極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，同時(shí)不可導(dǎo)的點(diǎn)可能是極值點(diǎn).因此函數(shù)的極值點(diǎn)只能在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或不可導(dǎo)的點(diǎn)產(chǎn)生.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)解析式求極值；(2)根據(jù)函數(shù)的極值求解參數(shù)問題.解答時(shí)要注意準(zhǔn)確應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求極值的原理求解.【例4】(08·四川)設(shè)x＝1和x＝2是函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個(gè)極值點(diǎn).(Ⅰ)求a和b的值；(Ⅱ)略.【分析】先求導(dǎo)函數(shù)f(x)，然后由x＝1和x＝2是f(x)＝0的兩個(gè)根建立關(guān)于a、b的方程組求解.【解】因?yàn)閒(x)＝5x4＋3ax2＋b，由x＝1和x＝2是函數(shù)f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以f(1)＝0，且f(2)＝0，即eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(5×14＋3a×12＋b＝0,5×24＋3a×22＋b＝0)，解得a＝eq\f(25,3)，b＝20.【點(diǎn)評】解答本題要明確極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)方程之間的關(guān)系：對于三次函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)一定為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).本題解得充分利用上述關(guān)系，通過建立方程組求得了a和b的值.【例5】(08陜西高考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(kx＋1,x2＋c)(c＞0，且c≠1，k∈R）恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，其中一個(gè)是x＝－c．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的另一個(gè)極值點(diǎn)；(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極大值M和極小值m，并求M－m≥1時(shí)k的取值范圍．【分析】先求導(dǎo)函數(shù)f(x)，然后令f(－c)＝0及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可解決第（Ⅰ）小題；而解答第（Ⅱ）小題須對k與c進(jìn)行分類討論進(jìn)行解答.【解】(Ⅰ)f(x)＝eq\f(k(x2＋c)－2x(kx＋1),(x2＋c)2)＝eq\f(－kx2－2x＋ck,(x2＋c)2)，由題意知f(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，即c＝1＋eq\f(2,k) （*）∵c≠0，∴k≠0．由f(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為x＝1．(Ⅱ)由（*）式得c＝1＋eq\f(2,k)，當(dāng)c＞1時(shí)，k＞0；當(dāng)0＜c＜1時(shí)，k＜－2．(ⅰ)當(dāng)k＞0時(shí)，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，在(－c，1)內(nèi)是增函數(shù)．f(1)＝eq\f(k＋1,c＋1)＝eq\f(k,2)＞0，m＝f(－c)＝eq\f(－kc＋1,c2＋c)＝eq\f(－k2,2(k＋2))＜0，由M－m＝eq\f(k,2)＋eq\f(k2,2(k＋2))≥1及k＞0，解得k≥eq\r(2).(ⅱ)當(dāng)k＜－2時(shí)，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(－c，1)內(nèi)是減函數(shù)．∴M＝f(1)＝eq\f(－k2,2(k＋2))＞0，m＝eq\f(k＋1,c＋1)＝eq\f(k,2)＜0，而M－m＝eq\f(－k2,2(k＋2))－eq\f(k,2)＝1－eq\f((k＋1)2＋1,k＋2)≥1恒成立．綜上可知，所求的取值范圍為(－∞，－2)∪eq\r(2)，＋∞)．【點(diǎn)撥】第(Ⅰ)小題解答的關(guān)鍵是利用一元二次方程的韋達(dá)定理.第(Ⅱ)小題的是與極值相關(guān)的解決恒成立問題，因此求函數(shù)在定義域上的極值是解答的關(guān)鍵.題型四求解函數(shù)的最值問題函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是比較所有極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值所得結(jié)果，因此函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的端點(diǎn)函數(shù)值一定不是極值，但它可能是函數(shù)的最值.同時(shí)，函數(shù)的極值不一定是函數(shù)的最值，最值也不一定是極值.另外求解函數(shù)的最值問題，還可以直接結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來求解.利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值問題的主要題型：(1)根據(jù)函數(shù)的解析式求函數(shù)的最大值；(2)根據(jù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的最值情況求解參數(shù)問題.【例6】(08浙江高考)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值.【分析】首先求函數(shù)f(x)，再解方程f(x)＝0，得兩個(gè)根，而兩根含有參數(shù)，但不知兩根的大小，因此須分類討論討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定f(x)在給定區(qū)間上的最大值.【解】(Ⅱ)f(x)＝3x2－2ax．令f(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3)．當(dāng)eq\f(2a,3)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，從而f(x)max＝f(2)＝8－4a．當(dāng)eq\f(2a,3)≥2，時(shí)，即a≥3時(shí)，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞減，從而f(x)max＝f(0)＝0．當(dāng)0＜eq\f(2a,3)＜2，即0＜a＜3，f(x)在[0，eq\f(2a,3)]上單調(diào)遞減，在[eq\f(2a,3)，2]上單調(diào)遞增，從而f(x)max＝eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(8－4a0＜a≤2,02＜a＜3)，綜上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(8－4aa≤2,0a＞2).【點(diǎn)評】本題由于函數(shù)解析式中含有參數(shù)，因此方程f(x)＝0的根含有參數(shù)，在確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意對參數(shù)a的討論.本題的解答不是通過先確定函數(shù)在區(qū)間上的極值，再比較其與區(qū)間端點(diǎn)值的大小來求解的，而是利用函數(shù)單調(diào)性來求函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間上的最值，再比較這些最值大小來求解的.題型五導(dǎo)數(shù)與數(shù)學(xué)建模的問題此類試題主要是利用函數(shù)、不等式與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用問題，旨在考查考生在數(shù)學(xué)應(yīng)用方面閱讀、理解陳述的材料，能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，這是高考中的一個(gè)熱點(diǎn).【例7】(08·湖北)水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V(t)＝eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s((－t2＋14t－40)eeq\s(eq\f(1,4)t,)＋500＜t≤10,4(t－10)(3t－41)＋5010＜t≤12)，(Ⅰ)該水庫的蓄求量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以i－1＜t＜i表示第1月份（i＝1，2，…，12）,同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？(Ⅱ)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e＝計(jì)算）.20220318【分析】根據(jù)解答分段函數(shù)“對號入座”的解題原則，分別利用兩段函數(shù)表達(dá)式建立不等式可求得第（Ⅰ）小題；而第（Ⅱ）小題則須先求函數(shù)V(t)，然后利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值關(guān)系求解20220318【解】(Ⅰ)①當(dāng)0＜t≤10時(shí)，V(t)＝(－t2＋14t－40)eeq\s(eq\f(1,4)t,)＋50＜50，化簡得t2－14t＋40＞0，解得t＜4或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4.②當(dāng)10＜t≤12時(shí)，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50＜50，化簡得(t－10)(3t－41)＜0，解得10＜t＜eq\f(41,3)，又10＜t≤12,故10＜t≤12.綜合得0＜t＜4,或10＜t≤12；故知枯水期為1月，2月，3月，11月，12月共5個(gè)月.(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到.由V(t)＝eeq\s(eq\f(1,4)t,)(－eq\f(1,4)t＋eq\f(3,2)t＋4)＝－eq\f(1,4)eeq\s(eq\f(1,4)t,)(t＋2)(t－8)令V(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去).當(dāng)t變化時(shí)，V(t)與V(t)的變化情況如下表：t(4，8)8(8，10)V(t)＋0－V(t)↗極大值↘由上表，V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e2＋50＝(億立方米).故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是億立方米.【點(diǎn)評】本題第(Ⅰ)主要是根據(jù)題設(shè)條件給出的函數(shù)建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第(Ⅱ)主要是通過求導(dǎo)取得極值，最后再求得最值的，但要注意要根據(jù)第(Ⅰ)確定函數(shù)定義域.【例8】（2022年福建卷）統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：y=eq\f(1,128000)x2－eq\f(3,80)x+8(0＜x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米.（Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【分析】第（Ⅰ）小題直接根據(jù)所給函數(shù)的解析式進(jìn)行計(jì)算；第（Ⅱ）小題須根據(jù)條件建立耗油量為h(x)關(guān)于行駛速度x的函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)的知識進(jìn)行解答.【解】（I）當(dāng)x=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,40)=小時(shí)， 要耗沒(eq\f(1,128000)×403－eq\f(3,80)×40+8)×=（升）.答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油升.（II）當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)=(eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x+8)·eq\f(100,x)=eq\f(1,1280)x2+eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0＜x≤120)， h(x)=eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)=eq\f(x3－803,640x2)(0＜x≤120)，令h(x)=0得x=80， 當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，h(x)＜0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，h(x)＞0,h(x)是增函數(shù), ∴當(dāng)x=80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)=,因?yàn)閔(x)在(0,120]上只有一個(gè)極值，所以它是最小值.答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為升.【點(diǎn)評】解答類似于本題的問題時(shí)，可從給定的數(shù)量關(guān)系中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖兞浚⒑瘮?shù)模型，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征(非常規(guī)函數(shù))，確定運(yùn)用導(dǎo)數(shù)最值理論去解決問題.【專題訓(xùn)練】一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則x1·x2＝ （）A．9 B．－9 C．1 D．－12．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax＋1在(－∞，－1)上為增函數(shù)，在(－1，1)上為減函數(shù)，則f(1)為（）A．eq\f(7,3) B．1 C．eq\f(1,3) D．－13．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為 （）A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜1 D．0＜a＜eq\f(1,2)4．已知函數(shù)f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2時(shí)有極值，其圖象在點(diǎn)(1，(1))處的切線與直線3x＋y＝0平行，則函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 （）A．(－∞，0) B．(0，2) C．(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)5．函數(shù)y＝f(x)在定義域(－eq\f(3,2)，3)內(nèi)可導(dǎo)，其圖像如圖所示.記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f(x)，則不等式f(x)≤0的解集為 （）A．[－eq\f(1,3)，1]∪[2，3) B．[－1，eq\f(1,2)]∪[eq\f(4,3)，eq\f(8,3)]C．[－eq\f(3,2)，eq\f(1,2)]∪[1，2) D．(－eq\f(3,2)，－eq\f(1,3)]∪[eq\f(1,2)，eq\f(4,3)]∪[eq\f(4,3)，3)6．設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋eq\f(,6))－1(ω＞0)的導(dǎo)數(shù)f(x)的最大值為3，則f(x)的圖象的一條對稱軸的方程是 （）A．x＝eq\f(,9) B．x＝eq\f(,6) C．x＝eq\f(,3) D．x＝eq\f(,2)7．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如下圖所示.則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn) （）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)8．函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的單調(diào)減區(qū)間是（）A．[0，eq\f(1,2)] B．(－∞，0)∪[eq\f(1,2)，＋∞)C．[eq\r(a)，1] D．[eq\r(a)，eq\r(a＋1)]8．函數(shù)y＝xcosx－sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（）A．(eq\f(,2)，eq\f(3,2)) B．(π，2π)C．(eq\f(3,2)，eq\f(5,3)) D．(2π，3π)9．下列圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象，則f(－1)等于 （） A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3) C．eq\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)11．已知對任意實(shí)數(shù)，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時(shí)，f(x)＞0，g(x)＞0，則x＜0時(shí) （）A．f(x)＞0，g(x)＞0 B．f(x)＞0，g(x)＜0C．f(x)＜0，g(x)＞0 D．f(x)＜0，g(x)＜012．若函數(shù)y＝f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足不等式xf(x)＞－f(x)恒成立，且常數(shù)a，b滿足a＞b，則下列不等式一定成立的是 （）A．a(chǎn)f(b)＞bf(a) B．a(chǎn)f(a)＞bf(b) C．a(chǎn)f(a)＜bf(b) D．a(chǎn)f(b)＜bf(a)二、填空題13．右圖是一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象， 則當(dāng)x＝______時(shí)，函數(shù)取得最小值.14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(a,2)x2＋2x＋1，且x1，x2是f(x)的兩 個(gè)極值點(diǎn)，0＜x1＜1＜x2＜3，則a的取值范圍_________.15．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在區(qū)間[－1，2]上是減函數(shù)，那么b＋c最大值為___________.16．曲線y＝2x4上的點(diǎn)到直線y＝－x－1的距離的最小值為____________.三、解答題17．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)討論f(x)的極值.18．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝x2(ax－3)，其中a為常數(shù).(Ⅰ)若x＝1是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，求a的取值范圍.19．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1，f（－1））處的切線方程為6x-y+7=0.（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.20．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。22．已知函數(shù)f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的圖象在x＝2處的切線互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅱ)設(shè)F(x)＝g(x)－f(x)，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，F(xiàn)(x)≥2恒成立，求a的取值范圍.【專題訓(xùn)練】參考答案一、選擇題1．D【解析】f(x)＝3x2＋2ax＋3，則x1·x2＝1.2．C【解析】∵f(x)＝x2＋a，又f(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝eq\f(1,3)－1＋1＝eq\f(1,3).3．B【解析】f(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0，1)內(nèi)有最小值，故a＞0，且f(x)＝0的解為x1＝eq\r(a)，x2＝－eq\r(a)，則eq\r(a)∈(0，1)，∴0＜a＜1.4．B【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(3a×22＋2b×2＝0,3a＋2b＝－3)，即eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a＝1,b＝－3)，令f(x)＝3x2－6x＜0，則0＜x＜2，即選B.5．A【解析】由條件f(x)≤0知，選擇f(x)圖象的下降區(qū)間即為解.6．A【解析】f(x)＝ωcos(ωx＋eq\f(,6))，則ω＝3，則由3x＋eq\f(,6)＝2kπ＋eq\f(,2)，即x＝eq\f(2,3)kπ＋eq\f(,9)(k∈Z)，由此可知x＝eq\f(,9)為f(x)的圖象的一條對稱軸.7．A【解析】f(x)的圖象與x軸有A、B、O、C四個(gè)交點(diǎn).其中在A、C處f(x)的值都是由正變負(fù)，相應(yīng)的函數(shù)值則由增變減，故f(x)點(diǎn)A、C處應(yīng)取得極大值；在B處f(x)的值由負(fù)變正，相應(yīng)的函數(shù)值則由減變增，故f(x)在點(diǎn)B處應(yīng)取得極小值.點(diǎn)O處f(x)的值沒有正負(fù)交替的變化，故不是極值點(diǎn)，這就是說，點(diǎn)B是唯一的極值點(diǎn).8．C【解析】因?yàn)閡＝logax(0＜a＜1)在（0，＋∞）上是減函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律得0≤logax≤eq\f(1,2)，即eq\r(a)≤a≤1，故選C.8．B【解析】y＝(cosx－xsinx)＝－xsinx，令－xsinx＞0，則xsinx＜0，各選項(xiàng)中x均為正，只須sinx＜0，故x∈(π，2π).9．B【解析】∵f(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，又a≠0，∴f′(x)的圖象為第三個(gè)，知f(0)＝0，故a＝－1，f(－1)＝－eq\f(1,3)＋a＋1＝－eq\f(1,3).11．B【解析】依題意得f(x)是奇函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故在(－∞，0)上是增函數(shù)，即當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞0；g(x)是偶函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故在(－∞，0)上是減函數(shù)，即當(dāng)x＜0時(shí)，g(x)＜0.12．B【解析】令F(x)＝xf(x)，則F(x)＝xf(x)＋f(x)，由xf(x)＞－f(x)，得xf(x)＋f(x)＞0，即則F(x)＞0，所以f(x)在R上為遞增函數(shù).因?yàn)閍＞b，所以af(a)＞bf(b).二、填空題13．4【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程f(x)＝0的根與極值的關(guān)系及極值的定義易得結(jié)果.14．3＜a＜eq\f(11,3)【解析】f(x)＝x2＋ax＋2，由題知：eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(f(1)＝1－ax＋2＜0,f(3)＝9－3a＋2＞0)，解得3＜a＜eq\f(11,3).15．－eq\f(15,2)【解析】f(x)＝3x2＋2bx＋c∵f(x)在[－1，2]上減，∴f(x)在[－1，2]上非正.由eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(f(－1)≤0,f(2)≤0)，即eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(3－2b＋c≤0,12＋4b＋c≤0)，∴15＋2(b＋c)≤0，∴b＋c≤－eq\f(15,2).16．eq\f(5,16)eq\r(2)【解析】設(shè)直線L平行于直線y＝－x－1，且與曲線y＝2x4相切于點(diǎn)P(x0，y0)，則所求最小值d，即點(diǎn)P到直線y＝－x－1的距離，y＝8x3＝－1，∴x0＝－eq\f(1,2)，x0＝eq\f(1,8)，∴d＝eq\f(|－eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)＋1|,eq\r(2))＝eq\f(5,16)eq\r(2).三、解答題17．【解】由已知得f(x)＝6x[x－(a－1)]，令f(x)＝0，解得x1＝0,x2＝a－1，.（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝6x2，f(x)在(－∞,＋∞)上單調(diào)遞增當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)＝6x[x－(a－1)]，f(x),f(x)隨x的變化情況如下表：x(－∞,0)0(0,a－1)a－1(a－1,＋∞)f(x)＋00f(x)↗極大值↘極小值↗從上表可知，函數(shù)f(x)在(－∞,0)上單調(diào)遞增；在(0,a－1)上單調(diào)遞減；在(a－1,＋∞)上單調(diào)遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)沒有極值.；當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)3.18．【解】(Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),∵x＝1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f(1)＝0，∴a＝2；(Ⅱ)①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－3x2在區(qū)間（－1，0）上是增函數(shù)，∴a＝0符合題意；②當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)＝3ax(x－eq\f(2,a))，由f(x)＝0，得x＝0，x＝eq\f(2,a)當(dāng)a＞0時(shí)，對任意x∈(－1，0)，f(x)＞0，∴a＞0符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x∈(eq\f(2,a)，0)時(shí)，由f(x)＞0，得eq\f(2,a)≤－1，∴－2≤a＜0符合題意；綜上所述，a≥－2.19．【解】（Ⅰ）由f(x)的圖象經(jīng)過P（0，2），知d＝2，則f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f(x)＝3x2＋2bx+c，由在M(-1,f(-1))處的切線方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f(-1)=6，∴eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(3-2b+c=6,-1+b-c+2=1)，即eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(2b-c=3,b-c=0)，解得b=c=-3，故所求的解析式是f(x)＝x3-3x2-3x+2.（Ⅱ）f(x)＝3x2-6x-3，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0，解得x1=1-eq\r(2)，x2=1+eq\r(2)，當(dāng)x＜1-eq\r(2)或x＞1+eq\r(2)時(shí)，f(x)＞0；當(dāng)1-eq\r(2)＜x＜1+eq\r(2)時(shí)，f(x)＜0，故f(x)＝x3-3x2-3x+2在(-∞，1-eq\r(2))內(nèi)是增函數(shù)，在(1-eq\r(2)，1+eq\r(2))內(nèi)是減函數(shù)，在(1+eq\r(2)，+∞)內(nèi)是增函數(shù).20．【解】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，