§1 靜電場的標勢及微分方程§2唯一性定理§3拉普拉斯方程分離變量法§4鏡像法§6電多極矩電動力學(xué)第二章本章研究的主要問題：本章內(nèi)容：電磁場的基本理論應(yīng)用到最簡單的情況：電荷靜止，相應(yīng)的電場不隨時間而變化的情況。在給定的自由電荷分布以及周圍空間介質(zhì)和導(dǎo)體分布的情況下，求解靜電場。§1靜電場的標勢及微分方程無旋有勢，定義:或靜電場不隨時間變化為無旋場1。靜電場的標勢庫侖場電勢差積分與路徑無關(guān)點電荷靜電場標勢疊加原理連續(xù)分布已知電荷分布求電勢全空間電荷為0，庫侖場的標勢為0解：例1求均勻電場

的電勢。均勻電場每一點強度

相同，其電場線為平行直線。選空間任一點為原點，并設(shè)該點上的電勢為

，那么任一點P處的電勢為若選?0=0，則有例2：真空中均勻帶電的無限長直導(dǎo)線的電荷線密度為，求電勢。由查表得p點的電勢為設(shè)場點p到導(dǎo)線的距離為R，電荷元到p點的距離為，電勢由公式求得2。靜電勢的微分方程靜電場標勢泊松方程3。靜電場能將換成的公式

其中 不代表能量密度電荷在外場中的電勢能、靜電場能當帶電體為一點電荷電荷在外場中，電荷的場和外場的疊加外場場能點電荷場能兩場能交叉項電荷在外場中的勢能導(dǎo)體的靜電條件歸結(jié)為：①導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上。②導(dǎo)體內(nèi)部電場為零。③導(dǎo)體表面上電場必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢面，整個導(dǎo)體的電勢相等。§1靜電場的標勢及其微分方程1。靜電場標勢2。靜電勢的微分方程a.一般介質(zhì)的邊界條件b.導(dǎo)體的靜電條件靜電場的基本問題是求出在所有邊界上滿足邊值關(guān)系的泊松方程的解§2唯一性定理1。靜電問題的唯一性定理若在有限的邊界區(qū)域V內(nèi)有幾種均勻絕緣介質(zhì)，V內(nèi)的自由電荷分布為已知，那么當V的邊界面S上滿足一定邊界條件時,靜電場方程有唯一確定的解。考慮第i個均勻區(qū)域V的界面S上的積分對所有分區(qū)求和，得2。有導(dǎo)體時的唯一性定理只需給出①每個導(dǎo)體的值或②每個導(dǎo)體上的電量證明：考慮去掉導(dǎo)體后的絕緣介質(zhì)區(qū)域第一種情況：給出了第一類邊界條件第二種情況：對導(dǎo)體表面有§2唯一性定理1。靜電問題的唯一性定理2。有導(dǎo)體時的唯一性定理唯一性定理說的是只要物理問題滿足區(qū)域內(nèi)的電荷分布和邊界條件相同，它們的解就是等價的，就都是問題的解，沒有區(qū)別，其解唯一。換句話說：只要保證問題條件不變，怎么求都行！！！因此，在實際問題中，可以根據(jù)給定的條件作一定的分析，提出嘗試解，只要它滿足唯一性定理所要求的條件，它就是唯一正確的解。

電荷分布滿足了，總邊界條件滿足了，內(nèi)部邊界滿足了，由解的唯一性定理保證，上面得到的結(jié)果就是問題的解。靜電勢方程邊界條件導(dǎo)體的靜電條件①②③靜電問題的唯一性定理靜電場的方程及邊界條件靜電問題有解的條件：求解區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布ρ(x)，在V的邊界S上給定（i）電勢（ii）電勢的法向?qū)?shù)或則V內(nèi)的電場唯一地確定。若求解區(qū)域內(nèi)有導(dǎo)體存在，還要給定各導(dǎo)體上的電勢或?qū)w上的電荷。如果我們選擇這些導(dǎo)體的表面作為區(qū)域V的邊界，則V內(nèi)部自由電荷密度ρ＝0，電勢所滿足的泊松方程化為比較簡單的情形：注意：求解區(qū)域內(nèi)ρ＝0，產(chǎn)生電場的電荷全部分布于V的邊界上，他們的作用通過邊界條件反映出來。所以，這類問題可歸結(jié)為求拉普拉斯方程滿足邊界條件的解。這就是拉普拉斯方程。二、分離變量法分離變量法就是將場量的函數(shù)表達式中不同坐標相互分離，即將場量分解為單一坐標函數(shù)的乘積的形式，求出通解。然后再根據(jù)給定的邊界條件求出實際問題的的解。不同坐標系中拉氏方程的通解不同。2.柱坐標：若u與z無關(guān)，轉(zhuǎn)化為二維極坐標中的問題拉普拉斯方程極坐標圓域通解若軸對稱，設(shè)：球半徑為，球外為真空，該問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外場方向的軸線。取此線為軸線，球心為原點建立球坐標系。以原點為電勢0點，為球外勢，為球內(nèi)勢能§3拉普拉斯方程——分離變量法例2：電容率為的介質(zhì)球置于勻強外場中，求電勢解：1通解為表示球內(nèi)域的電勢表示球外域的電勢由于是軸對稱球坐標系,所以關(guān)于對稱,通解中沒有寫出通解處理掉總邊界條件內(nèi)部邊界一類條件確定系數(shù)關(guān)系比較系數(shù)內(nèi)部邊界二類條件確定系數(shù)關(guān)系聯(lián)立方程可以解得23偶極子的電勢介質(zhì)內(nèi)小于外電場總偶極矩為極化強度外場為勻強電場與偶極矩的場的疊加內(nèi)場為勻強電場，勻強電場中4例3：球半徑為接地金屬球置于勻強外場中，求電勢和導(dǎo)體表面的電荷面密度解：設(shè)球半徑為，球外為真空，該問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外場方向的軸線。取此線為軸線球心為原點建立球坐標系。為球外勢,金屬球為等勢體，坐標原點電勢為0§3拉普拉斯方程——分離變量法由于選擇了軸對稱，所以關(guān)于對稱，通解中沒有同時處理總邊界條件內(nèi)邊界條件處理給勢就是給電荷球半徑為金屬球置于勻強外場中，導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差求電勢問題？2.球半徑為金屬球置于勻強外場中，求電勢(1)導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差解：設(shè)：以球心為原點，外場方向為極軸的正方向建立球坐標系,設(shè)坐標原點電勢為。導(dǎo)體球半徑為，球外為真空，該問題具有軸對稱性。設(shè)球內(nèi)外勢分別用表示。問題表示為由于選擇了軸對稱，所以關(guān)于對稱，通解中沒有

例4尖劈問題取問題轉(zhuǎn)換為例4尖劈問題的數(shù)學(xué)問題為包含零點有界扇形通解為主要討論當非常小時的情況，當

主要討論當非常小時的情況，零端n與角度反向，終端n與角度同向，當當很小時主要貢獻為第一項經(jīng)整理得尖劈問題小結(jié)當對于三維問題就是尖端放電取由物理問題可得電勢的通解為空間電場強度為導(dǎo)體面自由電荷密度為分離變量法解題步驟1。分析題意建立適當?shù)淖鴺讼岛喕ń庑问?。用數(shù)學(xué)語言寫出空間的物理問題（包括邊界條件）3。寫出不同區(qū)域的通解形式4。用外圍邊界條件清除一些系數(shù)5。用內(nèi)部邊界條件確定其他的系數(shù)關(guān)系并求解6。代回系數(shù)得到所求電勢結(jié)論7。觀察結(jié)論是否符合問題的物理意義8。注意：若求場強、電荷密度，要用所在坐標系下的梯度、散度、旋度公式二、鏡象法的基本思想在所求場空間中，使用場空間以外的區(qū)域某個或某幾個假想的電荷來代替導(dǎo)體的感應(yīng)電荷或介質(zhì)的極化電荷一、研究的問題在所考慮的區(qū)域內(nèi)只有一個或者幾個點電荷，區(qū)域邊界是導(dǎo)體或介質(zhì)界面§4鏡象法三、理論基礎(chǔ)鏡象法的理論基礎(chǔ)是唯一性定理。其實質(zhì)是在所研究的場域外的適當?shù)胤剑脤嶋H上不存在的“鏡象電荷”來代替真實的導(dǎo)體感應(yīng)電荷或者介質(zhì)的極化電荷對場點的作用。在代替的時候必須保證原有的場方程，邊界條件不變§4鏡象法§4鏡象法

四、注意事項1、象電荷必須放在所研究的場域外。2、把整個空間看成均勻的無界空間，并且介電常數(shù)是所研究場域的介電常數(shù)。3、象電荷電量不一定與真實的感應(yīng)電荷或極化電荷相等。4、適用范圍：場區(qū)域的電荷是點電荷，或無限長導(dǎo)線；導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必是簡單的規(guī)則的幾何面（球面，柱面，平面）接地無限大平面導(dǎo)體板附近有一點電荷Q，距離為a。求空間中的電場。電荷分布：一個點電荷。邊界面：接地無窮大導(dǎo)體。求解區(qū)域：上半空間（下半空間電勢為零）分析：例1已知電荷分布和界面電勢(等于零)，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。Qa電荷分布和電場分布：點電荷Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)電荷。整個電場是由Q和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的。由于導(dǎo)體表面是等勢面，所以電場線垂直于導(dǎo)體表面，而且電場具有軸對稱性。設(shè)用來代替感應(yīng)電荷的假想電荷為Q’。問題是：Q’應(yīng)該放在什么位置？電量是多少？以電場的對稱軸為Z軸建立直角坐標系，X軸和Y軸在導(dǎo)體表面上。解：根據(jù)電場的軸對稱性，Q’必在對稱軸上，即在Q到板面的垂線上。設(shè)Q’到板面的距離為b，導(dǎo)體板上方的電勢為：所以，注意到上式對任意x、y都成立，所以導(dǎo)體板上方的電勢為：真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心為a（a>R0）處有一點電荷Q，求空間各點的電勢（如圖）。例2分析：電荷分布：一個點電荷。邊界面：導(dǎo)體球面。求解區(qū)域：球面外區(qū)域。已知電荷分布和界面電勢(等于零)，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢。以電場的對稱軸為軸線，球心為坐標原點，建立球坐標系。解：根據(jù)電場的軸對稱性，Q’必在對稱軸上，即在Q到球心的連線上。設(shè)Q’到球心的距離為b，球外空間的電勢為：考慮球面上任一點P（如圖）即對球面上任一點，應(yīng)有只要選Q’的位置，使ΔOPQ~ΔOQ’P即可，此時球外任一點P的電勢為：物理結(jié)果討論：根據(jù)高斯定理，收斂于球面的電通量為?Q’。Q’為球面的總感應(yīng)電荷，它是受電荷Q的電場的吸引而從接地處傳至導(dǎo)體球上的。然而|Q’|<Q，由電荷Q發(fā)出的電場線只有一部分收斂于球面上，剩下的一部分發(fā)散至無窮遠處。真空中有一半徑為R0的導(dǎo)體球,球上帶總電荷Q0，距球心為a（a>R0）處有一點電荷Q，求空間各點的電勢（如圖）。例3分析：電荷分布：一個點電荷。邊界面：導(dǎo)體球面。求解區(qū)域：球面外區(qū)域。邊界條件為導(dǎo)體上所帶的電荷量。球外電場由點電荷Q

，點電荷引起球上的感生電荷Q’

，球上所帶電荷Q0-Q’共同生成。根據(jù)疊加原理！求Q所受的力鏡象法解題步驟1。正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及邊界條件2。根據(jù)給定邊界條件計算象電荷的電量和所在位置3。由已知電荷及象電荷寫出電勢的解析式4。根據(jù)需要求出場強、電荷分布及電場作用力等鏡象法解題步驟二1。正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及邊界條件2。根據(jù)經(jīng)驗，對稱性等給出象電荷的電量和所在位置3。由已知電荷及象電荷寫出電勢的解析式4。驗證結(jié)果符合唯一性定理要求5。根據(jù)需要求出場強、電荷分布及電場作用力等QQ-Q-QQ球殼帶電體的分析電荷在球殼內(nèi)部1。球殼接地球殼帶電體的分析電荷在球殼內(nèi)部2。球殼不接地球殼帶電體的分析電荷在球殼內(nèi)部3。球殼帶電不接地球殼帶電體的分析電荷在球殼外部1。球殼接地2。球殼不接地3。球殼帶電不接地偶極子的勢§