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(學)高中數學數列放縮專題:用放縮法處理數列和不等問題#分析:(1)用數學歸納法易證。(2)由a=a2—a+1得:a—1=a(a—1).,.a-1=an+1nnn+1nnn-1(an-1-1)a-1=a(a-1)2 11以上各式兩邊分別相乘得:an+1-1=aaAaa(ann-1 21-1),又a1=2.a=aaAn+1 nn-1aa+121(3)要證不等式1-22006a1+A+,<1,a200611可先設法求和:—+—+Aaa12+ ,a2006再進行適當的放縮。?an+1a-1n+1a-1anna-1a-1n+1」+La1+ a2006a-11a-12)+(—a2-1a-13)+A+(—1a-12006a2007-1)a-11a2007——二1--1aaa12A2006<1又aaA12>a2006=220062006 1...1-aaAa12 200622006.,?原不等式得證。本題的關鍵是根據題設條件裂項求和。數列和不等問題(學生版)一.先求和后放縮(主要是先裂項求和,再放縮處理)例1.正數數列}的前n項的和S,滿足2泠n n nn=a+1,n試求:(1)數列}的通項公式;n(2),數列8}的前n項的和為B,求證:aann+1真題演練1:(06全國1卷理科22題)設數列{a}的前n項的和,Sn12——X2n+1+—,n=1,2,3,(I)求首項a與通項a;2n(II)設T——,n=1,2,3,,證明:nSn£t<3.,2i—1二.先放縮再求和1.放縮后成等比數列,再求和例2.等比數列{a}中,a--1,前n項的和為S,且S,S,S成等差數列.n 1 2 n 798設b=,數列{}前n項的和為T,證明:T<1.n1-a n n n3nTOC\o"1-5"\h\z真題演練2:(06福建卷理科22題)已知數列{〃卜滿足a=1,a=2a+1(neN*).n 1 n+1 n(I)求數列{a}的通項公式;
n(II)若數列{b}前足4『14b2-i 4b-i=(a+1)b(neN*),證明:數列{b}是等差數列;nn nn1aaan(III)證明:一一一<一+t+...+—n-<—(neN*).23aaa22 3 n+12.放縮后為“差比”數列2.放縮后為“差比”數列再求和n n+1例3.已知數列{a}滿足:nn+1=(1+一)a例3.已知數列{a}滿足:nn+12nn n+1 n 2n-1
3.放縮后成等差數列,再求和例4.已知各項均為正數的數列{a}的前n項和為S,且a2+a=2S.n n nn n(1)求證:a2+a(1)求證:3<-n n11n4(2)求證:練習:131.(08南京一模22題)設函數/(x)=x2+bx-,已知不論a,0為何實數,恒有f(cosa)<0且44f(2-sin0)>0.對于正數列{a},其前n項和S=f(a),(ngN*).n nn(I)求實數b的值;(II)求數列{a}的通項公式;n(III)若、=-^—,ngN,且數列{c}的前n項和為T,試比較T和1的大小并證明之.n1+a + n n n6n2.(04全國)已知數列{a}的前n項和S滿足:S=2a+(-1)n,n>1n n nnTOC\o"1-5"\h\z(1)寫出數列{a}的前三項a,a,a;(2)求數列{a}的通項公式;n 123 n11 17(3)證明:對任意的整數m>4,有一+—+A+——<-aaa845 m3.(07武漢市模擬)定義數列如下:a1=2,a=a2一a+1,neN*n+1 nn*,有*,有a=aaaa+1成立;
n+1nn-
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