第二章線性電光效應的耦合波理論2001年，She等人提出一種全新的理論，它從麥克斯韋方程出發，考慮二階非線性極化強度（也就是只考慮線性電光效應），忽略其余高階極化強度，推出關于線性電光效應的耦合波方程，得到在電場作用下的晶體中光的兩個獨立電場分量的解析解。這種方法，可運用于研究光在任意一個方向的電場作用下沿任意方向傳播的各種線性電光效應的情況，并且不單可以用于研究光的振幅調制，也可以容易去解決光的相位調制問題。另外對于給定的一個晶體（點群），能根據需要利用該理論進行優化設計。這全新的耦合波理論相對折射率橢球理論來說，它的物理圖象清晰，得到的結果是解析解，不用再作任何數學變換。我們不單可以方便地進行優化設計，而且也可用于電光調制器等電光器件性能的分析。它的出現拓展電光材料的選擇范圍和優化調制器的調制方式，從而引起了電光效應研究領域內新一輪的探索。2.1理論推導波在介質中傳播時，能夠通過介質內的非線性極化而相互作用將導致形形色色的非線性光學現象，如高次諧波、參量轉換、受激散射等等。電光效應就是其中的一種非線性光學現象。電（波）與光（波）的互作用，實質上又可以看作是幾個處于不同波段的電磁波在非線性介質中的波耦合過程，因此可以象非線性光學那樣，通過求解耦合波方程來獲得電光作用的有關知識。對于普克爾效應，是入射波為光3）+電波@m）產生一個輸出光波（?+?m）的三波耦合過程。對于電光效應，它涉及到的是光與物質的相互作用，光是由麥克斯韋方程或場方程描述，物質體系是由光學布洛方程描述。于是我們采用類似非線性光學方法，首先給出相應的非線性極化強度，把電場所感生的附加極化矢量當成一個微擾量AP，再將它視為新的極化光源引入麥克斯韋波動方程，通過整理最后可得到相應的耦合波方程。線性電光效應耦合波理論就是以麥克斯韋波動方程為基礎和出發點推導出來的。我們可以由麥克斯韋方程組和物質方程推導出：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"V*V*E()+竺地!"^2P*(t)

c2dt20dt2根據矢量運算規則，VxVxE=V(V?E)-V2E(2-2)這樣可得：82「fT-E(t)]d2Pnls(t)/、\o"CurrentDocument"V[V-E(t)]-V2E(t)+[8「刀=f―8^~)(2-3)3為介質的相對介電張量，r0為真空中的磁導率，c為真空中的光速，E(t)為介質中的總電場強度，Pnls(t)為只與電場強度E(t)有關的介質非線性極化強度，暫不考慮旋光效應。當光尚方向傳播時，電場強度可分為平行和垂直于1的兩個分量，因為此時光波理想化為單色平面電磁波，平行r的分量E〃(t)為零，所以我們只需保留E(f)垂直于傳播方向r上的分量E±(t)。在沒有自由電荷的均勻介質中和在P<<￡oE的情況下，有V?E=0，這樣方程(2-3)可變為:-V2-V2E上(t)+1fW(2-4)其中在單色波近似下，外加電場后晶體中總的電場強度可表示為：―1_一E(t)=E(0)+[_E(o)e-s+c.c.](2-5)2E(0)為外加直流電場或頻率遠小于o的低頻電場；c.c.表示電場的復共軛部分；將(2-5)式代入(2-4)式的左邊，可得：-V2E.(t)+82[m°)L=-2e&tV2E「o)-2竺周?E(o)]【e-血(2-6)由于電光晶體所產生的線性電光效應比其所產生的二次電光效應強得多，并且在實際應用中常利用立方晶系晶體或均質體來產生二次電光效應，因此由電光品體產生的二次電光效應就顯得不重要了。在這里我們只考慮線性電光效應的貢獻，而認為由于相位失配其它各二階非線性效應以及更高階非線性效應可以被忽略，所以在求解(2-4)式時，把非線性激勵項作為一種微擾來處理。所以有：1「，、Pnls(t)=P(2)(t)=2P(2)(o)e-iot+c.c.(2-7)是方程(2-4)式的右邊:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"一^82P：LSG)=1目①2P(2)(①)e-s(2-8)\o"CurrentDocument"。8t22。^由(2-6)和(2-8)式，則式(2-4)可變為:\o"CurrentDocument"V2E(w)+竺B-E(w)]=―目。①2P(2)(①)(2-9)一般說來，在相位失配的情況下，頻率為W的單色平面波在各向異性晶體中傳播時沒有倍頻產生，電場可分為兩個相互正交的偏振分量E?w)，E2(w)，設K、K2分別為E1(w)，E2(?)所對應的波矢，因此我們可定義:E(w)=E(w)+E(w)=E(r)e%.r+E(r)eKr(2-10)TOC\o"1-5"\h\z1212如果k=k，E(w)，E(w)分別表示光電場強度的兩個相互垂直的分量；如果1212k衛k，E(w)，E(w)分別代表兩個折射率不同，在晶體的傳播中各自獨立的電1212場強度。例如，在各項異性晶體中E1(w)，E2(w)分別表示。光和e光的電場強度。故(2-9)式可變為：w2一，、_,、一一￡V2E(w)+一[U.E(w)]=—^w2P(2)(w)(2-11)j1c2j!10j1j=1,2線性電光效應可以與二階電極化率張量X(2)聯系起來，應只包含二階非線性極化強度，忽略高階的，其表達式為:(2-12)P(2)(w)=2s0X⑵(w，0):E(w)E(0)=2sX(2)(w，0):E(r)E(0)e.r+2sX⑵(w，0):E(r)E(0)e，k2.0102s0為真空中的介電常數，X⑵(w，0)為二階極化率張量。(2-12)另外以方面又有:V2[E(r)eikr]=[—k2E(r)+2ikdEi(r)+d2Ei(r)詢燈(2-13)drdr2在線性響應和介質無耗的情況下，偏振矢量和場振幅E(r)都是恒定的，與波通過介質時所運行的距離r無關。而在非線性響應的情況下，即使介質是無耗的，偏振矢量和場復振幅也都是r的函數。然而，因為非線性激勵項是作為對線性效應

的一種微擾來處理的，因此我們可以認為電場復振幅因子E（r）是1的慢變化函數。于是考慮慢變振幅近似竺也?k竺史，由式（2-4），（2-13）和c2=-^，我們dr2dr80七可以得到：ik。"空也+ikev冬1dr2drdrdr(2-14)①2①2=——z(2)(①，0):E(r)E(0)e"-一*⑵(①，0):E(r)E(0)皿C21C22在忽略離散效應的情況下，我們記:E(r)=E(r)a(2-15)（2-16）E(r)=E(r)bE(0)=E0c我們分別用a、b來點乘方程(2-14(2-15)（2-16）dE1(r)-i①2a偵(2)(3,0):bcE(r)Eei^kr+i-^^a?*⑵"):acE(r)Edrkc220kc210dE2(r)-i①2b?*(2)(①，0):acE(r)Eei心+i①2b?*⑵(必，0):bcE(r)Edrk2c20k2c20其中Ak-k2—匕，對于無損耗介質的，*⑵（。0）是實數且滿足全對稱性排列，即有：a*⑵（必，0）:bc-b?*（2）（必，0）:ac（2-17）設n設n，，n2分別為兩光波E，E2在介質中的折射率，有:（2-18）（2-19）（2-20）k-nk-n—k（2-18）（2-19）（2-20）TOC\o"1-5"\h\z1101c2202c把(2-17)和(2-18)式代入方程組(2-16)，則該方程組變為：dE(r)kk,八、，、i-i0a?*⑵(—，0):bcE(r)EeiAkr+10a?*(2)(—，0):acE(r)Edrn20n10\o"CurrentDocument"dE(r)kk、——-i—0a?*(2)(—，0):bcE(r)EeiAkr+1—b?*⑵(—，0):bcE(r)Edrn210n220又有電光張量兀元/二階非線性極化率之間的關系:1，、*(2)(①，0)-—_(88)yjkl2jjkkjkl

,、,、,為有效電光系數，其表達式為:eff1eff2eff3r=￡(e8)(aybc)eff1jjkkjjkikij^dr=￡(88)(ayac)（2-21）eff2jjkkjjklklr=乙(e8)(bybc)eff3jjkkjjklklj,k,l2x(2)(—①，①，0)

jkl（2-21）8jj8kk又得dE(r)drdE(r)drdE(r)

——2—

drk—i—ar2neff1021k—i—arEE2n2eff1kEE(r)e&r—i—^rEE(r)1

ke-iAkr一i—卜rEE2（2-22）1(r)2(r)我們再令d1=d1=2TrfE01AkRd3=肅refE02d2=才rf211/k口d4=肅ref3E0.2（2-23）于是經過（2-22）經過整理最終可得耦合波方程組如下（2-24）匪1(r)=—idE(r)eiMr一idE(r)dr1221北Ir)=—idE(r)e-心一idE(r)dr31422.2線性電光效應耦合波理論的應用（2-24）在電光效應的應用問題上，主要存在兩個問題：第一是在確定了直流電場的方向、入射光的傳播方向以及電光張量元的情況下，如何得到出射光場的兩個相互正交的偏振分量E1（?）和E2@）的表達式?這在上節的基本理論的介紹中已經詳細的分析過了。第二是關于調制深度的問題，即我們如何在一個給定的直流電場下達到最大的調制深度？對于這問題，可以應用線性電光效應的耦合波方程組的普遍解來解決。它在電光調制方面的應用，不單可以進行縱向和橫向調制，而

且還可以進行斜向調制。在解決問題的過程中可以看到，所有分析的關鍵是要算出有效電光系數ef1ef苛ef苛同之前的其他理論方法相比較，我們的方法簡單明了。不競可以分析單軸晶體，對雙軸晶體的問題也可以容易解決。現在我們按k0和k0兩種情)兄進行分析。2.2.1k0時的分析對于強度調制，在以下兩種情兄中是k0的。一、光波沿單軸晶體的光軸傳播時七。。帶入式(2-21)、(2-23)，經過整理得:kn^1(222kd工［(42k)csin2七。。帶入式(2-21)、(2-23)，經過整理得:kn^1(222kd工［(42k)csin2ccos2](2-25)1k)ccos22csin2]k6k0,且旅界位1，2,3)，由式(2-25)則可算出d10，此種情兄不適用于耦合波方程組，不需要做進一步討論。但對于弘不全為零的晶體，我們可以適當調節角，使d10，而d2d40，此時可獲得最大的調制深度。(i)6kck0，取/4時有d2d40，這種情兄可以在32,3m，6m2的k對稱點群的晶系中實現.(ii6kck0，使k(2kik)cktan2(2-26)26kckk就有d2d40，就可以在42m，4，3，32，3m，6，6m2對稱點群的晶體中實現。二、光波在無中心反演對稱性的立方晶體中傳播時43m和23對稱點群的晶體就是屬于沒有中心反演對稱性的立方晶體，它們的非零電光系數之間的關系為(2-27)同理，為了得到最大的振幅調制深度，必需找到d2-d4=0時的d1的最大值。運用方程(2-21),(2-23)和(2-27)我們可以得到d=(2-27)同理，為了得到最大的振幅調制深度，必需找到d2-d4=0時的d1的最大值。運用方程(2-21),(2-23)和(2-27)我們可以得到d=、”0凡r[c(ab+ab)+c(ab+ab)+c(ab+ab)]1263123322311331221(2-28)在a-a=1，b-b=1，c-c=1以及a-b=0的條件下，運用拉格朗日乘法我們可以在d2-d4=0的情況下得到氣的最大值。如果直流電場的方向是任意的，就會有無窮多組(a,b,c)使得d1取到最大值；如果運用無限條件c?a=1或者c?b=1，就可得到最小的半波電壓。2.2.2Rk。0時的分析當Ak>>d時，i即光波稍偏離光軸傳播時，利用積分中值定理得電光效應耦合波方程組近似為竺#=-idE(r)dr21dE(r)—才——=-idE(r)(2-29)方程組的解為E(o)=E(0)ei(k1-d2)rE2(①)=E2(0)ei(k2-d4)r(2-30)這與r=0時所得結果相同。對于相位調制，我們可取E(0)=0，或E(0)=0,reff1則有E(①)=E(0)ei(k1-d2)rE?(①)=0(2-31)R(①)=0E2(?)=E2(0)ei(k2-d4)r(2-32)當Ak?d1時，振幅調制的結果是根據方程（2-29）計算的，由于方程不包含d,d3的項，所以對于電光強度調制，不需要考慮^,d3的值。相位調制的結果是根據（2-31）或（2-32）計算的，同樣不包含d，d的項，所以同樣不需要考慮d，131從方程（2-21）和（2-23），我們可以得到（2-33）（2-34）d=*0.0氣Z（ysin2甲+ycos2甲一2ysin甲cos甲）c221k2（2-33）（2-34）d=*0氣￡（n4ycos20cos2甲+n4ycos20sin0+n4ysin20-42n01k02ke3k2kn2n2ysin20sin甲一n2n邛sin20cos甲+n2n2ycos20）c如果是雙軸品體的情況，設n，n，n分別為晶體的三個主折射率，兩個獨立的尤yz偏振分量的單