最值導數在經濟分析中的應用第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五復習1、若在內，則在內單調增加2、若在內，則在內單調減少3、如果在點處取得極值且可導，則4、如果在點的左側，右側，則是極大值；則是極小值；5、如果在點的左側，右側，第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五求函數的單調區間、極值、極值點解：令，得：，的單調增加區間是單調減少區間是極大值極小值極大值為；極大值點為極小值為；極小值點為6、第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五觀察下面函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象,回答:(1)

在哪一點處函數y=

f(x)有極大值和極小值?(2)

函數y=

f(x)在[a,b]上有最大值和最小值嗎?如果有,

最大值和最小值分別是什么?極大:x=x1x=x2x=x3x=x5極小:x=x43.4.2函數的最大值與最小值第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五觀察下面函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象,回答:(1)

在哪一點處函數y=

f(x)有極大值和極小值?(2)

函數y=

f(x)在[a,b]上有最大值和最小值嗎?如果有,

最大值和最小值分別是什么?極大:x=x1x=x2x=x3極小:abxyx1Ox2x3第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五問題question1、函數的最值在哪些點處取得？極值點端點2、怎樣求函數的最值？求出極值，求出端點處的函數值，比較其大小3、求最值的簡化方法：求出所有可能極值點處的函數值，再求出端點處的函數值，比較其大小即可駐點和不可導點第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五①求出在內的所有駐點和一階②求出端點的函數值和；求最大值和最小值的步驟如下：③比較前面求出的所有函數值，其中最大的就是在上的最大值,最小的就是在上的最小值.導數不存在的連續點，并計算各點的函數值；第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五求函數在上的最大值與最小值.令，解得：解：又例4，，則，，，所以最大值為最小值為第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五特別地：如果在一個區間內可導且只有一個駐點當是極大值時，就是該區間上的最大值當是極小值時，就是該區間上的最小值在應用問題中往往遇到這樣的情形，此時可以當作極值問題來解決，不必與區間的端點值相比較第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五設窗框的寬為，欲用長的鋁合金料加工一日字形窗框，問它的長和寬分別為多少時，才能使窗戶面積最大，最大面積是多少？于是窗戶的面積解：則長為例7第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五所以是極大值點由于在區間(0，2)內有唯一的極大值，所以當窗戶的寬為，長為時，令，最大面積為則這個極大值就是最大值.窗戶的面積最大，則顯然時，；

時，；求得駐點第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五觀察下列圖形的特點：3.6.1函數的凹凸性與拐點第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五１、曲線凹凸性的定義如果在某區間內，曲線弧位于其上任意一點的切線的上方，則稱曲線在該區間內是凹的；如果在某區間內，曲線弧位于其上任意一點的切線的下方，則稱曲線在該區間內是凸的；第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五xyoθ1θ2θ3ab???x1x2x3

切線斜率k↗凹曲線2、曲線凹凸性的判定第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五xyoθ1θ2θ3ab???x1x2x3凸曲線

切線斜率k↘第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五定理3.8設函數y=f(x)在區間(a,b)內的二階導數存在(1)若在(a,b)內f(x)>0,則曲線y=f(x)在區間(a,b)

內是凹的；(2)若在(a,b)內f(x)<0,則曲線y=f(x)在區間(a,b)

內是凸的。即為則是凹的

為則是凸的第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五曲線凹與凸的分界點稱為曲線的拐點.求拐點的一般步驟：②令，解出全部根，并求出所有二階導數不存在的點；①求函數的二階導數；③對步驟②求出的每一個點，檢查其左、右鄰近的的符號，如果異號則該點為曲線的拐點；如果同號則該點不是曲線的拐點．拐點的概念拐點的求法第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五例1求曲線的凹凸區間和拐點解：拐點拐點令，得：，的凹區間是凸區間是；拐點是和第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五3.6利用導數研究函數第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五我們學過用“描點法”來畫函數的圖形。在中學數學中，但“描點法”有著固有的局限性，不能準確地畫出函數的圖形。在高等數學中，我們學會了利用函數的導數來確定函數的單調區間和極值點；學會了利用函數的二階導數來確定函數的凹凸區間及拐點……

知道了這些知識后，我們就能較準確地描繪出函數的圖形。為了更準確地描繪函數的圖形，我們再來學習一個概念——漸近線，然后，再來研究函數圖形描繪的基本步驟和技巧！第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五3.6.2曲線的漸近線1.水平漸近線例如有兩條水平漸近線:xy(平行于x軸的漸近線)則稱直線為曲線的水平漸近線如果或或第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五例如有兩條鉛垂漸近線:2.鉛垂漸近線(垂直于x軸的漸近線)則稱直線為曲線的鉛垂漸近線如果或或第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五求曲線的水平漸近線和鉛垂漸近線解：是曲線的水平漸近線是曲線的鉛垂漸近線例4第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五3.6.3函數作圖步驟：1、確定函數的定義域(值域)2、討論函數的奇偶性圖像的范圍圖像的對稱性3、求出曲線的特殊點曲線與坐標軸的交點4、判斷函數的單調區間并求極值5、確定函數的凹凸區間和拐點6、求出曲線的漸近線7、列表討論，并描繪函數的圖像求求使曲線的趨勢更精確第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期五解:例7（1）定義域：