隱函數微分由方程Fx,y0確定的隱函數yyx求dy F[x,y(x)]兩邊 x求導FFdy y若F0，則 dy

例如：xysiny0，求dy方程的變量多于兩個的情形由方程Fx,yz)0確定zzx,y)，求z,z 由 F[x,y,z(x,y)]0，兩邊 x求導FFz z若F0，則 z

兩邊 y求導：FFz z若F則 z

由方程F(x1,x2,,xn,z)0確定zz(x1,x2,,xn)， zFxi (i1,2,,n)． MM0221)z,z例1試求由方程z2xyzy270確定zzx,y) 令F(x,y,z)z2xyzy27，Fx Fyx2 Fz2zy， z

zx2 2z

2z因

x(2, 2z x2

(2,

y(2,

2z

(2,2由Fxyz,xyyzxz)0確定zzx,y)，求解法一令xyz)Fxyz,xyyzzx，則

F(yz，

F(x zF1F2(yz) F1F2(x 利用全微分形式的不變性，先 F1(dxdydz)F2(xdyydxzdyydzzdxxdz)dz (F1(yz)F2)dx(F1(xz)F2F1F2(x zF1F2(yz) F1F2(x3設函zzx,y)由方Fxzyz0給出xzyzz 則有

證法一.方程兩邊對x求偏導1

1

zFF(1

)F

)0

y

x

1F11 方程兩邊對y求偏導

zFF(z1z)F(11z)0z

y x

1F11

x(

y( FF

z

1F11

1F11 證法二 G(x,y,z)F(xz,yz G

FF(z F11F2 F(z)z y F11F2 所 xzyzz 方程組的G(x,y,z)G(x,y,z)可將y,z確定為x即yyx，zzx，求 求 Fxyxzx0，以上兩式同時對xGx,yxzx)]0，FdyFdz zGdyGdz z解得：dy

dz 利用雅可比行列式的(F,G)dydz

(x,(F,G)(y,(F,G)(y,(F,G)(y,

注.

F(x1,,xn,u,v)G(x,,x,u,v)

uv是

,,

(F,G)u (xi,v) (F,G)(u,(F,G)v (u,xi)，(i1,2,, (F,G)(u,4設方程組xyzuv

uvx2

z

v2 方法二

方程組兩邊對x1uxvx2x2uux2vvx

xv，vu

u v例 設xucosv，yusinv，求 v 解uv視為x,yx1

cos

usin

uvv 0usin

ucosu

uvv 1u(cosvvsinv)vsin 0u(sinvvcosv)vcos ucos

vsinvvcosv 6ux) 且

解已知方程組確定了函 uu( yy(x),zz(x)每個方程兩邊同時對x求導duffdy, ydxhhdz z

GGdyGdz y z解上述方程組得uf(x,G(x,y,z) duff(GhG (G z x yz7設yfxt),t是方程Fx,yt)0所確定的x,fFf

dy

x fF yf(x,t)解法一.兩個方程聯立：Fxyt確定yyxttxxdy(ffdt)0, tdx

FFdyFdt y tfFf dy

x fF 解法二