2023市中區二模一．選擇題（共12小題，每小題4分，共48分）1．國家主席習近平在2023年新年賀詞中說道：“安得廣廈千萬間，大庇天下寒士俱歡顏！2023年我國3400000貧困人口實現易地扶貧搬遷、有了溫暖的新家．”其中3400000用科學記數法表示為（）A．0.34×107 B．3.4×106C．3.4×105D．34×1052．圖甲是某零件的直觀圖，則它的主視圖為（）A． B． C． D．3．如圖，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足為E，∠A=120°，則∠D的度數為（）A．30°B．60° C．50° D．40°4．下列計算正確的是（）A.B.C.D.5．如圖，△ABC內接于⊙O，連接OA，OB，∠C=40°，則∠OBA的度數是（）A．60° B．50° C．45° D．40°6．下列圖形中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．7．不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A． B． C． D．8．初三體育素質測試，某小組5名同學成績如下表所示，有兩個數據被遮蓋，如下表：那么被遮蓋的兩個數據依次是（）編號12345方差平均成績得分3834■3740■37A．35，2 B．36，3 C．35，3 D．36，49．濟南大明湖畔的“超然樓”被稱作“江北第一樓”，某校數學社團的同學對超然樓的高度進行了測量，如圖，他們在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往樓的方向前進60m至B處，測得仰角為60°，若學生的身高忽略不計，≈1.7，結果精確到1m，則該樓的高度CD為（）A．54mB．53m C．51mD．47m10．已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0有實數根，則m的取值范圍是（）A．m B．m＞1 C．m＜1 D．m且m≠111．如圖，把矩形紙片OABC放入平面直角坐標系中，使OA、OC分別落在x軸，y軸上，連OB，將紙片OABC沿OB折疊，使點A落在A′的位置，若OB=，tan∠BOC=，則點A′的坐標（）A．（﹣，） B．（﹣2，4） C．（﹣，） D．（﹣3，4）12．如圖，在平面直角坐標系中2條直線為l1：y=﹣3x+3，l2：y=﹣3x+9，直線l1交x軸于點A，交y軸于點B，直線l2交x軸于點D，過點B作x軸的平行線交l2于點C，點A、E關于y軸對稱，拋物線y=ax2+bx+c過E、B、C三點，下列判斷中：①a﹣b+c=0；②2a+b+c=5；③拋物線關于直線x=1對稱；④拋物線過點（b，c）；⑤S四邊形ABCD=5，其中正確的個數有（）A．5 B．4 C．3 D．2二．填空題（共6小題，每小題4分，共24分）13．分解因式：=14.不透明的袋子里裝有2個紅球和1個白球，這些球除了顏色外都相同．從中任意摸一個，放回搖勻，再從中摸一個，則兩次摸到球的顏色相同的概率是15.已知方程組，則x+y的值為．16．如圖所示，扇形AOB的圓心角為120°，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為．第16題圖第17題圖第18題圖17．如圖，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函數y=在第一象限內的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是．18．如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM=BN，連接AC交BN于點E，連接DE交AM于點F，連接CF，若正方形的邊長為4，則線段CF的最小值是．三．解答題（共9小題）19.（本小題滿分6分）計算：20.（本小題滿分6分）先化簡，再求值：21.（本小題滿分6分）如圖，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于點F，求證：AB=DF22．（本小題滿分8分）工人師傅用一塊長為10dm，寬為6dm的矩形鐵皮制作一個無蓋的長方體容器，需要將四角各裁掉一個正方形．（厚度不計）.在圖中畫出裁剪示意圖，用實線表示裁剪線，虛線表示折痕；并求長方體底面面積為12dm2時，裁掉的正方形邊長多大？23．（本小題滿分8分）為響應“書香校園”號召，重慶一中在九年級學生中隨機抽取某班學生對2023年全年閱讀中外名著的情況進行調查，整理調查結果發現，每名學生閱讀中外名著的本數，最少的有5本，最多的有8本，并根據調查結果繪制了如圖所示的不完整的折線統計圖和扇形統計圖．（1）該班學生共有名，扇形統計圖中閱讀中外名著本數為7本所對應的扇形圓心角的度數是度，并補全折線統計圖；（2）根據調查情況，班主任決定在閱讀中外名著本數為5本和8本的學生中任選兩名學生進行交流，請用樹狀圖或表格求出這兩名學生閱讀的本數均為8本的概率．24．（本小題滿分10分）如圖1，?OABC的邊OC在y軸的正半軸上，OC=3，A（2，1），反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點B．（1）求點B的坐標和反比例函數的關系式；（2）如圖2，將線段OA延長交y=（x＞0）的圖象于點D，過B，D的直線分別交x軸、y軸于E，F兩點，①求直線BD的解析式；②求線段ED的長度．25．（本小題滿分10分）定義：若以一條線段為對角線作正方形，則稱該正方形為這條線段的“對角線正方形”．例如，圖①中正方形ABCD即為線段BD的“對角線正方形”．如圖②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，點P從點C出發，沿折線CA﹣AB以5cm/s的速度運動，當點P與點B不重合時，作線段PB的“對角線正方形”，設點P的運動時間為t（s），線段PB的“對角線正方形”的面積為S（cm2）．（1）如圖③，借助虛線的小正方形網格，畫出線段AB的“對角線正方形”．（2）當線段PB的“對角線正方形”有兩邊同時落在△ABC的邊上時，求t的值．（3）當點P沿折線CA﹣AB運動時，求S與t之間的函數關系式．（4）在整個運動過程中，當線段PB的“對角線正方形”至少有一個頂點落在∠A的平分線上時，直接寫出t的值．圖④圖④26．（本小題滿分12分）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，cosA=，D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，聯結DE，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F，聯結EF．（1）如圖1，當DE⊥AC時，求EF的長；（2）如圖2，當點E在AC邊上移動時，∠DFE的正切值是否會發生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值；（3）如圖3，聯結CD交EF于點Q，當△CQF是等腰三角形時，請直接寫出BF的長．27．（本小題滿分12分）如圖1，拋物線y=ax2+bx+經過A（1，0），B（7，0）兩點，交y軸于D點，以AB為邊在x軸上方作等邊三角形ABC．（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸上方的拋物線上是否存在點M，是S△ABM=S△ABC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，E是線段AC上的動點，F是線段BC上的動點，AF與BE相交于點P．①若CE=BF，試猜想AF與BE的數量關系及∠APB的度數，并說明理由；②若AF=BE，當點E由A運動到C時，請直接寫出點P經過的路徑長．參考答案和評分標準一、選擇1.B2.A3.A4.D5.B6.C7.C8.D9.C10.D11.C12.C9.解：作BM⊥DE于M．設DE=x，在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，∴DA=x≈1.7x，在Rt△ABC中，BC：AC=1：3，BC=9，∴AC=27，∵四邊形BCDM是矩形，∴BM=CD=1.7x+27，DM=BC=9，在Rt△BEM中，tan∠EBM=，∴=0.4，∴x=60，∴DE=60（m），11．解：如圖，過點A′作A′D⊥x軸與點D；設A′D=λ，OD=μ；∵四邊形ABCO為矩形，∴∠OAB=∠OCB=90°；四邊形ABA′D為梯形；設AB=OC=γ，BC=AO=ρ；∵OB=，tan∠BOC=，∴，解得：γ=2，ρ=1；由題意得：A′O=AO=1；△ABO≌△A′BO；由勾股定理得：λ2+μ2=1①，由面積公式得：②；聯立①②并解得：λ=，μ=．故答案為（，）．12.解：∵直線l1：y=﹣3x+3交x軸于點A，交y軸于點B，∴A（1，0），B（0，3），∵點A、E關于y軸對稱，∴E（﹣1，0）．∵直線l2：y=﹣3x+9交x軸于點D，過點B作x軸的平行線交l2于點C，∴D（3，0），C點縱坐標與B點縱坐標相同都是3，把y=3代入y=﹣3x+9，得3=﹣3x+9，解得x=2，∴C（2，3）．∵拋物線y=ax2+bx+c過E、B、C三點，∴，解得，∴y=﹣x2+2x+3．①∵拋物線y=ax2+bx+c過E（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正確；②∵a=﹣1，b=2，c=3，∴2a+b+c=﹣2+2+3=3≠5，故②錯誤；③∵拋物線過B（0，3），C（2，3）兩點，∴對稱軸是直線x=1，∴拋物線關于直線x=1對稱，故③正確；④∵b=2，c=3，拋物線過C（2，3）點，∴拋物線過點（b，c），故④正確；⑤∵直線l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴S四邊形ABCD=BC?OB=2×3=6≠5，故⑤錯誤．綜上可知，正確的結論有3個．二．填空13.2（a﹣2）214.15.316.﹣．17.2≤k≤18.2﹣217．解：反比例函數和三角形有交點的第一個臨界點是交點為A，∵過點A（1，2）的反比例函數解析式為y=，∴k≥2．隨著k值的增大，反比例函數的圖象必須和線段BC有交點才能滿足題意，經過B（2，5），C（6，1）的直線解析式為y=﹣x+7，，得x2﹣7x+k=0根據△≥0，得k≤綜上可知2≤k≤．18.解：在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠1=∠2，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠ADF+∠3=∠ADC=90°，∴∠1+∠ADF=90°，∴∠AFD=180°﹣90°=90°，取AD的中點O，連接OF、OC，則OF=DO=AD=2，在Rt△ODC中，OC===2，根據三角形的三邊關系，OF+CF＞OC，∴當O、F、C三點共線時，CF的長度最小，最小值=OC﹣OF=2﹣2．故答案為：2﹣2．三、解答題19.解：原式=1﹣3+2﹣2+...............4分=3﹣4．.....................6分20.解：原式=?.........................1分=2（a﹣1）...........................3分=2a﹣2．............................4分當a=2時原式=2×2-2=2.....................6分21.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=90°，..........1分∴∠AEB=∠DAE，............2分∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°，.............3分在△ABE和△DFA中∵∴△ABE≌△DFA，...........5分∴AB=DF．.................6分22.解：設裁掉的正方形的邊長為xdm，...............1分由題意可得................5分整理得解得，（舍去）.................7分答：裁掉的正方形的邊長為2dm時底面積12dm2..............8分23.解：（1）該班學生共有30÷60%=50名，圓心角的度數是15÷50×360°=108°，50﹣2﹣30﹣15=3（人）...................2分補全如圖：.................4分（2）因為閱讀5本的有2人，閱讀8本的有3人，所以可設A、B表示閱讀5本的學生，C、D、E表示閱讀8本的學生，畫樹狀圖得：............6分∵共有20種等可能的結果，抽得這兩名學生閱讀的本數均為8本的有6種情況，∴P（兩名學生都讀8本）=6÷20=．................8分24.解：（1）如圖1，過點A作AP⊥x軸于點P，則AP=1，OP=2．又∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB=OC=3，∴B（2，4）．.............................2分∵反比例函數y=（x＞0）的圖象經過的B，∴4=．∴k=8．∴反比例函數的關系式為y=．................4分（2）①點A（2，1），∴直線OA的解析式為y=x（Ⅰ）．.............5分∵點D在反比例y=（Ⅱ）函數圖象上，聯立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或..................6分∵點D在第一象限，∴D（4，2）．由B（2，4），點D（4，2），∴直線BD的解析式為y=﹣x+6．.................7分②如圖2，把y=0代入y=﹣x+6，解得x=6．∴E（6，0），....................8分過點D作DH⊥x軸于H，∵D（4，2），∴DH=2，......................9分HE=6﹣4=2，由勾股定理可得：ED==2．...................10分25.解：（1）線段AB的“對角線正方形”如圖所示：....................2分（2）如圖4中，當線段PB的“對角線正方形”有兩邊同時落在△ABC的邊上時，設正方形的邊長為x，∵PE∥AB，∴=，..................3分∴=，解得x=，...................4分∴PE=，CE=4﹣=，∴PC==，..............5分∴t==s；...................7分（3）①如圖5中，當D、E在∠BAC的平分線上時，易知AB=AP=3，PC=2，∴t=s．.............8分②當點P運動到點A時，滿足條件，此時t=1s．................9分③如圖6中，當點E在∠BAC的角平分線上時，作EH⊥BC于H．易知EB平分∠ABC，∴點E是△ABC的內心，四邊形EOBH是正方形，OB=EH=EO=BH==1（直角三角形內切圓半徑公式），∴PB=2OB=2，∴AP=1，∴t=s，.....................10分綜上所述，在整個運動過程中，當線段PB的“對角線正方形”至少有一個頂點落在∠CAB的平分線上時，t的值為s或1s或s；26.解：（1）∵∠ACB=90°，∴，∵AC=8，∴AB=10，........................1分∵D是AB邊的中點，∴，∵DE⊥AC，∴∠DEA=∠DEC=90°，∴，∴AE=4，∴CE=8﹣4=4，∵在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2，∴DE=3，∵DF⊥DE，∴∠FDE=90°，又∵∠ACB=90°，∴四邊形DECF是矩形，.................2分∴DF=EC=4，∵在Rt△EDF中，DF2+DE2=EF2，∴EF=5........................3分（2）不變....................4分如圖2，過點D作DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分別為點H、G，由（1）可得DH=3，DG=4，......................5分∵DH⊥AC，DG⊥BC，∴∠DHC=∠DGC=90°又∵∠ACB=90°，∴四邊形DHCG是矩形，.........................6分∴∠HDG=90°，∵∠FDE=90°，∴∠HDG﹣∠HDF=∠EDF﹣∠HDF，即∠EDH=∠FDG，又∵∠DHE=∠DGF=90°∴△EDH∽△FDG，∴，......................7分∵∠FDE=90°，∴，.....................8分（3）①當QF=QC時，∴∠QFC=∠QCF，∵∠EDF+∠ECF=180°，∴點D，E，C，F四點共圓，注：正常應用角度轉換，而不是用四點共圓.∴∠ECQ=∠DFE，∠DFE+∠QFC=∠ECQ+∠QCF=∠ACB=90°，即∠DFC=90°，又∵∠ACB=90°，D是AB的中點，∴，∴，................10分②當FQ=FC時，∴∠BCD=∠CQF，∵點D是AB的中點，∴BD=CD=AB=5，∴∠BDC=∠BCD，∴∠BCD=∠FCQ，∠BDC=∠CFQ，∴△FQC∽△DCB，由①知，點D，E，C，F四點共圓，∴∠DEF=∠DCF，∵∠DQE=∠FQC，∴△FQC∽△DEQ，即：△FQC∽△DEQ∽△DCB∵在Rt△EDF中，，∴設DE=3k，則DF=4k，EF=5k，∵∠DEF=∠DCF=∠CQF=∠DQE，∴DE=DQ=3k，∴CQ=5﹣3k，∵△DEQ∽△DCB，∴，∴，∴，∵△FQC∽△DCB，∴，∴，解得，∴，∴，..........................11分③當CF=CQ時，如圖3，∴∠BCD=∠CQF，由②知，CD=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵△EDQ∽△BDK，在BC邊上截取BK=BD=5，過點D作DH⊥BC于H，∴DH=AC=4，BH=BC=3，由勾股定理得，同②的方法得，△CFQ∽△EDQ，∴設DE=3m，則EQ=3m，EF=5m，∴FQ=2m，∵△EDQ∽△BDK，∴，∴DQ=m，∴CQ=FC=5﹣m，∵△CQF∽△BDK，∴，∴，解得m=，∴，∴．.........................12分即：△CQF是等腰三角形時，BF的長為3或或．27.解：（