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第五章時間序列的模型識別

前面四章我們探討了時間序列的平穩性問題、可逆性問題，關于線性平穩時間序列模型，引入了自相關系數和偏自相關系數，由此得到ARMA(p,q)統計特性。從本章開始，我們將運用數據開始進行時間序列的建模工作，其工作流程如下：

1.模型識別

用相關圖和偏相關圖識別模型

形式（確定參數p,q）2.參數估計對初步選取的模型進行參數估計

3.診斷與檢驗

包括參數的顯著性檢驗和

殘差的隨機性檢驗

不可取模型是否可取可取中止

圖5.1建立時間序列模型流程圖

在ARMA(p,q)的建模過程中，對于階數(p,q)的確定，是建模中比較重要的步驟，也是比較困難的。需要說明的是，模型的識別和估計過程必然會交織，所以，我們可以先估計一個比我們希望找到的階數更高的模型，然后決定哪些方面可能被簡化。在這里我們使用估計過程去完成一部分模型識別，但是這樣得到的模型識別必然是不確切的，而且在模型識別階段對于有關問題沒有確切的公式可以利用，初步識別可以我們提供有關模型類型的試探性的考慮。

對于線性平穩時間序列模型來說，模型的識別問題就是確定ARMA(p,q)過程的階數，從而判定模型的具體類別，為我們下一步進行模型的參數估計做準備。所采用的基本方法主要是依據樣本的自相關系數（ACF）和偏自相關系數（PACF）初步判定其階數，假使利用這種方法無法明確判定模型的類別，就需要借助諸如AIC、BIC等信息準則。我們分別給出幾種定階方法，它們分別是（1）利用時間序列的相關特性，這是識別模型的基本理論依據。假使樣本的自相關系數（ACF）在滯后q+1階時突然截斷，即在q處截尾，那么我們可以判定該序列為MA(q)序列。同樣的道理，假使樣本的偏自相關系數（PACF）在p處截尾，那么我們可以判定該序列為AR(p)序列。假使ACF和PACF都不截尾，只是按指數衰減為零，則應判定該序列為ARMA(p,q)序列，此時階次尚需作進一步的判斷；（2）利用數理統計方法檢驗高階模型新增加的參數是否近似為零，根據模型參數的置信區間是否含零來確定模型階次，檢驗模型殘差的相關特性等；（3）利用信息準則，確定一個與模型階數有關

1

的準則函數，既考慮模型對原始觀測值的接近程度，又考慮模型中所含待定參數的個數，最終選取使該函數達到最小值的階數，常用的該類準則有AIC、BIC、FPE等。實際應用中，往往是幾種方法交織使用，然后選擇最為適合的階數(p,q)作為待建模型的階數。

§5.1自相關和偏自相關系數法

在平穩時間序列分析中，最關鍵的過程就是利用數據去識別和建模，根據第三章探討的內容，一個比較直觀的方法，就是通過觀測自相關系數（ACF）和偏自相關系數（PACF）可以對擬合模型有一個初步的識別，這是由于從理論上說，平穩AR、MA和ARMA模型的ACF和PACF有如下特性：

AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型（序列）

自相關系數（ACF）拖尾q階截尾拖尾偏自相關系數（PACF）p階截尾拖尾拖尾但是，在實際中ACF和PACF是未知的，對于給定的時間序列觀測值x1,x2,,xT，我們

?對其進行估計。然而由于???k?和偏自相關系數??k?和需要使用樣本的自相關系數??kk??kk????均是隨機變量，對于相應的模型不可能具有嚴格的“截尾性〞，只能浮現出在某步之后

??的“截尾性〞來判斷???和???的??和??圍繞零值上、下波動，因此，我們需要借助??kkkkkk?k?和截尾性，進而由此可以給出模型的初步識別。首先，我們需要給出樣本的自相關系數???的定義。偏自相關系數?kk設平穩時間序列?Xt?的一個樣本x1,??,xT。則樣本自協方差系數定義為

1T?k??k???xj?x??xj?k?x?,1?k?T?1Tj?1???k???k,1?k?T?1(5.1)

1T?k?是?Xt?的自協方差系數??k?的估其中x??xj為樣本均值，則樣本自協方差系數??Tj?1計。樣本自相關系數定義為

?k???k??0,k?T?1?是?Xt?的自相關系數??k?的估計。

(5.2)

作為?Xt?的自協方差系數??k?的估計，根據數理統計知識，樣本自協方差系數還可以寫為

2

1T?k??k???xj?x??xj?k?x?,1?k?T?1

T?kj?1???k???k,1?k?T?1(5.3)

在上述兩種估計中，當樣本容量T很大，而k的絕對值較小時，上述兩種估計值相差不大，其中由(5.1)定義的第一種估計值的絕對值較小。根據前面章節的探討，由于AR(p)，MA(q)或者ARMA(p,q)模型的自協方差系數??k?都是以負指數階收斂到零，所以在對平穩時間序列的數據擬合AR(p)，MA(q)或者ARMA(p,q)模型時，希望實際計算的樣本自

?k?能以很快的速度收斂。因此，我們一般選擇由(5.1)定義的第一種估計值作協方差系數??為??k?的點估計。

?k?的值，定義樣本偏自相關根據第三章偏自相關系數的計算，利用樣本自相關系數???如下：系數?kk???D??kk?k,k?1,2,?D其中

,T

(5.4)

??D1?1??1?1?k?1??k?2?1??,Dk1?1??1?1?1??2??k?

?k?1??k?2??k?1??k?2??k?的統計性質，我們將在下一章給予探討。關于樣本的自相關系數???也滿足Bartlett公式，即當樣本容量T充分大時，Quenouille證明，?kk???~N?0,1T??kk這樣根據正態分布的性質，我們有

（5.5）

1???（5.6）P?????68.3%kkT??2???（5.7）P?????95.5%kkT??

這樣，關于偏自相關系數??kk?的截尾性的判斷，轉化為利用上述性質（5.6）或者（5.7），

?的截尾性。可以判斷?具體方法為對于每一個p>0，考察?p?1,p?1，…，?p?2,p?2，?p?M,p?Mkk??3

??中落入?kk1??2的比例是否占總數M的68.3％或95.5％。或?kkTT?都明顯地不為零，而當p?p時，一般地，我們取M?T。假使p?p0之前?0kk?p?1,p?1，?p?2,p?2，…，?p?M,p?M中滿足不等式

000000???kk1??2或?kkTT的個數占總數M的68.3％或95.5％，則可以認定??kk?在p0處截尾，由此可以初步判定序列{Xt}為AR(p0)模型。

?k?，由其次章的Bartlett公式，對于q?0，???k?滿足對于樣本的自相關系數???1?k~N?0,??T?q??2??j???1?2???j?1???（5.8）

?k?也滿足進一步地，當樣本容量T充分大時，???k~N?0,1T??

（5.9）

?q?1，??q?2，…，??q?M中落入類似于（5.6）或者（5.7）式，對于每一個q?0，檢查??k??12?k?或者?中的比例是否占總數M的68.3％或95.5％左右。假使在q0之前，

TT000?k都明顯不為零，而當q?q0時，??q?1，??q?2，…，??q?M中滿足上述不等式的個數達?到比例，則判斷??k?在q0處截尾。初步認為序列{Xt}為MA(q0)模型。

?，得到ARMA模型?k?和偏自相關系數?至此，我們可以利用樣本的自相關系數??kk階數的初步判定方法。具體做法如下：

???k?在最初的q階明顯的大于2倍標準差范圍，即21(1)假使樣本自相關系數???T，而

??k都落在2倍標準差范圍之內，并且由非零樣本自相關后幾乎95%的樣本自相關系數?系數衰減為在零附近小值波動的過程十分突然，這時尋常視為自相關系數??k?截尾，既可以初步判定相應的時間序列為MA(q)模型

?假使滿足上述性質，則可以初步判定相應的時間序列為(2)同樣，樣本偏自相關系數?kk

4

??

AR(p)模型。

?，假使均有超過5%的值落入2倍?k?和樣本偏自相關系數?(3)對于樣本自相關系數??kk標準差范圍之外，或者由非零樣本自相關系數和樣本偏自相關系數衰減為在零附近小值

波動的過程十分緩慢，這時都視為不戴尾的，我們將初步判定時間序列為ARMA模型，那么這樣的判斷往往會失效，由于這時ARMA(p,q)模型的階數p和q很難確定。總之，基于樣本自相關和偏自相關系數的定階法只是一種初步定階方法，可在建模開始時加以粗略地估計。

例5.1綠頭蒼蠅數據的時間序列。具有均衡性別比例數目固定的成年綠頭蒼蠅保存在一個盒子中，每天給一定數量的食物，每天對綠頭蒼蠅的總體計數，共得到T=82個觀測值。經過平穩性處理后計算其基于樣本自相關和偏自相關系數，見表5.1

表5.1綠頭蒼蠅的樣本ACF和PACF

樣本自相關系數樣本偏自相關系數??k?k?k??kk0.73-0.09-0.040.04-0.0