矩陣的秩及其求法矩陣秩求法現在是1頁\一共有17頁\編輯于星期四21.

k

階子式定義1

設在A中任取k行k列交叉稱為A的一個k階子式。階行列式，處元素按原相對位置組成的一、矩陣的秩的概念現在是2頁\一共有17頁\編輯于星期四3設，例如矩陣A的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構成的二階子式為而為A的一個三階子式。顯然，矩陣A共有個k

階子式?，F在是3頁\一共有17頁\編輯于星期四42.

矩陣的秩設，有r

階子式不為0，任何r+1階記作R(A)或秩(A)。

子式(如果存在的話)全為0,定義2稱r為矩陣A的秩，現在是4頁\一共有17頁\編輯于星期四5規定：零矩陣的秩為0.注意：(1)

如R(A)=r，則A

中至少有一個r

階子式所有r+1

階子式為0，且更高階子式均為0，r是A

中非零的子式的最高階數.(2)

由行列式的性質，(3)R(A)≤m,R(A)≤n,0≤R(A)≤min{m,n}.(4)如果An×n

,且則R(A)=n.反之，如R(A)=n,則因此，方陣A

可逆的充分必要條件是R(A)=n.現在是5頁\一共有17頁\編輯于星期四6二、矩陣秩的求法1、子式判別法(定義)。

例1設為階梯形矩陣，求R(B)。解，由于存在一個二階子式不為0，而任何三階子式全為0，則R(B)=2.結論：階梯形矩陣的秩=臺階數?，F在是6頁\一共有17頁\編輯于星期四7例如一般地，行階梯形矩陣的秩等于其“臺階數”——非零行的行數?，F在是7頁\一共有17頁\編輯于星期四8如果求a.解或例2

設現在是8頁\一共有17頁\編輯于星期四9則例3現在是9頁\一共有17頁\編輯于星期四102、用初等變換法求矩陣的秩定理2

矩陣初等變換不改變矩陣的秩。

即則說明：只改變子行列式的符號。是A中對應子式的k倍。是行列式運算的性質。由于初等變換不改變矩陣的秩，而任一都等價于行階梯矩陣。其秩等于它的非零行的行數，即為所以可以用初等變換化A為階梯矩陣來求A的秩?，F在是10頁\一共有17頁\編輯于星期四11例4解R(A)=2

，

求現在是11頁\一共有17頁\編輯于星期四12例5現在是12頁\一共有17頁\編輯于星期四13三、滿秩矩陣稱A是滿秩陣，（非奇異矩陣）稱A是降秩陣，（奇異矩陣）可見：A為n階方陣時，定義3現在是13頁\一共有17頁\編輯于星期四14定理3設A是滿秩方陣，則存在初等方陣使得對于滿秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣E,又根據初等陣的作用：每對A施行一次初等行變換，相當于用一個對應的初等陣左乘A,由此得到下面的定理現在是14頁\一共有17頁\編輯于星期四15例如它的行最簡形是n階單位陣E.對于滿秩矩陣A，A為滿秩方陣。現在是15頁\一共有17頁\編輯于星期四16定理5

R(AB)R(A),R(AB)R(B),即R(AB)min{R(A)，R(B)}。關于矩陣的秩的一些重要結論：性質1設A是矩陣，B是矩陣，性質2如果AB=0則性質3

如果R(A)=n,如果

AB=0則B=0。性質4

設A,B均為

矩陣，則現在是16頁\一共有17頁\編輯于星期四17設A為n階矩陣，證明R(A+E)+R(A-E)≥n證：∵(A+E)+(E-A)=2E∴R