微積分課程之不定積分課件大全1第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四第一節不定積分的概念與性質原函數與不定積分的概念基本積分公式不定積分的性質小結思考題作業

indefiniteintegral第四章不定積分2第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四一、原函數與不定積分的概念幾何問題解例設曲線方程上任一點的切線斜率都等于切點處橫坐標的兩倍,求曲線的方程.設曲線方程為滿足此條件的函數有無窮多個,如等都是.一般,所求曲線方程為C為任意常數.不定積分的概念與性質3第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四定義1例1.原函數如果在區間I上,則稱或原函數.一個或由知是原函數.也是的原函數,其中為任意常數.不定積分的概念與性質4第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四一般,的原函數(C為任意常數).因一個函數如果有原函數,就有無窮多個.在區間I上的一個在區間I上的任一原函數都其中C為某一常數.則定理定理表明:的一整族函數形如是f(x)的全部原函數.原函數,

結論

的形式,不定積分的概念與性質可表為5第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四故證的另一個原函數,則又只要找到f(x)的一個原函數,就知道它的全部原函數.在區間I上的一個原函數,則f(x)在區間I上的任一原函數都可表為其中C為某一常數.定理的形式,要證常數因為不定積分的概念與性質導數恒為零的函數必為常數某個常數6第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四積分變量積分常數被積函數定義2被積表達式2.不定積分不定積分.(1)定義全部原函數的一般表達式稱為函數f(x)的

總和(summa)記為不定積分的概念與性質積分號7第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四1.被積函數是原函數的導數,被積表達式是原函數的微分.2.不定積分表示那些導數等于被積函數的所或說其微分等于被積表達式的所有函數.有函數.因此絕不能漏寫積分常數C.3.

求已知函數的原函數或不定積分的運算稱

為積分運算,它是微分運算的逆運算.不定積分的概念與性質8第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四例求解解例

?不定積分的概念與性質9第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四(2)不定積分的幾何意義積分曲線稱為的積分曲線.的圖形向平行于y軸的方向任意上下移動,得出的無窮多條曲線,稱為的圖形是平面的一條曲線,是將曲線族.不定積分的概念與性質10第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四

由于不論常數C取何值,同一x處其導數等于f(x),各切線相互平行.有積分曲線族即x不定積分的概念與性質11第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四不定積分的概念與性質解故所求曲線方程為(3)積分常數的確定求通過點且其切線斜率為2x曲線.例

在求原函數的實際問題中,有時要從全部原函數中確定出所需要的具有某特性的一個原函數,這時應根據這個特性確定常數C的值,從而找出需要的原函數.的曲線族為有12第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四解例所以不定積分的概念與性質13第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四（原函數存在定理）連續函數一定有原函數.則它必有原函數.(4)原函數存在問題定理2哪些函數有原函數?又如何求其原函數?不定積分的概念與性質原函數是否必為連續函數?14第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四

由不定積分的定義

結論微分運算與求不定積分的運算是如(1)或或互逆的.二、不定積分的性質不定積分的概念與性質15第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四證等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數之和的情況）(2)(2)，(3)稱為線性性質.

思考:k=0,等式是否成立?(3)不定積分的概念與性質16第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四實例啟示能否根據求導公式得出積分公式結論

要判斷一個不定積分公式是否正確,只要將右端的函數求導,看是否等于被積函數.求導公式?積分公式.?三、基本積分公式不定積分的概念與性質積分運算和微分運算是互逆的，17第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四基本積分公式(k是常數)說明：簡寫為不定積分的概念與性質18第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四不定積分的概念與性質19第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四熟記不定積分的概念與性質20第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四例求積分解出一些簡單函數的不定積分,稱為利用不定積分的性質和基本積分公式,可求由公式直接積分法.不定積分的概念與性質21第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四例求積分解不定積分的概念與性質22第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四例求積分解不定積分的概念與性質23第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四例求積分解

稱為分項積分法.分項積分法

利用線性性質計算積分,上兩例是將被積函數作恒等變形,不定積分的概念與性質24第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四例求積分解不定積分的概念與性質

以上幾例中的被積函數都需要進行恒等變形,才能使用基本積分表.25第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四解例

不定積分的概念與性質26第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四解所求曲線方程為不定積分的概念與性質已知一曲線y=f(x)在點(x,f(x))處的切線例斜率為且此曲線與y軸的交點為(0,5),求此曲線的方程.27第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期四練習不定積分的概念與性質28第28頁，共30頁，2023年，2月