新高考數(shù)學一輪復習《立體幾何小題綜合練》課時練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A，B的一點，則下面結論中錯誤的是()A.AE⊥CEB.BE⊥DEC.DE⊥平面BCED.平面ADE⊥平面BCELISTNUMOutlineDefault\l3《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，如圖所示，在直角圓錐P－ABC中，AB為底面圓的直徑，C在底面圓周上且為弧AB的中點，則異面直線PA與BC所成的角的大小為()A.30°B.45°C.60°D.90°LISTNUMOutlineDefault\l3正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E是棱DD1的中點，則平面AC1E截該正方體所得的截面面積為()A.5B.2eq\r(5)C.4eq\r(6)D.2eq\r(6)LISTNUMOutlineDefault\l3設α，β是兩個不同平面，m，n是兩條不同直線，下列說法正確的是()A.若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α∥βB.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，則α⊥βD.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m∥nLISTNUMOutlineDefault\l3三個平面將空間分成n個部分，則n不可能是()A.5B.6C.7D.8LISTNUMOutlineDefault\l3已知在四面體ABCD中，AC＝3，其余棱長均為2，則該四面體外接球的表面積是()A.eq\f(28π,3)B.8πC.12πD.32πLISTNUMOutlineDefault\l3棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C，M，D1作正方體的截面，則截面的面積為()A.2B.4C.eq\f(9,2)D.5LISTNUMOutlineDefault\l3設正四面體ABCD的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()A.eq\f(1,4)a2B.eq\f(1,2)a2C.a2D.eq\f(\r(3),4)a2LISTNUMOutlineDefault\l3已知三棱錐A－BCD的外接球為球O，△BCD是邊長為3eq\r(3)的正三角形，若三棱錐A－BCD體積的最大值為eq\f(81\r(3),4)，則球O的體積為()A.eq\f(500,3)πB.eq\f(256,3)πC.100πD.64πLISTNUMOutlineDefault\l3平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)二 、多選題LISTNUMOutlineDefault\l3(多選)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為6，M，N為底面A1B1C1D1內兩點，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋λeq\o(A1B1,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D1,\s\up6(→))(λ∈[0,1])，異面直線BN與CC1所成角為30°，則下列結論正確的是()A.CM⊥BDB.直線MN與DD1為異面直線C.線段MN長度的最小值為3eq\r(2)－2eq\r(3)D.三棱錐B－A1MN的體積可能取值為16LISTNUMOutlineDefault\l3(多選)已知正六棱錐的側面與底面所成的銳二面角θ＝30°，側棱長為2eq\r(5)米，則()A.正六棱錐的底面邊長為2米B.正六棱錐的側棱與底面所成角的正切值為eq\f(1,2)C.正六棱錐的側面積為48平方米D.正六棱錐的體積為16eq\r(3)立方米三 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC=2CD=2AD=2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉一周，則所得的幾何體的表面積為________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知正四棱錐S－ABCD的側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成的角的余弦值為________.LISTNUMOutlineDefault\l3圓臺的軸截面上、下底邊邊長分別為2和4，母線長為2，則圓臺的體積是________.LISTNUMOutlineDefault\l3在三棱錐P－ABC中，AB＝2eq\r(6)，BC＝1，AC＝5，側面PAB是以P為直角頂點的直角三角形，若平面PAB⊥平面ABC，則該三棱錐體積的最大值為________.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：因為四邊形ABCD是圓柱的軸截面，則線段AB是直徑，BC，AD都是母線，又E是底面圓周上異于A，B的一點，于是得AE⊥BE，而BC⊥平面ABE，AE?平面ABE，則BC⊥AE，因為BC∩BE＝B，BC，BE?平面BCE，則AE⊥平面BCE，CE?平面BCE，因此得AE⊥CE，同理，BE⊥DE，A，B正確；點D不在底面ABE內，而直線AE在底面ABE內，即AE，DE是兩條不同直線，若DE⊥平面BCE，因為AE⊥平面BCE，與過一點有且只有一條直線垂直于已知平面矛盾，C不正確；因為AE⊥平面BCE，而AE?平面ADE，于是平面ADE⊥平面BCE，D正確.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：如圖，設底面圓的圓心為O，分別取AC，PC的中點D，E，連接PO，CO，OD，OE，DE，因為△APB是等腰直角三角形，∠APB＝90°，設圓錐的底面圓半徑OA＝1，則PA＝eq\r(2)，PC＝eq\r(2)，則DE＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(2),2)，且DE∥PA，又∠ACB＝90°，且AC＝BC＝eq\r(2)，而OD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(2),2)，且OD∥BC，所以∠EDO為異面直線PA與BC所成的角或其補角，在Rt△PCO中，因為E為PC的中點，所以OE＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(2),2)，所以△DOE是正三角形，即異面直線PA與BC所成的角為60°.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：D解析：如圖所示，設F為BB1的中點，連接AF，F(xiàn)C1，EF，設G為CC1的中點，連接EG，GB，由EG∥AB且EG＝AB，得四邊形ABGE是平行四邊形，則AE∥BG且AE＝BG，又BG∥C1F且BG＝C1F，得AE∥C1F且AE＝C1F，則A，E，C1，F(xiàn)共面，故平面AC1E截該正方體所得的截面為平面AFC1E.又正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，AF＝FC1＝EC1＝EA，AC1＝2eq\r(3)，EF＝2eq\r(2)，EF⊥AC1，故＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(3)＝2eq\r(6).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C.解析：如圖，以正方體為例，A項，令AB＝m，BC＝n，平面BCC1B1＝α，平面ADD1A1與平面A1B1C1D1都可以是平面β，α與β可能平行也可能相交，A錯；B項，令平面BCC1B1＝α，平面A1B1C1D1＝β，AB＝m，BB1＝n，此時n與β相交，B錯；C項，m∥α，由線面平行的性質定理，α內有直線l∥m，m∥n，則n∥l，n⊥β，則l⊥β，則α⊥β，C正確；D項，令平面BCC1B1＝α，平面A1B1C1D1＝β，AB＝m，BB1＝n，但m與n相交，不平行，D錯.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A解析：按照三個平面中平行的個數(shù)來分類：(1)三個平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成4部分；(2)兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖2，可將空間分成6部分；圖1圖2(3)三個平面中沒有平行的平面：①三個平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成7部分；②三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖4，可將空間分成8部分；圖3圖4③三個平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成6部分.圖5綜上，n可以為4,6,7,8，不可能為5.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A解析：取BD的中點E，連接AE，CE，在△ACE中，AE＝CE＝eq\r(3)，AC＝3，可得∠AEC＝eq\f(2π,3).四面體外接球的球心必在過△ABD和△CBD的外接圓圓心且與所在面垂直的直線上，設△CBD，△ABD外接圓的圓心分別為O1，O2，作OO1⊥平面CBD，OO2⊥平面ABD，則O即為四面體ABCD外接球的球心，連接OE，如圖，在Rt△OO1E中，O1E＝eq\f(\r(3),3)，∠OEO1＝eq\f(π,3)，所以OO1＝1，在Rt△OO1C中，O1C＝eq\f(2\r(3),3)，所以OC2＝12＋(eq\f(2\r(3),3))2＝eq\f(7,3)，所以四面體ABCD外接球的表面積為4π×eq\f(7,3)＝eq\f(28π,3).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C.解析：如圖，由面面平行的性質知截面與平面ABB1A1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求MN=eq\r(2)，CD1=2eq\r(2)，MD1=NC=eq\r(5)，所以此截面的面積S=eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2),2)))2)=eq\f(9,2).]LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A解析：由題意，正四面體ABCD如圖所示，因為E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，又因為正四面體ABCD的棱長都為a，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝60°，故eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A解析：設三棱錐A－BCD的高為h，當球心O在三棱錐A－BCD的高線上時，三棱錐A－BCD的體積最大，此時eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3eq\r(3)×3eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)h＝eq\f(81\r(3),4)，解得h＝9.設球O的半徑為R，如圖，AM是正三棱錐的高，BM＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝3，OB＝OA＝R，則(9－R)2＋32＝R2，解得R＝5，所以球O的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A.解析：如圖所示，設平面CB1D1∩平面ABCD=m1，因為α∥平面CB1D1，所以m1∥m，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1，所以B1D1∥m1，故B1D1∥m.因為平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1，同理可證CD1∥n.故m，n所成角即直線B1D1與CD1所成角，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).二 、多選題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：AC.解析：由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋λeq\o(A1B1,\s\up6(→))＋λeq\o(A1D1,\s\up6(→))得eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＝λ(eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝λeq\o(A1C1,\s\up6(→))，0≤λ≤1，所以點M的軌跡是線段A1C1，因為BB1∥CC1，直線BN與CC1所成角為30°，所以∠B1BN＝30°，所以BN是以BB1為軸，B為頂點，頂角為60°的圓錐的母線，該圓錐側面與上底面A1B1C1D1的交線為以B1為圓心，BB1tan30°＝2eq\r(3)為半徑的圓在正方形A1B1C1D1內的圓弧，即為點N的軌跡.因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，則AA1⊥BD，又BD⊥AC，AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面ACC1A1，所以BD⊥平面AA1C1C，而CM?平面AA1C1C，所以BD⊥CM，A正確；在平面A1B1C1D1內作直線與線段A1C1，和N點軌跡圓弧分別交于點M，N，則D1D與MN相交，B錯；B1到直線A1C1的距離是eq\f(\r(2),2)×6＝3eq\r(2)，所以MN的最小值為3eq\r(2)－2eq\r(3)，C正確；設N點軌跡圓弧交B1C1于點P，在正方形A1B1C1D1中知P到直線A1C1的距離等于N到A1M距離的最大值，此最大值為eq\f(\r(2),2)×(6－2eq\r(3))＝3eq\r(2)－eq\r(6)，因此S△A1NM的最大值為eq\f(1,2)×(3eq\r(2)－eq\r(6))×6eq\r(2)＝18－6eq\r(3)，三棱錐B－A1MN體積的最大值為eq\f(1,3)×(18－6eq\r(3))×6＝12(3－eq\r(3))<16，D錯.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：BCD.解析：由題設，可得如圖所示的正六棱錐.G為AB的中點，O為底面中心，則∠PGO＝θ＝30°，且PA＝PB＝PC＝PD＝PE＝PF＝2eq\r(5)，設PO＝h，則PG＝2h，若底面邊長為r，則OA＝r，AG＝eq\f(r,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PO2＋OA2＝h2＋r2＝20，,PG2＋AG2＝4h2＋\f(r2,4)＝20，))解得PO＝h＝2，且r＝4，∴由正六邊形的性質知，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝eq\f(AD,2)＝4，A錯誤；正六棱錐的側棱與底面所成角的正切值為eq\f(1,2)，B正確；S△PAB＝eq\f(1,2)PG·AB＝8，故側面積為48平方米，C正確；由S正六邊形ABCDEF＝6×eq\f(1,2)OG·AB＝24eq\r(3)，故此正六棱錐的體積V＝eq\f(1,3)PO·S正六邊形ABCDEF＝16eq\r(3)，D正確.三 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：(eq\r(2)＋3)π.解析：根據(jù)題意可知，該幾何體的上半部分為圓錐(底面半徑為1，高為1)，下半部分為圓柱(底面半徑為1，高為1)，如圖所示，則所得幾何體的表面積為圓錐側面積、圓柱的側面積以及圓柱的下底面面積之和，即表面積為π×1×eq\r(12＋12)＋2π×12＋π×1