常微分方程與差分方程第1頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四1、常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程.一、考試內容4、二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡單的非齊次線性微分方程.—————————————————————————————————————3、線性微分方程解的性質及解的結構定理.5、差分與差分方程的概念，差分方程的通解與特解.2、齊次微分方程，一階線性微分方程.7、微分方程的簡單應用.6、一階常系數(shù)線性差分方程.第2頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四1、了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.2、掌握變量可分離的微分方程、齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法.二、考試要求4、了解線性微分方程解的性質及解的結構定理，會解某些簡單的非齊次線性微分方程.—————————————————————————————————————3、會解二階常系數(shù)齊次線性微分方程.5、了解差分與差分方程的概念及其通解與特解等概念.7、會用微分方程求解簡單的經(jīng)濟應用問題.6、了解一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法.第3頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四—————————————————————————————————————三、真題選講例1：已知是微分方程的解，則的表達式為（）.

(B)

(C)(D)例2：設函數(shù)在上可導，，且其反函數(shù)為.若求第4頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例3:設位于第一象限的曲線過點,其上任一點處的法線與軸的交點為，且線段被軸平分.（1）求曲線的方程；（2）已知曲線在上的弧長為，試用表示曲線的弧長.第5頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例4：在坐標平面上，連續(xù)曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.（1）求的方程;（2）當與直線所圍成平面圖形的面積為時，確定的值.第6頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例5：設函數(shù)在上連續(xù).若由曲線，直線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所成的旋轉體體積為，試求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解.第7頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例6：設是一條平面曲線，其上任意一點到坐標原點的距離，恒等于該點處的切線在軸上的截距，且經(jīng)過點，（1）試求曲線的方程;（2）求位于第一象限部分的一條切線，使該切線與以及兩坐標軸所圍圖形的面積最小.第8頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例7：設具有連續(xù)偏導數(shù)，且滿足求所滿足的一階微分方程，并求其通解.例8：設函數(shù)在上連續(xù)，且滿足方程求.第9頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例9：設（是任意常數(shù)）為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，則該方程為——————.例10：設是二階常系數(shù)微分方程滿足初始條件的特解，則當時，函數(shù)的極限（）.（A）不存在（B）等于1（C）等于2（D）等于3第10頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例11：設函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，而滿足方程，求例12（1）驗證函數(shù)

滿足微分方程；（2）利用（1）的結果求冪級數(shù)的和函數(shù)

.第11頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四例13：差分方程的通解為————.例14：已知某商品的需求量和供給量都是價格的函數(shù)：其中和為常數(shù)；價格是時間的函數(shù)且滿足方程（為正的常數(shù)）假設當時價格為1，試求（1）需求量等于供給量時的均衡價格；（2）價格函數(shù)；（3）極限第12頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四—————————————————————————————————————四、課外習題習1：差分方程的通解為————.習2：已知某商品的需求量對價格的彈性,而市場對該商品的最大需求量為1（萬件）.求需求函數(shù).習3：設函數(shù)具有連續(xù)的一階導數(shù)，且滿足，求的表達式.習4：設函數(shù)滿足條件求廣義積分.第13頁，共14頁，2023年，2月20日，星期四習6：設是第一象限內連接點的一段連續(xù)曲線，為該曲線上任意一點，點為在軸上的投影，為坐標原點.若梯形的面積與曲邊三角形的面積之和為求的表達式.習5：設，其中函數(shù)在內滿足