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2023高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽

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嫦娥三號(hào)軟著路軌道設(shè)計(jì)與控制策略

摘要

本文主要為分階段研究嫦娥三號(hào)的軟著陸軌道設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制策略。建立模型一確定近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)速度大小與方向。首先以月球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)計(jì)算的作用力可知地球影響較小，故忽略不計(jì)。然后將嫦娥三號(hào)軟著陸看作拋物線的運(yùn)動(dòng)過程，計(jì)算在最大推力下的減速運(yùn)動(dòng)，求得月面偏移距離為，由此計(jì)算出偏移角度為15.25°。從而得出近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度分別為（34.76°W，44.12°N）和（34.76°E，44.12°S）。最終在軟著陸的橢圓軌道上，由動(dòng)力勢能和重力勢能的變化，計(jì)算出嫦娥三號(hào)在遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)的速度分別為和，沿軌道切線方向。

建立模型二和模型三確定著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。模型二主要對(duì)主減速階段和快速調(diào)整階段進(jìn)行初步分析。模型三分六個(gè)階段確定軌道和最

假設(shè)推力最大,將最優(yōu)燃耗優(yōu)控制策略，主減速階段建立目標(biāo)函數(shù)燃料，

軟著陸問題轉(zhuǎn)化為最短時(shí)間控制問題，然后采用擬牛頓法和四階Admas預(yù)計(jì)-校正得到；快速調(diào)整階段采用重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)，在假設(shè)條件下對(duì)嫦娥三號(hào)進(jìn)行受力分析，得到嫦娥三號(hào)的動(dòng)力學(xué)模型，然后通過開關(guān)控制得到燃耗最優(yōu)控制，并畫出仿真圖；粗避障階段采用多項(xiàng)式制導(dǎo)，通過初始狀態(tài)和末端狀態(tài)反解多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)而求取標(biāo)稱軌跡，然后將避障區(qū)域網(wǎng)格化，比較網(wǎng)格內(nèi)的方差大小確定最優(yōu)區(qū)域范圍；精避障階段需在滿足本文提出的避障原則式下探尋全局最優(yōu)解，以網(wǎng)格區(qū)域總體得分作為目標(biāo)函數(shù)，得到最優(yōu)區(qū)域?yàn)樽鴺?biāo)附近，并以螺旋探尋法探尋安全半徑的個(gè)數(shù)。其余階段僅對(duì)其做簡單物理分析后繪制出六個(gè)階段的著陸軌道。

建立模型四做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。首先以模型二為基礎(chǔ)進(jìn)行誤差分析，當(dāng)主減速階段的推力、初始質(zhì)量變化時(shí)，計(jì)算嫦娥三號(hào)質(zhì)量和燃料消耗速率的變化趨勢。再以模型三為基礎(chǔ)進(jìn)行分析，對(duì)初始高度變化前后主減速階段的的偏角和和著陸軌道進(jìn)行對(duì)比分析并計(jì)算誤差。然后進(jìn)行敏感性分析，主要利用蒙特卡洛分析著陸軌道的粗避障階段和精避障階段月面不同地形高度，對(duì)嫦娥三號(hào)下降時(shí)所需調(diào)整概率大小的影響，接著分析嫦娥三號(hào)著陸占地面積大小對(duì)著陸調(diào)整概率的影響。

關(guān)鍵字：拋物線、燃料、擬牛頓法、Admas、網(wǎng)格化、蒙特卡洛模擬

1.問題重述

嫦娥三號(hào)于2023年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)理推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有神態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，在給定主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向后，能夠自動(dòng)通過多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種神態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。

嫦娥三號(hào)在高速飛行的狀況下，要保證確鑿地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個(gè)階段，要求滿足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。

根據(jù)上述的基本要求，請(qǐng)你們建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：

（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。

（2）確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。

（3）對(duì)于你們?cè)O(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。

2.問題的分析

本文所研究的問題一主要為基礎(chǔ)計(jì)算和物理知識(shí),首先我們需要根據(jù)預(yù)定的著陸點(diǎn)的經(jīng)緯度確定軌道，然后通過拋物線的運(yùn)動(dòng)計(jì)算出在月球著陸時(shí)的水平路程，然后計(jì)算出偏移角度，據(jù)此確定近月點(diǎn)的經(jīng)緯度，而嫦娥三號(hào)的著陸軌道為過月球中心點(diǎn)的橢圓軌道，所以遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度和近月點(diǎn)對(duì)稱，則可以由近月點(diǎn)計(jì)算出遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度。最終由于在著陸軌道上衛(wèi)星的能量守恒，則可以通過勢能和動(dòng)能的轉(zhuǎn)換來計(jì)算嫦娥三號(hào)的速度和方向。

本文所研究的問題二主要為過程的最優(yōu)控制和建立嫦娥三號(hào)軟著陸軌道。由于嫦娥三號(hào)的軟著陸主要分為六個(gè)階段，所以此問應(yīng)分為六個(gè)階段來求解。主減速階段采用燃料最優(yōu)制導(dǎo)律來分析，建立著陸坐標(biāo)系，將最優(yōu)燃耗軟著陸問題轉(zhuǎn)化為最短時(shí)間控制問題，然后得到目標(biāo)函數(shù)；快速調(diào)整階段采用重力轉(zhuǎn)彎制導(dǎo)，對(duì)嫦娥三號(hào)進(jìn)行受力分析，得到嫦娥三號(hào)的動(dòng)力學(xué)模型，然后計(jì)算出燃耗最優(yōu)控制，并畫出仿真圖；粗避障階段采用多項(xiàng)式制導(dǎo)，首先列出加速度、速度、位移的多項(xiàng)式，然后通過初始狀態(tài)和末端狀態(tài)反解多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)而求取標(biāo)稱軌跡；精避障階段首先設(shè)定嫦娥三號(hào)的體型大小，然后處理數(shù)據(jù)的數(shù)量級(jí)不同，最終在整個(gè)下降區(qū)域的范圍內(nèi)探尋最優(yōu)著陸點(diǎn)；由于在緩速下降和自由落體階段中，發(fā)動(dòng)機(jī)已經(jīng)關(guān)閉，故僅對(duì)其做簡單物理分析。最終通過整個(gè)分析得出總的著陸軌道。

本文所研究的問題三主要為著陸軌道和控制策略做誤差分析和敏感度分析，

1

需要對(duì)問題二所設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略中的發(fā)動(dòng)機(jī)推力、初始速度、初始高度進(jìn)行誤差分析。然后進(jìn)行敏感度分析，即對(duì)著陸軌道的粗避障階段和精避障階段月面不同地形高度對(duì)嫦娥三號(hào)下降時(shí)所需調(diào)整概率大小的影響，最終分析嫦娥三號(hào)著陸占地面積大小對(duì)著陸調(diào)整概率的影響。

3.模型的假設(shè)

假設(shè)一：嫦娥三號(hào)與月球均不受其他行星及衛(wèi)星的影響假設(shè)二：不考慮月球繞地及其他星球的公轉(zhuǎn)和月球的自轉(zhuǎn)假設(shè)三：將月球近似的看做標(biāo)準(zhǔn)球體

假設(shè)四：嫦娥衛(wèi)星的燃料消耗主要是在著陸的主減速階段假設(shè)五：軟著陸的四、五、六階段著陸軌跡基本在同一平面內(nèi)

4.符號(hào)與公式的約定和說明

：G=為引力常量，m、M分別為兩物體質(zhì)量，R

為兩物體距離，為兩物體間的作用力

：為物體質(zhì)量，為物體在作用下產(chǎn)生的加速度：軟著陸起始速度：加速度

：平拋產(chǎn)生的距離

：物體的動(dòng)能（）：物體的重力勢能（）：嫦娥三號(hào)的推力：偏好系數(shù)

：下降地點(diǎn)總體得分

：第段離散段的平均加速度

由于本文使用參數(shù)和公式較多，其他公式和符號(hào)在具體模型中再做說明。

5.模型的建立與求解

5.1模型一的建立

5.1.1模型的假設(shè)由萬有引力公式

計(jì)算，再由牛頓其次定律計(jì)算地球和月球

在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)處的重力加速度