1.模糊集：設(shè)U是論域，所謂U上的“模糊集Fuzzy”A，是指對(duì)任意xeU,x常以某個(gè)程度u(uehl)屬于A，而非xeA或x史A。(即對(duì)AuU，若A的邊界也不清楚，則稱A為U上的模糊集合)模糊集的隸屬函數(shù)⑴論域：將所討論的對(duì)象限制在一定范圍內(nèi)，并稱所討論對(duì)象的全體為論域。記林，丫，U等。集合(子集合)若對(duì)VxeA—xeU，則稱A是X的子集，記為AuU。⑵特征函數(shù)稱下述映射JX—hl} 確定的函數(shù)PA(X)為X上集合A的特征函數(shù)：x——pCx){1，xeA0，xWA⑶隸屬函數(shù)設(shè)U是論域，P:U—lo,1］，稱P是U上的隸屬函數(shù)，記U上的隸屬函數(shù)全體為SH(U),又記U上的模糊集的全體為F(U)，令SH(U)與F(U)一一對(duì)應(yīng)。于是，對(duì)任意PeSH(U)，有唯一U上的模糊集AeF(U)與之對(duì)應(yīng)。記此p為七，稱七為A的隸屬~ ~函數(shù)，對(duì)任意xeU，稱PA(x)為x對(duì)A的隸屬度。注：因?yàn)閔1}U康，所以經(jīng)典集A的特征函數(shù)PA也是隸屬函數(shù)，經(jīng)典集是模糊集的特例。⑶定義1.所謂給定了論域U上的一個(gè)模糊子集A,是指對(duì)于任何xeX，都給定了一個(gè)數(shù)PA(x)elo,1］，稱做x對(duì)A的隸屬度，pA:U—lo,1］稱作A的隸屬函數(shù)，記為? ?AT(PA(x)/'x)，當(dāng)U為有限集、..七}時(shí)，P(x)P(xAT(PA(x)/'x)，當(dāng)U為有限集、..七}時(shí)，1如果P如果PA(x)的最大值等于1?則稱A為正則模糊數(shù)集。(4)隸屬函數(shù)的確定專家評(píng)定法（德爾菲方法）：對(duì)任何XeU，由專家打分，指定日人（x）；~1）模糊統(tǒng)計(jì)方法：根據(jù)所提出的模糊概念進(jìn)行統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，從而確定隸屬函數(shù)的方法。其一般步驟如下：1。給定論域U，以及有關(guān)模糊概念；20進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，共調(diào)查n次，調(diào)查的結(jié)果是與A相聯(lián)系的U的普通子集R,…,氣。3。對(duì)任意給定的x0eU，計(jì)算出x0對(duì)A的隸屬頻率:X。對(duì)A的隸屬頻率X。對(duì)A的隸屬頻率=包含尤。的a、的個(gè)數(shù)調(diào)查試驗(yàn)總次數(shù)n(i=1,2,…n)實(shí)驗(yàn)表明：RA（x。）=limn—3包含X。的人,的個(gè)數(shù)n4。對(duì)所有的xeU，求x對(duì)A的隸屬度，畫出隸屬度曲線，由此求出A的隸屬函數(shù)。~ ~（5）幾種常見的隸屬函數(shù)分布類型，這里假設(shè)論域?yàn)镽f。10矩形分布降半矩形分布廣1，x<a七（x）=大。，x>a對(duì)稱矩形分布I對(duì)稱矩形分布I。，x任a,b\升半矩形分布{1，x>a0,x<a

2。梯形分布降半梯形分布1,x<a日(x)=j^-―—,a<x<bA'b-a?0, b<x日A(x)=?a一aa一a2 1a日A(x)=?a一aa一a2 1a一x+a—0 a+x一a―0 0,1，0,P升半梯形分析0, x<apA(x)=b_a,a<x<b< 1, b<xx3。柯西分布降半柯西分布C1, x<a|Ll(X)=A<1 ,x>a、l+a(x-tz)P其中以>0,p>00對(duì)稱性柯西分布z、1(x)=A1+Ot(jv—其中a>0,P>0為偶數(shù)。升半柯西分布0, x<aA<1V ,x>a1+a(x-a)-p(6)模糊集的u,n,-c運(yùn)算設(shè)U。0,A,B,CgF(U),則1)若VxcU,都有日(x)<|LlA(x),則記AcB,讀作A包含于8。若AcB且BqA,則記A=BO顯然A=B^對(duì)(x),則記AcB,讀作A包含于8。A B若PxwU,都有H(x)=HWvpi(x),則記C=A\JB,讀作A并8。CAB若VxeU,都有日(x)=fd(x)aJ1(x),則記C=AC[B，讀作A交8。CAB若VxeU,都有1-n(x),貝ij記8=A。，稱8是A的補(bǔ)。注：①AUBMPBMc的隸屬函數(shù)常分別記作日，目，日廠。即對(duì)VxgLZ,有一 A\JBAQBAC

W⑴*）V/，官）*E*），皿T一七⑴。②式中符號(hào)",△在模糊數(shù)學(xué)中，常稱為ladeh算子。設(shè)論域u=：,x,x,x1 2 3 4 5A 0.2 0.7 1 0.5,A-——+——+—+——~ X X X X12 3 5W⑴*）V/，官）*E*），皿T一七⑴。②式中符號(hào)",△在模糊數(shù)學(xué)中，常稱為ladeh算子。設(shè)論域u=：,x,x,x1 2 3 4 5A 0.2 0.7 1 0.5,A-——+——+—+——~ X X X X12 3 5.0.5 0.3 0.1 0.7 …mB=——+——+——+——，計(jì)算AUB,A^BO~ X X X X12 4 5X4|,?0.2V0.50.7V0.3IvOOvl0.5v0.7

解：A(J8= + +——+——+ ~~X X X1 2 30.50.710.10.7

+ + + + X X X X X1 2 3 4 5xc「0.2a0.50.7a0.31a0A\\B= + + x3OaO.10.5a0.7運(yùn)算律:0.20.30.5——+——+——XXX1 2 5設(shè)A,B,C均為論域U上的模糊集,則有下列運(yùn)算律成立:①幕等律AUA=A,A(^[A=A②交換律AUB=B\JA,A^}B=B^}AO③結(jié)合律(AU8)UC=AU(8UC),(AD8)DC=AD("C)0④分配律ah(buC)=(Anb)v(AnC),ausnC)=(aub)a(auC)o⑤吸收律AD(AUB)=A,AU(Ang)=A。⑥復(fù)原律(A)=A0⑦對(duì)偶律AUB=AC}B,aHb=A]JB0注：補(bǔ)余律不成立，即一般來說：A\JA^U,AUA^0由模糊集邊界的模糊性決定。分解定理與擴(kuò)張定理人水平截集定義：設(shè)A為論域U的模糊子集，人chi］，稱集合A廣"eU七⑴＞xl為A的~ ? ~人水平截集，力稱為水平或閾值。廠1，七(X)＞人模糊集A的人截集A人是一個(gè)普通集合，它的隸屬函數(shù)為rA(X)=盤，ra(X)〈人?性質(zhì)：①(AUB)人=A人UB人；~~(ADB)廣A人n氣；~~若a,pelo,1］，且以＜。，則A°uA^。分解定理定理：設(shè)A為論域U的模糊子集，A人是A的人截集，人et),1］，則如下分解式成立:~~A=U人A~入et),1］"其中人A人為數(shù)人與A人的乘積，其隸屬函數(shù)規(guī)定為：｛人，xeA人0，xWA人注：由于A人是普通集合，因此分解定理表明一個(gè)模糊集合可以分解為普通集合來解釋。設(shè)相當(dāng)人取遍h1］中的所有值時(shí)，R)按模糊子集求并運(yùn)算法則，也就是取相應(yīng)于各人et),1］點(diǎn)隸屬函數(shù)的最大值，再練成一條曲線，即Ra(x)的曲線。

擴(kuò)張?jiān)?扎德1975)原理：設(shè)給定映射f:X-Y，則f可進(jìn)行擴(kuò)張，使X中的模糊子集A經(jīng)過f映射后，變?yōu)?的模糊子集川)，其隸屬函數(shù)為：七卜)=sup七⑴。~ y=f(x)~注：①當(dāng)f是1對(duì)1的單值映射時(shí)，X中元素X關(guān)于A的隸屬度與Y中元素y=f(x)關(guān)于?f(A)的隸屬度相同。?②模糊限制下的條件極值問題：TOC\o"1-5"\h\z設(shè)A為論域X的模糊集，f:A—R，即f是A上的實(shí)值映射，求f在A上的最大? ?? ?值。對(duì)于Xelo,1］，f在A的水平截集A人上的最大值點(diǎn)的集合記為M人，記稱A為f在A上的模糊優(yōu)越集，記?f ?fA=f(A)，其中f(A)按擴(kuò)張?jiān)斫o出，稱f為f在A上的模糊優(yōu)越值，即f在A上的最大值，?f A ? ?它就是R中的一個(gè)模糊數(shù)集。凸模糊集與模糊數(shù)(1)凸模糊集定義：設(shè)A是以實(shí)數(shù)域R為論域的模糊子集，隸屬函數(shù)為RA(X)，若對(duì)va<x<b，??都有 RA(x)>min(RA(a),RA(b))，? ??則稱A為一個(gè)凸模糊集。性質(zhì)：①凸模糊集的X截集必為區(qū)間，反之，X截集均為區(qū)間的模糊集必是凸模糊集。②設(shè)A、B是凸模糊集，則AlB也是凸模糊集。

定義：設(shè)i是實(shí)數(shù)域R上的正則模糊集子集，且對(duì)任人任hi〕，七均為一閉區(qū)間，則稱i~ ~是一個(gè)模糊集數(shù)。注：①具有連續(xù)隸屬函數(shù)的正則凸模糊集子集是模糊數(shù)，反之，模糊數(shù)必為正則凸模糊子集。②任意閉區(qū)間［a,b］都是模糊數(shù)，稱這種特殊的模糊數(shù)為區(qū)間數(shù)。全體區(qū)間數(shù)記為I=L,b\a<b,a,ber｝。在I中規(guī)定兩個(gè)區(qū)間數(shù)的算術(shù)運(yùn)算。R Rf記運(yùn)算符*e"，—，x，;｝，貝0a,b】*Ld5*yxela,b]yeC,dV當(dāng)0eC,d〕時(shí)la,bLC,d〕無意義。③一般情況下，分配律不成立，只滿足所謂次分配律：即區(qū)間數(shù)I,J,K,I(J+K)uIJ+IK。~~~~~ ~ ~~ ~~④定義：設(shè)I,J是兩個(gè)模糊數(shù)，運(yùn)算符*e｛+，—