數(shù)字信號(hào)處理

(DigitalSignalProcessing)

信號(hào)與系統(tǒng)系列課程組國(guó)家電工電子教學(xué)基地1第一章離散信號(hào)與系統(tǒng)分析基礎(chǔ)離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

離散信號(hào)的頻域分析 離散系統(tǒng)的頻域分析 雙邊z變換與反變換 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) 全通濾波器與最小相位系統(tǒng)信號(hào)的抽樣與重建2第一節(jié)離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析離散信號(hào)的表示離散序列的產(chǎn)生基本序列序列的基本運(yùn)算系統(tǒng)分類單位脈沖響應(yīng)利用MATLAB求解離散LTI系統(tǒng)響應(yīng)3一、離散信號(hào)(序列)的表示離散信號(hào)表示：列表、圖形、公式信號(hào)x[k]的自變量k只能為整數(shù)，而幅度可在某一范圍內(nèi)連續(xù)取值，稱離散信號(hào)。數(shù)字信號(hào)(離散信號(hào))時(shí)間和幅度上都量化的信號(hào)4離散序列的產(chǎn)生(1)對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣x[k]=x(kT),T-samplingperiod(2)信號(hào)本身是離散的(3)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生離散信號(hào):時(shí)間上量化的信號(hào)數(shù)字信號(hào):時(shí)間和幅度上都量化的信號(hào)5二、基本序列1．單位脈沖序列6基本序列2.單位階躍序列單位階躍和單位脈沖的關(guān)系：73．矩形序列k10][NkRN-184．指數(shù)序列有界序列：

kZ|x[k]|M。M是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)aku[k]：右指數(shù)序列,|a|1序列有界aku[-k-1]：左指數(shù)序列,|a|1序列有界95．虛指數(shù)序列(單頻序列)虛指數(shù)函數(shù)，角頻率為w的模擬信號(hào)虛指數(shù)序列，數(shù)字信號(hào)角頻率W=wT數(shù)字角頻率W與模擬角頻率w之間的關(guān)系為

W=

wT兩者區(qū)別：虛指數(shù)序列x[k]=ejWk不一定為周期序列。而連續(xù)虛指數(shù)信號(hào)x(t)=ejwt必是周期信號(hào)。106．正弦序列數(shù)字信號(hào)cosW0k是否為周期的?周期為多少？x[k]=x[k+N]=cosW0k=

cos(W0k+W0N)當(dāng)W0N=2pm時(shí),x[k]才是周期的。即W0/2p為有理數(shù)時(shí)，信號(hào)才是周期的。如果

,N,m是不可約的整數(shù)，則信號(hào)的周期為N.11例:

試確定余弦序列x[k]=cosW0k當(dāng)(a)W0=0；(b)

W0=0.1p；(c)

W0=0.2p；

(d)

W0=0.8p；

(e)

W0=0.9p；

(f)

W0=p時(shí)的基本周期N解：(a)

W0/2p=0/1

N=1(b)

W0/2p=0.1/2=1/20N=20(c)

W0/2p=0.2/2=1/10N=10(d)

W0/2p=0.8/2=2/5N=5(e)

W0/2p=0.9/2=9/20N=20(f)

W0/2p=1/2N=2隨著角頻率W0的增加，序列的周期(N)不一定變小。12例:

試確定余弦序列x[k]=cosW0k當(dāng)(a)W0=0；(b)

W0=0.1p；(c)

W0=0.2p；

(d)

W0=0.8p；

(e)

W0=0.9p；

(f)

W0=p時(shí)的基本周期N解：(a)

W0/2p=0/1

N=1(c)

W0/2p=0.2/2=1/10N=10

x[k]=cosW0k,

W0=0

x[k]=cosW0k,

W0=0.2p

010203040-10113例:

試確定余弦序列x[k]=cosW0k當(dāng)(a)W0=0；(b)

W0=0.1p；(c)

W0=0.2p；

(d)

W0=0.8p；

(e)

W0=0.9p；

(f)

W0=p時(shí)的基本周期N解：(d)

W0/2p=0.8/2=2/5

N=5(f)

W0/2p=1/2N=2

x[k]=cosW0k,

W0=0.8p

x[k]=cosW0k,

W0=p

14當(dāng)W0從0增加到p時(shí)，余弦序列幅度的變化將會(huì)逐漸加快x[k]=cosW0k,

W0=0

x[k]=cosW0k,

W0=0.2p

010203040-101x[k]=cosW0k,

W0=0.8p

x[k]=cosW0k,

W0=p

15當(dāng)W0從p增加到2p時(shí)，余弦序列幅度的變化將會(huì)逐漸變慢。兩個(gè)余弦序列的角頻率相差2p的整數(shù)倍時(shí)，是同一個(gè)序列。由于cos[(2p-W0)k]=cos(W0k)W0

在p

附近的余弦序列是高頻信號(hào)。W0

0或2p

附近的余弦序列是低頻信號(hào)。W0

在p奇數(shù)倍附近的余弦序列是高頻信號(hào)。W0在p偶數(shù)倍附近的余弦序列是低頻信號(hào)。正弦型序列cos(W0

k)的特性16三、用MATLAB產(chǎn)生離散信號(hào)1.一般離散序列x[k]用2個(gè)向量表示，一個(gè)表示k的取值范圍，另一個(gè)表示序列的值。例如k=-2:4;x=[2,1,1,-1,3,0,2];stem(k,f)%畫出序列的的波形MATLAB表示172.單位脈沖序列在k1

k

k2范圍內(nèi)計(jì)算單位脈沖序列d[k-k0]function[f,k]=impseq(k0,k1,k2)%產(chǎn)生f[k]=delta(k-k0);k1<=k<=k2k=[k1:k2];f=[(k-k0)==0];183.單位階躍序列在k1

k

k2范圍內(nèi)計(jì)算單位階躍序列u[k-k0]function[f,k]=stepseq(k0,k1,k2)%產(chǎn)生f[k]=u(k-k0);k1<=k<=k2k=[k1:k2];f=[(k-k0)>=0];19例p1_1：產(chǎn)生指數(shù)序列x[k]=Kak%P1_1%Generationofrealexponentialsequencea=input('Typeinexponent=');K=input('Typeinthegainconstant=');N=input('Typeinlengthofsequence=');k=0:N;x=K*a.^k;stem(k,x);xlabel('Timeindexn');ylabel('Amplitude');title(['\alpha=',num2str(a)]);20四、離散時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算(1)翻轉(zhuǎn)(timereversal)

x[k]x[-k](2)位移(延遲)

x[k]x[k-N](3)尺度變換：抽取(decimation)

x[k]x[Mk]

(3)尺度變換：內(nèi)插(interpolation)

(4)卷積(convolution)(5)相關(guān)(correlation)

互相關(guān)自相關(guān)21四、離散時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算2.位移:

x[k]x[k-n]234512123]2[-kxk01.翻轉(zhuǎn):

x[k]x[-k]0123-12123][kxk012-12123][kx-k-222234512164k01][kx231264k0]2[kx抽取(decimation)M

x[k]x[Mk]，M為正整數(shù)3.尺度變換23定義：231264k0][kx231264k0]2/[kx45內(nèi)插(interpolation)M(注意：內(nèi)插值為0)3.尺度變換24序列基本運(yùn)算單元框圖加法乘法標(biāo)量乘法延時(shí)內(nèi)插抽取25(1)將x[k]、h[k]中的自變量由k改為n；(2)把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)，如將h[n]翻轉(zhuǎn)得h[-n]；(3)把h[-n]平移k，k是參變量。k>0圖形右移，k<0圖形左移。(4)將x[n]與h[k-n]重疊部分相乘；(5)對(duì)乘積后的圖形求和。4.卷積26計(jì)算卷積和27卷積和的性質(zhì)交換律:

x[k]*h[k]=h[k]*x[k] 結(jié)合律:x[k]*(h1[k]*h2[k])=(

x[k]*h1[k])*h2[k]分配律:

x[k]*(h1[k]+h2[k])=

x[k]*h1[k]+

x[k]*h2[k]位移特性28h1[k]h2[k]][kx][kyh1[k]*h2[k]][kx][ky結(jié)合律(associativeproperty)物理含義級(jí)連系統(tǒng)合成29]h1[k]h2[k]][kx[kyh1[k]+h2[k]][kx][ky分配律(distributiveproperty)物理含義30用MATLAB函數(shù)conv計(jì)算兩個(gè)序列的離散卷積%p1_2離散卷積計(jì)算a=[0121];b=[110-1];c=conv(a,b);M=length(c)-1;n=0:1:M;stem(n,c);xlabel('時(shí)間');ylabel('幅度');31例：已知x1[k]*x2[k]=y[k]，試求y1[k]=x1[k-n]*x2[k-m]。

解：y1[k]=y[k-(m+n)]例：x[k]非零范圍為N1

k

N2，

h[k]的非零范圍為N3

k

N4

求：y[k]=x[k]*h[k]的非零范圍。解：N1+N3

k

N4+N2序列卷積的基本特性

兩個(gè)序列的卷積時(shí)，卷積所得序列的起點(diǎn)等于兩個(gè)序列起點(diǎn)之和，終點(diǎn)等于兩個(gè)序列的終點(diǎn)之和，序列長(zhǎng)度等于兩個(gè)序列的長(zhǎng)度之和減1。32例：利用MATLAB函數(shù)conv計(jì)算兩個(gè)序列的離散卷積。x=[-0.5,0,0.5,1];kx=-1:2;h=[1,1,1];kh=-2:0;y=conv(x,h);k=kx(1)+kh(1):kx(end)+kh(end);stem(k,y);xlabel('k');ylabel('y');-3-2-1012-0.500.511.5ky335相關(guān)互相關(guān)自相關(guān)34例:x[k]={2,1,-2,1;k=0,1,2,3}，y[k]={-1,2,1,-1;k=0,1,2,3}，試計(jì)算互相關(guān)函數(shù)rxy[n]和rxy[n]，以及自相關(guān)函數(shù)rx[n]。

解：根據(jù)序列的相關(guān)運(yùn)算定義可得

35序列相關(guān)的基本特性(1)

rxy[n]=x[-n]*

y[n](2)

rxy[n]=ryx[-n]rx[n]=rx[-n](3)rx[0]|rx[n]|361.2離散系統(tǒng)時(shí)域分析離散時(shí)間系統(tǒng)定義：滿足輸入和輸出都是離散序列的系統(tǒng)y[k]

=T{x[k]}37離散系統(tǒng)時(shí)域分析y[k]

=T{x[k]}

離散LTI系統(tǒng)可由線性常系數(shù)差分方程描述381.線性(Linearity)離散系統(tǒng)分類2.時(shí)不變(Time-Invariance)若T{x[k]}=y[k]，則有T{x[k-n]}=y[k-n]線性時(shí)不變系統(tǒng)簡(jiǎn)稱為：LTI系統(tǒng)39解：輸入序列x[k]產(chǎn)生的輸出序列y[k]為

y[k]=T{x[k]}=x[Mk]輸入序列x[k-n]產(chǎn)生的輸出序列為

T{x[k-n]}=x[Mk-n]由于x[Mk-n]y[k-n]故該離散系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。例:已知抽取器的輸入和輸出關(guān)系為

y[k]=x[Mk]試判斷該離散系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？40抽取器時(shí)變特性的圖示說(shuō)明413.因果性（Causality）離散系統(tǒng)k時(shí)刻的輸出只與k時(shí)刻及以前的輸入有關(guān)，即系統(tǒng)的輸出不超前于系統(tǒng)的輸入。定理：離散LTI系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充要條件為h[k]=0k<0離散系統(tǒng)分類42由于M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)為L(zhǎng)TI系統(tǒng)，因此，當(dāng)M2=0時(shí)，系統(tǒng)是因果的。例:判斷M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的因果性。 可得該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[k]為 根據(jù)M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的輸入–輸出關(guān)系解：434．穩(wěn)定性

當(dāng)輸入|x[k]|Mx<有界，若輸出|y[k]|My<也有界，則稱系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定。

定理：離散LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是離散系統(tǒng)分類44解：M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為因此該系統(tǒng)穩(wěn)定。 例:判斷M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由于M1+M2+1點(diǎn)滑動(dòng)平均系統(tǒng)為L(zhǎng)TI系統(tǒng)，且45解：例:

判斷系統(tǒng)是否(1)線性(2)因果(3)非時(shí)變(4)穩(wěn)定(1) 系統(tǒng)線性。所以系統(tǒng)k時(shí)刻的輸出只與k時(shí)刻的輸入有關(guān)，系統(tǒng)因果。(2)46解：例:

判斷系統(tǒng)是否(1)線性(2)因果(3)非時(shí)變(4)穩(wěn)定(3) (4)所以 當(dāng)輸入信號(hào)x[k]有界時(shí)，輸出信號(hào)y[k]可以是無(wú)界的，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)時(shí)變。47離散系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)定義：例：已知累加器的輸入輸出關(guān)系為試求其單位脈沖響應(yīng)h[k]。48離散LTI系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)由于所以49利用MATLAB求解離散LTI系統(tǒng)響應(yīng)

當(dāng)已知系統(tǒng)的輸入和N個(gè)初始狀態(tài)，可由下式迭代計(jì)算系統(tǒng)的輸出。

離散LTI系統(tǒng)的輸入–輸出關(guān)系可由線性常系統(tǒng)差分方程描述50其中：b=[b0,b1,,bM],a=[a0,a1,,aN]x表示輸入序列，y表示輸出序列。系統(tǒng)的初始條件為零。輸出序列y[k]的長(zhǎng)度和輸入序列x[k]