本文格式為Word版，下載可任意編輯——0二元一次方程組應(yīng)用題的常見類型分析

二元一次方程組應(yīng)用摸索

二元一次方程組是最簡單的方程組，其應(yīng)用廣泛，特別是生活、生產(chǎn)實踐中的大量問題，大多需要通過設(shè)元、列二元一次方程組來加以解決，現(xiàn)將常見的幾種題型歸納如下：

一、數(shù)字問題

例1一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；假使交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個兩位數(shù)．

分析：設(shè)這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個位上的數(shù)為y，則這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示：

原兩位數(shù)新兩位數(shù)十位上個位上對應(yīng)的兩位的數(shù)x的數(shù)y數(shù)10x+y10x+y=x+y+9相等關(guān)系yｘ10y+x10y+x=10x+y+27?10x?y?x?y?9?x?1解方程組?10y?x?10x?y?27，得?y?4，因此，所求的兩位數(shù)是

??14．

點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學習慣于只設(shè)一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象此題，假使直接設(shè)這個兩位數(shù)為x，或只設(shè)十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關(guān)于x的方程．一

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般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)的求數(shù)問題，一般應(yīng)設(shè)各個數(shù)位上的數(shù)為“元〞，然后列多元方程組解之．

二、利潤問題例2

一件商品假使按定價打九折出售可以

盈利20%；假使打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？

分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設(shè)此商品的定價為x元，進價為y元，則打九折時的賣出價為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時的賣出價為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.

?0.9x?y?20%y?x?200解方程組?0.8x?y?10，解得?y?150，

??因此，此商品定價為200元．

點評：商品銷售盈利百分數(shù)是相對于進價而言

的，不要誤為是相對于定價或賣出價．利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價-進價；二是：利潤=進價×利潤率（盈利百分數(shù)）．特別注意“利潤〞和“利潤率〞是不同的兩個概念．

三、配套問題

例3某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個工人每天可生產(chǎn)螺栓50個或螺母20個，假使一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺

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栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？

分析：要使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)×2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)×1．因此，設(shè)安排ｘ人生產(chǎn)螺栓，ｙ人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓50ｘ個，螺母20ｙ個，依題意，得

?x?y?120?x?20?，解之，得?y?100．50x?2?20y?1??故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母．

點評：產(chǎn)品配套是工廠生產(chǎn)中基本原則之一，如何分派生產(chǎn)力，使生產(chǎn)出來的產(chǎn)品恰好配套成為主管生產(chǎn)人員常見的問題，解決配套問題的關(guān)鍵是利用配套本身所存在的相等關(guān)系，其中兩種最常見的配套問題的等量關(guān)系是：

（1）“二合一〞問題：假使ａ件甲產(chǎn)品和ｂ件乙產(chǎn)品配成一套，那么甲產(chǎn)品數(shù)的ｂ倍等于乙產(chǎn)品數(shù)的ａ倍，即

甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)?ab；

（2）“三合一〞問題：假使甲產(chǎn)品ａ件，乙產(chǎn)

品ｂ件，丙產(chǎn)品ｃ件配成一套，那么各種產(chǎn)品數(shù)應(yīng)滿足的相等關(guān)系式是：

四、行程問題

例4在某條高速馬路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B

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甲產(chǎn)品數(shù)乙產(chǎn)品數(shù)丙產(chǎn)品數(shù)??abc．

的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以一致的速度駕車沿高速馬路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后馬上以一致的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)ィY(jié)果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？

設(shè)巡邏車、犯罪團伙的車的速度分別為x、y千米/時，則

??x?y?40?x?80?3?x?y??120?，整理，得?x?y?120，解得?y?40，x?y?120????因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團伙的車的速度是40千米/時．

點評：“相向而遇〞和“同向追及〞是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關(guān)系，這個關(guān)系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在：

“相向而遇〞時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；“同向追及〞時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離．

五、貨運問題

典例5某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝多少噸？

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分析：“充分利用這艘船的載重和容積〞的意思是“貨物的總重量等于船的載重量〞且“貨物的體積等于船的容積〞．設(shè)甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，則

?x?y?300?x?y?300?x?150?，整理，得?3x?y?600，解得?y?150，?6x?2y?1200??因此，甲、乙兩重貨物應(yīng)各裝150噸．

點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少計算量，增加確鑿度．化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數(shù)的最大公約數(shù)或移項、合并同類項等．

六、工程問題

例6某服裝廠接到生產(chǎn)一種工作服的訂貨任務(wù)，要求在規(guī)定期限內(nèi)完成，依照這個服裝廠原來的生產(chǎn)能力，每天可生產(chǎn)這種服裝150

4套，按這樣的生產(chǎn)進度在客戶要求的期限內(nèi)只能完成訂貨的5；現(xiàn)在

工廠改進了人員組織結(jié)構(gòu)和生產(chǎn)流程，每天可生產(chǎn)這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產(chǎn)25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？

分析：設(shè)訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得

4?150y?x?x?3375?5?，解得?y?18.

??200?y?1??x?25?點評：工程問題與行程問題相類似，關(guān)鍵要抓好三個基本量的關(guān)系，即“工作量=工作時間×工作效率〞以及它們的變式“工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間〞．其次注意當題目與工作量大小、多少無關(guān)時，尋常用“1〞表示總工作量．

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《二元一次方程組實際問題》賞析

列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答〞五步，即：

（1）審：通過審題，把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)；

（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；

（3）列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；

（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；

（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案.

例1（2023年南京市）某停車場的收費標準如下：中型汽車的停車費為6元/輛，小型汽車的停車費為4元/輛.現(xiàn)在停車場有50輛中、小型汽車，這些車共繳納停車費230元，問中、小型汽車各有多少輛？

解析：設(shè)中型汽車有x輛，小型汽車有y輛.由題意，得

?x?y?50,?6x?4y?230.?解得，??x?15,?y?35.

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故中型汽車有15輛，小型汽車有35輛.

例2（2023年四川省眉山市）某蔬菜公司收購蔬菜進行銷售的獲利狀況如下表所示：銷售方式直接銷售每噸獲利（元）現(xiàn)在該公司收購了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸（兩種加工不能同時進行）．

（1）假使要求在18天內(nèi)全部銷售完這140噸蔬菜，請完成以下表格：

銷售方式全部直接銷售獲利（元）全部粗加工盡量精加工，剩余部后銷售分直接銷售100250粗加工后銷售精加工后銷售450（2）假使先進行精加工，然后進行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應(yīng)如何分派加工時間？

解：（1）全部直接銷售獲利為：100×140=14000（元）；全部粗加工后銷售獲利為：250×140=35000（元）；

盡量精加工，剩余部分直接銷售獲利為：450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.

（2）設(shè)應(yīng)安排x天進行精加工，y天進行粗加工.

?x?y?15,由題意，得?

6x?16y?140.?-7-

?x?10,解得，?

y?5.?故應(yīng)安排10天進行精加工，5天進行粗加工.

為滿足市民對優(yōu)質(zhì)教育的需求，某中學決定改變辦學條件，計劃拆除一部分舊校舍，建造新校舍，拆除舊校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.計劃在年內(nèi)拆除舊校舍與建造新校舍共7200平方米，在實施中為擴大綠