2021-2022學年安徽省安慶市太湖樸初中學高二下學期第一次月考數學試題一、單選題1．已知直線和互相垂直，則實數的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】由兩直線垂直可得出關于實數的等式，求解即可.【詳解】由已知可得，解得.故選：B.2．兩圓和的位置關系是（

）A．內切 B．外離 C．外切 D．相交【答案】A【分析】計算出圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關系.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，圓的圓心坐標為，半徑為，兩圓圓心距為，則，因此，兩圓和內切.故選：A.3．已知雙曲線的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據a的值和離心率可求得b,從而求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的離心率為，知，則，即有，故，所以雙曲線C的漸近線方程為，即，故選：B.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據導數公式及法則求解.【詳解】因為，所以.故選：A【點睛】本題主要考查了導數的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5．已知等比數列的前n項和為，公比為q，若，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.6．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題，為可導函數，，即曲線在點處的切線的斜率是，選D【點睛】本題考查導數的定義，切線的斜率，以及極限的運算，本題解題的關鍵是對所給的極限式進行整理，得到符合導數定義的形式．7．已知數列是等差數列，其前n項和為，則下列說法錯誤的是（

）A．數列一定是等比數列 B．數列一定是等差數列C．數列一定是等差數列 D．數列可能是常數數列【答案】B【分析】可根據已知條件，設出公差為，選項A，可借助等比數列的定義使用數列是等差數列，來進行判定；選項B，數列，可以取，即可判斷；選項C，可設，表示出再進行判斷；選項D，可采用換元，令，求得的關系即可判斷.【詳解】數列是等差數列，設公差為，選項A，數列是等差數列，那么為常數，又，則數列一定是等比數列，所以選項A正確；選項B，當時，數列不存在，故該選項錯誤；選項C，數列是等差數列，可設（A、B為常數），此時，，則為常數，故數列一定是等差數列，所以該選項正確；選項D，，則，當時，，此時數列可能是常數數列，故該選項正確.故選：B.8．函數在定義域上是增函數，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據導數與單調性的關系即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，即在上恒成立，所以．故選：A．9．在正方體中中，，若點P在側面（不含邊界）內運動，，且點P到底面的距離為3，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖建立空間直角坐標系，先由，且點P到底面的距離為3，確定點P的位置，然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖，以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，所以，所以，因為,所以平面，因為平面平面，點P在側面（不含邊界）內運動，，所以，因為點P到底面的距離為3，所以，所以，因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：A10．若曲線在處的切線也是曲線的切線，則實數（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【分析】求得的導數，可得切線的斜率，求出切線的方程，求得的導數，設出切點為，可得，的方程組，解方程可得．【詳解】解：曲線的導數為，可得在處的切線斜率為，切點為，則切線的方程為，設直線與相切的切點為，由的導數為，可得切線的斜率為，則，，解得，，故選：．【點睛】本題考查導數的運用：求切線方程，以及直線方程的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．11．已知直線與曲線切于點，則b的值為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】A【分析】因為是直線與曲線的交點,所以把代入直線方程即可求出斜率k的值,然后利用求導法則求出曲線方程的導函數,把切點的橫坐標代入導函數中得到切線的斜率,讓斜率等于k列出關于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切點坐標和a的值代入曲線方程,即可求出b的值.【詳解】把代入直線中,得到,求導得：,所以,解得,把及代入曲線方程得：,則b的值為3.故選：A.【點睛】此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率,是一道基礎題.12．已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設出直線方程，聯立拋物線方程，得到，進而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點坐標表示出來，結合的值即可求得答案.【詳解】設直線方程為，聯立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當時，，即直線l恒過定點，故選：A.二、填空題13．函數的單調遞增區間是_______．【答案】【分析】求出函數的定義域，并求出該函數的導數，并在定義域內解不等式，可得出函數的單調遞增區間.【詳解】函數的定義域為，且，令，得.因此，函數的單調遞增區間為，故答案為.【點睛】本題考查利用導數求函數的單調區間，在求出導數不等式后，得出的解集應與定義域取交集可得出函數相應的單調區間，考查計算能力，屬于中等題.14．設是函數f(x)的導函數，的圖象如圖所示，則的解集是___________.【答案】【分析】根據原函數與導函數的圖象關系，分類討論求解即可得到答案.【詳解】當時，，為減函數，所以，即，當時，，為增函數，所以，即，當時，，為減函數，所以，即，綜上的解集為故答案為：15．過點，且與曲線相切的直線方程為___________.【答案】或【分析】設切點，利用導數幾何意義求得切線，根據點A在切線上得到關于m的方程求m的值，即可得切線方程.【詳解】由，設切點為，則切線斜率為，所以切線方程為，又在切線上，則，所以，解得或，當，切線為，整理為；當，切線為，整理為；故答案為：或16．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若是等腰三角形，且，則的面積為___________.【答案】【分析】根據題意可知，，再結合，即可求出各邊，從而求出的面積．【詳解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面積為．故答案為：．三、解答題17．已知函數在處有極值.(1)求常數a，b的值；(2)求函數在上的最值.【答案】(1)；(2)最大值為-1，最值為-5.【分析】(1)根據給定條件結合函數的導數建立方程，求解方程并驗證作答.(2)利用導數探討函數在上的單調性即可計算作答.【詳解】（1）依題意：，則，解得：，當時，，當時，，當時，，則函數在處有極值，所以.（2）由(1)知：，，，當時，，當時，，因此，在上單調遞增，在上單調遞減，于是得，而，，則，所以函數在上的最大值為-1，最值為-5.18．如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可證得，所以以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量證明，（2）求出兩個平面的法向量，利用空間向量求解【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，.設平面的法向量為，則，令，則，∵平面，∴∥平面.（2），設平面的法向量為，則，令，則.∴.由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.19．已知函數，當時，函數有極值1.（1）求函數的解析式；（2）若關于x的方程有一個實數根，求實數m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據，可得可得結果.（2）根據等價轉換的思想，可得，利用導數研究函數的單調性，并比較的極值與的大小關系，可得結果.【詳解】（1）由，有，又有，解得：，，故函數的解析式為（2）由（1）有可知：故函數的增區間為，，減區間為，所以的極小值為，極大值為由關于x的方程有一個實數根，等價于方程有一個實數根，即等價于函數的圖像只有一個交點實數m的取值范圍為【點睛】本題考查根據極值求函數的解析式，還考查了方程的根與函數圖像交點的等價轉換，屬基礎題.20．已知等差數列公差不為0，且成等比數列.(1)求數列的通項公式及其前n項和；(2)記，求數列的前n項和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據分式的合分比性質以及等差數列的性質即可求出；（2）根據裂項相消法即可求出．【詳解】（1）由題意：，即，又∵，∴，∴，∴，.（2）因為，∴.21．已知函數.（1）若，求函數的圖象在點處的切線方程；（2）討論函數的單調區間.【答案】（1）；（2）①當時，函數的單調遞增區間是，當時，函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是，當時，函數的單調遞增區間是和，的單調遞減區間是，當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.【詳解】試題分析：（1）先對求導，則切線斜率為，再利用點斜式求切線方程即可；（2）分三種情況：，，，，分別利用求出各自的單調增區間和單調減區間.試題解析：（1）當時，，，函數的圖象在點處的切線方程為.（2）由題知，函數的定義域為，，令，解得,①當時，恒成立，則函數的單調遞增區間是.②當，即時，在區間和上；在區間上，故函數的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.③當，即時，在區間和上，；在區間上，故函數的單調遞增區間是和，的單調遞減區間是.④當，即時，在區間上，在區間上，故函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.【解析】1、利用導數求曲線的切線方程；2、利用導數研究函數的單調性.22．已知橢圓的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設斜率為k的直線與橢圓C交于兩點，O為坐標原點，若的面積為定值，判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為6【分析】（1）根據題意條件，可直接求出的值，然后再利用條