從分數知識的教學看小學教師的專業素養（上）

筆者看到了很多關于分數教學的案例，其中有一些很具有代表性.它們涉及分數的概念教學和運算教學等，既有學生的典型失誤，又有學生合乎邏輯的理解或者“可愛的錯誤的理解”；既有教師教學處理的功底和機智，也有教師的無奈和現場的尷尬.案例1：能用表示嗎？[1]在一節“真分數、假分數和帶分數”的公開課教學中，在引導學生初步建立了真分數、假分數和帶分數的概念后，教師組織學生進行應用練習：用分數表示圖1中的陰影部分.師：（出示圖1）陰影部分可以用哪個分數表示？生1：.學生都沒有異議，但還有不少學生舉著手.生2：.學生同樣沒有異議，教師也肯定了生2的答案.在教師剛想轉入對下一個圖的討論時，發現還有幾個學生高舉著手.生3：我認為還可以用表示.教室里頓時安靜下來，不少學生的臉上露出疑惑不解的神情.聽課教師的臉上同樣露出疑惑的神情.師：（驚訝地）還可以用表示？能說說你的想法嗎？生3：我是把3個三角形看做一個整體，平均分成6份，陰影部分表示其中的5份.在學生表述的過程中，教師把3個三角形圈了起來（如圖2），并表示贊同生3的意見.這時，聽課教師開始躁動起來.“能用表示嗎？”他們在小聲議論著.生3的發言剛結束，有學生不等教師同意就開始發表自己的意見.生4：我認為還可以用表示.這下，教師也愣住了，教室更加安靜了，學生們再一次睜大了眼睛.聽課教師也再次安靜了下來.生4：我是把其中的2個三角形看做單位“1”，平均分成4份，陰影部分表示這樣的5份.這時，教師腦海中閃現的是“2的就是”，于是馬上肯定了這個學生的意見.聽課教師再次躁動起來，議論的聲音更大了……課后，不少教師對上述教學提出異議，認為圖中的涂色部分“不能用表示”“用表示毫無道理”，這這樣教會把學生“越教越糊涂”.學生表示為或是不是毫無道理？這樣教會不會把學生越教越糊涂？導致這些情況的原因是什么？該案例中學生的主動建構活動均有其道理，教師對待學生的民主態度也有其可圈可點之處，授課教師較好地處理了第一個學生關于的回答.而聽課教師不僅觀念落后，并且不能以數學的眼光去分析數學課堂.聽課教師和授課教師的“驚訝”“愣住”“疑惑”“躁動”“安靜”“再躁動”等表明，所有教師都把一道開放題當做封閉題來處理了.教師把1個三角形抽象為單位“1”，但只在心里作了這樣的潛在假設，而在題目中沒有明確交代，這樣歪打正著，這一疏忽引出了一堂開放課.關鍵是教師的數學理解有問題，本來題目就是開放的，答案并不唯一.另外，該案例也說明教師對學生的內心世界缺乏了解，具體表現在對單位“1”的認識上.顯然，把整體看成“1”并不是那么簡單的，它的數學化過程既有抽象性，又有相對性，應該是豐富多彩的，這也正是分數的本質特征之一，即分數作為一種“數”，“其本身既表示一個絕對的量，又表示一個相對的量”，這說明老師對學生的理解存在教育心理學層面的“欠缺”.特別是，主動開放的課堂和被動的補救是有區別的，前者對數學抽象和對問題的開放性有深刻的認識，即使學生的活動失于封閉，也能主動啟發學生作開放性的思考；后者則是對突發事件的藝術處理.顯然，只有開放的理念并不夠，還要有過硬的數學學科功底作保證.這樣的學科層面挑戰的例子下面我們還會看到很多.生1：你從2份“半個西瓜”中取出1份，我也從2份“半個西瓜”中取出1份，合起來就是從4份“半個西瓜”中取出2份.這個學生還畫出下面的圖3來作說明.老師解釋說：應從同一個西瓜中各取一半，不能從兩個西瓜中分別去取，并且每個人所取到的都是半個西瓜，兩半合到一起就是一個西瓜，應是+=1.生2：我們小組有一半是男生，另一小組也有一半是男生，合成一大組后，男生還是占一半呀.生3：萬一有一半取自大西瓜，有一半取自小西瓜，合起來也得不出一個西瓜呀.會不會你的比我的大？教師感到現在教學開放了，學生思維活躍了，課也難上了.同上面的案例一樣，讓學生理解整體“1”并不容易，其數學化有一個漫長的過程.但本案例主要體現在教師不能區分生活和數學之間的界限，當教師每次企圖拿數學來向學生解釋答案是“1”的合理性時，學生總拿生活中的反例去反駁，他在學生的“生活化反駁”中，找不到該問題的“數學本質”了.實際上，一方面數學教學的情境化取向、生活化取向體現了數學活動的思維規律，體現了理論聯系實際的合理性；另一方面數學教學既要走進現實生活又要超越現實生活，既要貼近學生的生活又要豐富學生的生活.用“三個世界”的分析框架來說，就學生和教師的“生活世界”“數學世界”“教學世界”而言，要求我們必須通過設計“教學世界”來借鑒“生活世界”，將“數學世界”中的學術形態轉變為“教學世界”可接受的形態，能夠分離“情境”和“數學模式”，這便是“作為教育任務的數學”的一個重要使命.但今天的數學課堂乃至很多其他學科的課堂中，過于情境化的現象普遍存在，“去數學化”或“去學科化”的情勢愈演愈烈，這對數學教育和課程改革都是不利的.教師老想通過生活中的西瓜去解釋數學中的和為1，從而把自己推上了尷尬的境地.簡言之，應盡力防止過于情境化和“去數學化”現象.該案例中，有一個細節給我留下了深刻的印象，就是生1用畫圖的方式向老師解釋自己答案的合理性，其他學生用生活例子反駁老師，這正是老師應該向學生學習的地方.學生用多重表征方式解釋結果，雖然答案是錯誤的，可老師不應肯定學生說理的方式并向他們學習嗎？當學生不理解數學概念、原理、法則時，你會多重解釋嗎？教師個人多元表征的“元”有多少？是否靈活貫通？案例3：分數除以整數的教學案例[2]師：同學們認為÷2的計算方法有這樣四種，你能用已經學過的知識和手中的材料，來驗證這四種方法中哪些是正確的，哪些是錯誤的嗎？（學生通過折一折、涂一涂等方法進行驗證和獨立思考后，教師組織交流討論）生6：我探究的是生2的計算方法，我認為他的計算方法是錯誤的，因為根據分數的基本性質，分子和分母同時除以2，分數的大小不變，它的商仍舊是（生8和下面的生9有類似的操作展示，如圖4）師：通過剛才的交流，你能用自己的語言說說上面這三種方法是怎樣的嗎？同桌可以討論交流.生10：分數除以整數可以把分數轉化成小數，再用小數除以整數計算.生11：分數除以整數等于分子除以整數，分母不變.生12：還可以這樣計算：分數除以整數等于分數乘以這個整數的倒數.師：是呀，生3和生4的方法在這道題中都遇到了新問題，根據我們現在的知識還不能解決，那么生5的方法是不是一定正確呢？你能用手中的材料驗證它嗎？（學生再次利用材料動手驗證，然后反饋交流）教師用÷2這一個題目（引導性的問題），和學生展開深度的有層次的交流，教師有序地引導學生去偽存真、去粗取精、由淺入深，促成了學生對法則的自然發現.理解法則就更不用說了，因為學生又用它處理了÷3.整堂課練習量極少，而思維密度極大，教師高明的追問和巧妙的啟發躍然紙上.本案例中教師以問題作為導向，以“請大膽猜一猜計算方法”“你能用已經學過的知識和手中的材料，來驗證這四種方法哪些是正確的，哪些是錯誤的嗎”