二、極大似然估計法一、矩法估計第七章參數估計三、估計量的評選標準四、置信區間當前1頁，總共57頁。參數估計參數估計問題是利用從總體抽樣得到的信息估計湖中魚數……估計平均降雨量來估計總體的某些參數或者參數的某些函數。統計推斷：參數估計和假設檢驗。當前2頁，總共57頁。參數估計要解決問題:總體分布函數的形式為已知,需要確定未知參數。但其中參數θ未知時，這類問題稱為參數估計問題。只有當參數θ確定后，才能通過率密度函數計算概率。對于未知參數，如何應用樣本所提供的信息去對其一個或多個未知參數進行估計。當前3頁，總共57頁。

參數估計是對已知分布類型的總體，參數估計點估計區間估計矩估計極大似然估計參數估計可作如下劃分利用樣本對其未知參數作出估計當前4頁，總共57頁。

1.矩估計2.極大似然估計3.最小二乘法4.貝葉斯方法……這里我們主要介紹前面兩種方法.尋求估計量的方法當前5頁，總共57頁。點估計問題：構造一個適當的統計量用它的觀察值來估計未知參數θ.

稱為θ的估計量，為θ的估計值.參數估計：點估計:估計θ的具體數值;區間估計:估計θ的所在范圍.當前6頁，總共57頁。第七章第一節矩法估計二、常用分布參數的矩法估計一、矩法估計當前7頁，總共57頁。一.矩估計法故用樣本矩來估計總體矩基本原理：總體矩是反映總體分布的最簡單的數字特征，當總體含有待估計參數時，總體矩是待估計參數的函數。樣本取自總體，樣本矩在一定程度上可以逼近總體矩，由英國統計學家K.皮爾遜最早提出的。當前8頁，總共57頁。其中是待估參數.為來自的樣本,存在,設總體的k階矩則樣本的k階矩(由大數定理)令從中解得k個方程組即為矩估計量。矩估計量的觀察值稱為矩估計值。設總體X的分布函數為當前9頁，總共57頁。矩估計步驟：連續型離散型當前10頁，總共57頁。所以參數p的矩估計量為例：總體X的分布列為：

是來自總體X的樣本，解：由于總體X的分布為二項分布，當前11頁，總共57頁。設某炸藥廠一天中發生著火現象的次數X例1服從當前12頁，總共57頁。下面我們通過幾個例子說明利用矩估計法求未知參數的過程。二、常用分布常數的矩法估計當前13頁，總共57頁。例2解當前14頁，總共57頁。注:

總體均值方差的矩估計量與總體分布無關。做矩估計時,也可用中心矩建立關于未知參數的方程組，因而矩估計不唯一。λ未知，求參數λ的矩估計。例3解：當前15頁，總共57頁。解不合格品率p的矩法估計

分析設總體X為抽的不合格產品數，相當于抽取了一組樣本X1，X2，…，Xn,且因p=EX,故p的矩估計量為設某車間生產一批產品，為估計該批產品不合格品(即出現不合格產品的頻率).例4率，抽取了n件產品進行檢查.當前16頁，總共57頁。例5解當前17頁，總共57頁。當前18頁，總共57頁。θ是未知參數，X1，X2，…,Xn，是X的一組樣本，解設總體X的概率密度為解得例6求θ的矩估計量.當前19頁，總共57頁。其中θ＞0，μ與θ是未知參數，X1，X2，…,Xn，是X的一組樣本，求μ與θ的矩估計量.解例7.

設總體X的概率密度為令當前20頁，總共57頁。令注意到DX=E(X2)－(EX)2=θ2=θ2+(θ+μ)2當前21頁，總共57頁。第七章第二節極大似然估計極大似然估計當前22頁，總共57頁。極大似然法的基本思想先看一個簡單例子：一只野兔從前方竄過.是誰打中的呢？某位同學與一位獵人一起外出打獵.如果要你推測，你會如何想呢?只聽一聲槍響，野兔應聲倒下.當前23頁，總共57頁。基本思想:若事件Ai發生了,則認為事件Ai在這n個可能結果中出現的概率最大。極大似然估計就是在一次抽樣中,若得到觀測值則選取若一試驗有n個可能結果現做一試驗,作為θ的估計值。使得當時,樣本出現的概率最大。當前24頁，總共57頁。極大似然估計法:設是的一個樣本值事件發生的概率為為的函數，形式已知(如離散型)X的分布列為的聯合分布列為：為樣本的似然函數。定義7.1當前25頁，總共57頁。即取使得：與有關,記為稱為參數θ的極大似然估計值。稱為參數θ的極大似然估計量。達到最大的參數作為θ的估計值。現從中挑選使概率樣本的似然函數當前26頁，總共57頁。若總體X屬連續型,其概率密度的形式已知，θ為待估參數；則的聯合密度：一般，關于θ可微，故θ可由下式求得：因此的極大似然估計θ也可從下式解得：在同一點處取極值。當前27頁，總共57頁。當前28頁，總共57頁。故似然函數為例1設是來自總體X的一個樣本，試求參數p

的極大似然估計值.解：設是一個樣本值。X的分布列為：而令當前29頁，總共57頁。它與矩估計量是相同的。解得p的極大似然估計值p的極大似然估計量令解得當前30頁，總共57頁。設總體X的分布列為：是來自總體X的樣本，求p的極大解：似然函數為似然估計值。例2當前31頁，總共57頁。令即所以參數的極大似然估計量為當前32頁，總共57頁。解例3設X1,X2,…,Xn

是取自總體X

的一個樣本,，求參數λ的極大似然估計值。似然函數為:當前33頁，總共57頁。例4設未知，是一個樣本值求的極大似然估計量.解

設的概率密度為：似然函數為當前34頁，總共57頁。等價于因為對于滿足的任意有即時,取最大值在似然函數為當前35頁，總共57頁。故的極大似然估計值為:故的極大似然估計量為:即時,取最大值在似然函數為當前36頁，總共57頁。今取得一組樣本Xk數據如下，問如何估計θ？162950681001301402702803404104505206201902108001100某電子管的使用壽命X（單位：小時)服從指數分布例5指數分布的點估計

分析

可用兩種方法：矩法估計和極大似然估計.當前37頁，總共57頁。1）矩法估計當前38頁，總共57頁。2）極大似然估計構造似然函數當xi>0,（i=1,2,…,n)時，似然函數為取對數建立似然方程當前39頁，總共57頁。5.得極大似然估計量：求解得極大似然估計值當前40頁，總共57頁。似然函數為：例6設為未知參數，是來自X的一個樣本值，求的極大似然估計值。解：X的概率密度為：當前41頁，總共57頁。解得：令即：當前42頁，總共57頁。

注：lnx是

x

的嚴格單增函數，lnL與L有相同的極大值，一般只需求lnL的極大值.求極大似然估計的一般步驟：寫出似然函數2.對似然函數取對數3.對i(i=1,…,m)分別求偏導,建立似然方程(組)解得分別為的極大估計值.當前43頁，總共57頁。例7

矩估計與似然估計不等的例子設總體概率密度為求參數θ的極大似然估計,并用矩法估計θ.解

1)極大似然估計法構造似然函數2.取對數：當0<xi<1,(i=1,2,…,n)時當前44頁，總共57頁。2.取對數：當0<xi<1,(i=1,2,…,n)時建立似然方程求解得極大似然估計值為5.極大似然估計量為當前45頁，總共57頁。2)矩估計法當前46頁，總共57頁。1.矩法估計量與極大似然估計量不一定相同；2.用矩法估計參數比較簡單,但有信息量損失；3.極大似然估計法精度較高,但運算較復雜；4.不是所有極大似然估計法都需要建立似然方程小結求解.當前47頁，總共57頁。解例6.

不合格品率的矩法估計

分析設總體X即抽一件產品的不合格產品數，相當于抽取了一組樣本X1，X2，…，Xn,且因p=EX,故p的矩估計量為設某車間生產一批產品，為估計該批產品不合格品率，抽取了n件產品進行檢查.(即出現不合格產品的頻率).當前48頁，總共57頁。不合格品率p的估計設總體X是抽一件產品的不合格品數，記

p=P{X=1}=P{產品不合格}則X的分布列可表示為現得到X的一組樣本X1，X2，…,Xn的實際觀察值為x1,x2,…,xn,則事件{X1=x1，X2=x2，…,Xn=xn}例7出現的可能性應最大,其概率為當前49頁，總共57頁。應選取使L(p)達到最大的值作為參數p的估計.當前50頁，總共57頁。令解得（頻率值）注意到當前51頁，總共57頁。其中θ＞0，μ與θ是未知參數，X1，X2，…,Xn，解設總體X的概率密度為是X的一組樣本，求μ與θ的矩估計量.例8當前52頁，總共57頁。令注意到DX=E(X2)－[E(X)]2=θ2=θ2+(θ+μ)2當前53頁，總共57頁。例9

均勻分布的極大似然估計設樣本X1，X2，…，Xn來自在區間[0,]上均勻分布的總體X,求的極大似然估計.解