第一章微積分1.5不定積分主要教學內容：原函數與不定積分的概念基本積分公式表不定積分的線性運算換元法分部積分法積分表的使用1.5不定積分§1.5.1原函數與不定積分1.基本概念2.不定積分的幾何意義3.積分與微分的關系1.5不定積分1.基本概念

在小學和中學我們學過逆運算，例如：加法的逆運算是減法;乘法的逆運算是除法;

指數的逆運算是對數等。1.5不定積分微分是否有逆運算？若有,是什么？微分法：互逆運算積分法:1.5不定積分微分有逆運算，不定積分是微分的逆運算！

定義1

設在區間內有定義,若存在函數使得則稱為在內的一個原函數。（原函數是整體性質）（導函數也是整體性質；導數？）1.什么條件下函數存在原函數？

2.若有原函數，共有多少？

3.的任意兩個原函數之間有何關系？1.5不定積分說明：1.原函數存在定理：連續函數一定有原函數。

2.若，則對任意常數，都是的原函數。例如：表明是的一個原函數,而對任意常數都有，因此的原函數不惟一，有無窮多個。

3.設都為的原函數，則。1.5不定積分1.5不定積分定義2

若為的一個原函數，則的所有原函數稱為的不定積分，記為積分號被積函數被積表達式積分變量一個原函數任意常數符號說明

1.5不定積分例1已知，求計算不定積分時，只需找到一個原函數，再加任意常數即可。檢驗不定積分運算是否正確，只需求導驗證。例2已知，求解：

解：1.5不定積分一個原函數對應于一條積分曲線不定積分則對應于積分曲線簇——無數條積分曲線被積函數對應于積分曲線在各點的切線斜率

——同一橫坐標處，切線平行2.不定積分的幾何意義

若為的一個原函數，則稱的圖像為的一條積分曲線。1.5不定積分將代入上式,例3

已知曲線在任意一點處的切線斜率為，且曲線通過點,求曲線方程。解：依題意

因此這樣的曲線有無窮多條，而其中通過的曲線只有一條，因此得故通過的曲線方程為

1.5不定積分例4

求解：而這是因為即不定積分答案形式不惟一，但本質是一樣的!13關于“不定積分”與“原函數”的聯系和區別的原函數，是求導以前“原來的函數”；而的不定積分，是的“全部原函數”，它可以表示為“的一個原函數加任意常數C”的形式。14

為了讓文科學生形象地理解“的原函數”的概念，我們用“填空”的方式來說明“原來的函數”的含義：的括號中需要填的，就是的原函數——。15

的不定積分，是一個集合，是的“全部原函數”的集合，它的表現形式是“+C,C是任意常數”，其中是的任意一個原函數。既然是的“任意”一個原函數，所以解答的表現“形式”，某人可能與別人不一樣，但也許都是正確的；因為雖然其中的“一個原函數”兩人選得不同，可是加上任意常數C以后，表達的“的全部原函數”的集合就完全一樣了；并且，兩人選得不同的“一個原函數”，其間也僅僅相差某一個常數。16

這里體現了“形式與本質”的矛盾統一，并且通過“加常數C”的途徑發生轉化。如果文科學生對此理解有困難，下面就用具體的例子來說明上面一般的道理。17

例：

這是因為。18但，因而我們又有。19

此例表明，不定積分的答案“形式”往往不止一個；現在由于與都是的原函數，所以兩個答案都是正確的。又由于，于是，兩人選擇的不同原函數之間僅僅相差一個常數。20

再請看這兩個原函數與的圖象，就更加清楚了。21這兩個原函數的圖像可以通過“上下平移”互變,表明這兩個函數在任一點的函數值都只相差一個常數

。22

下面請學生想象：“的全部原函數”的圖像應該是什么樣子的？并請學生舉手表述，把思維轉化為語言。242526

由此可以恍然大悟：不定積分

的答案，原來是“一簇”函數，是包含無窮多函數的一個集合。這樣，大家不但對“全部原函數”的概念具體化了，而且對該概念中“形式與本質”的矛盾統一，以及對于它們如何通過“加常數C”的途徑發生轉化，理解得更加深刻了，全面了。1.5不定積分3.積分與微分的關系

以前接觸的運算，先做運算再做逆運算相當于沒有變化，例如：不定積分是微分的逆運算，對函數進行先微分再積分的運算和先積分再微分的運算，函數是否也沒有變化？設為的一個原函數，1.5不定積分先微分再積分先積分再微分

結論：1.5不定積分§1.5.2基本積分公式表

由于微分與積分是互逆運算，因而利用導數公式即可求出基本初等函數的不定積分公式。1.5不定積分

1.5不定積分

1.5不定積分例5

求解：原式1.5不定積分§1.5.3不定積分的線性運算

對比求導運算中的公式不定積分也有類似運算1.5不定積分例6求解：原式注：本題化為五個積分，應出現五個任意常數，但由其任意性，可寫成一個任意常數。1.5不定積分例7求解：原式例8求解：原式1.5不定積分例9求解：原式例10求解：原式1.5不定積分利用前幾節學過的知識無法解決上述問題，因此要引入新的方法—換元法。§1.5.4換元法

問題引出：求（提示：）換元法第一換元法—湊微分法第二換元法1.5不定積分1.第一換元法—

湊微分法

形如注：1.驗證。2.不要忘記將換回！

3.適用范圍：被積函數不好積，但是f好積。

4.方法要點：找出f；湊出u。適用情況：具體方法：1.5不定積分例11求解：原式1.5不定積分例12求此題可用兩種方法求解。方法一：（直接用第一換元法）原式1.5不定積分方法二：（利用三角函數倍角公式）原式發現：兩種方法得出答案形式上不一樣，但本質一樣，你可算算看！又是“形式與實質的矛盾統一”！1.5不定積分例13求解：原式熟練掌握“湊微分法”后,中間換元的步驟可以省略。1.5不定積分例14求解：原式例15求解：原式1.5不定積分例16求解：原式例17求解：原式1.5不定積分例18求解：原式1.5不定積分例19求解：原式但是若遇到這樣的題：我們無法應用上述方法，需要引入第二換元法。1.5不定積分2.第二換元法被積函數中含有具體方法：適用情況：注：1.單調可導。

2.不要忘記最后將中間變量換回原始的積分變量！

3.適用范圍：被積函數含有四種根式之一。

4.方法要點：記住四種換元（參考以下四個例題）。1.5不定積分例20求解：原式1.5不定積分例21求解：利用79頁公式做后，介紹一種直觀的圖解法，作一個直角三角形，其中一銳角為三邊為將代入原式有由圖可見，

1.5不定積分例22求解：做后，由圖可見原式綜上，

1.5不定積分例23求解：利用79頁公式做后，介紹圖解法由圖可見原式

1.5不定積分§1.5.5分部積分法有連續導數，當不易計算，而比較容易計算時。適用情況：具體方法：這就是分部積分公式1.5不定積分設具有連續導數，則即兩邊寫成微分形式，再同時取積分，得到分部積分公式（用一分鐘，背下公式）分部積分公式關鍵是選擇適當的和。一般地，按照指數函數、三角函