，（是常，af()（、n，（是常，af()（、n本章復習小結（2）一、遞推系通項公式求法：模式一：形如

n

f(n)n

遞推式。由累加法可得通項公式為：fnf(n

。例1．（2007

北京高考題）數列n

a1

cncn數，

n

），且

，a，13

成公比不為1的等比列．（I求c的值；（）求n

項公式模式二形如

n

fn)n

遞推式。由

n

f(n)n

得

nn

f(n)

使用累乘法可得

n

1

f(

(1)

。例

2．知數列{}滿足，n

1

，

nnn

，求通項公式。n模式三：如

n

n

（其中、

為常數）遞推式，通解法是設

n

(n

，求出，因

{

nn

}

是等比數列則可求出項公式。例

全國高考卷Ⅰ知列n

1n

an

，

．I求n

項公式；（II）略。模式四如

n

n

（其中為常數遞式，

n

n

為常數）是其特殊情。后者的等式兩邊同除以n，得

n

an

，令

n

n

，則可化歸為

n

n

（、為常數）型。不得用于商業用途

f(n)g(n)f(n)g(n)n，且{}a{a例

4．（

天津高考題）在數列n

中，aa1

n

n

n

)

，其中0．（求數列n模式五形如nn

項公式；（II）略；（其中為常數遞式設數列

{()}

，使

f()

(n)則h()(n(

()n

，即

nng()n

，令)nn

，則

n

g(nn

，即已化為模式一。例．已知數列n

n

nan1

，求數列n

公式。模式六：形如

a

n

a且n

遞推式，它的推廣形為

a

n

a

n

f(n

。通過對等式兩邊取數，得

lga

n

algn

，再令

an

n

，即轉化為類型一例

6．知數列滿n

n

n

2

，求

n

。模式七：如可變形為n

n

n

n

（其中、是不為的常數）遞推式，

n

n

)n

，則

n

}n

是公比為

的等比數列，這就轉為了模式三。例7．（2006福文科高已知數列n

滿足a1

n

n

n

,

n

。I略；（II求數列n

項公式；模八：形如

nn

n

n

及變形形式

n

nn

和

n

n

n不得用于商業用途

{}annna，{}annna，

（其中、是不為的常數）遞推式。對

n

n

n

兩邊同除以an

n

，再令

n

n

，

n

n

，即化為等差數列形。例

重慶高考題滿足n1

nn

n

n記

(

（略；（Ⅱ）求數列

{}n

的通項公式及數列

{}nn

的前n

項和

模式九形如

f(n)n

n

()an

n

(n

（其中

f(n

）遞推式，它是模式八的推廣。通兩除

aa

n

，得

f(n)g(n()nn

，有

n

g)h(n)，再令1f()f()an

，得

n

n

()()f()f()

，這就化為了模式五例9．（2006江西高題）已知數列｛

｝滿足

，且n

a

nn

(N

)

，（I求數列a｝的通項式；（）略。解：（I）將條件變為：

1

nn)a3n

，因此

n{1}an

為一個等比數列首項為

1－

＝公比從而3

n1an

據此可得

n

(n

.模式十形如

a

n

n

2

n

（其中、不為零常數遞推式，將原式轉化為

a

n

(an

2

，然后再通過迭代進求解。例10．（

江西高考題）已知數

{}的各項都是正數且滿:n0

，

).N.

（1）；（2）求數列

{}n

的通項公式

a.模式十一形如

n

nn

（、、、為常）遞推式，解常不得用于商業用途

xxn1xx，記{}{}時，僅供個人參考xxn1xx，記{}{}時，解法為：先設函數

f()

，視

n

、

n

為得到特征方程

x

，再以此方程的解的情況求解。若此方程無解，則此數列為循環數；若特征方程

x

有兩個不等的實根

1

、，則2

n

nn

可變形為n1an

（其中

k

12

）；若特征方程

x

有兩個相等的實根，則0

n

nn

可變形為

n

1xax00

（其中為常數）。例11．已知數列｛｝滿足

1

a

n

anan

，求

a.模式十二形如

（其中、

為非零常數）遞推式例（四川考題）已知函數

f(

2

，設曲線

f(x)

在點

(xf())n

處的切線與軸的交為

(x

n

,0)(nN)

中

1

為正實數（Ⅱ）略；（Ⅲ）若

x1n

xnxn

，證明數列成等數列，并n求數列的通項公。n二、例析列求和的常方法數列求和是數列教學容的中心問題之一，也是近年高考命題的一個熱點問題。掌握些求和的方法和技巧可以提高解決此問題能力。本文例析了一些和的方法，僅供參考。（一）倒序相加法：一個數列倒過來排序（倒序），當它與數列相加時，若有因可提，并且剩余的項的和易于求得，則這的數列可用倒序相加法和。如等差數列的求和公式

S

()n

的推導。例．已知

f(x)

滿足

x,xR

，當

x()()12

12

，若不得用于商業用途

，求n{}{}{}的前項和n{}a，求n{}{}{}的前項和n{}a)n2(n2)n{}{}{}Sn{}12Sff()()f()fnNSnn

n（二位相減法是推導等比數列的前項和公式時所用的法，這種方法主要用于求列列和等比數列。

的前項和其中分別是等差數nnn例

2．數列

{}S

n

。（三）分組求和法所謂分組求和法，即將一個數列中的項拆成項，轉化成特殊數列和。例

3．知數列滿

，求其前項和。n（四）公式法（恒等法）：利用已知的求和公式來求和，如差數列與等比數列求公式，再如

1

(n

、

(n

等公式。例．求數列和。（五）拆項（裂項）消法：若列能裂項成

f(f()n

，即所裂兩項具有傳遞（即關于的鄰項，使展開后中間項能全部消去）。例

5．知數列滿nn

(

，求數列的前項和n

n（六）通項化歸法：把數列的通項公式先求出來，再利用數的特點求和。例．求數列

1,

,11

的前項和

n（七）并項法求和：數列求和中，若出現相鄰兩項（或有一規律的兩項）和為常時，可用并項法，但要注意的奇偶性。例

7．知數列

n

n

n

，求數列的前項

100不得用于商業用途

n{}n{}T{}n{}n{}T{}{}，求其前項（八）奇偶分析項：數列中的項有符號限制時，應分為奇數偶數進行討論。例

8．

an

n

(43)

，求數列的前n（九）利用周期性求若列，有

n

a

n

（其中

N

0

,

0

為給定的自然數，）則稱數列為周期數列，其中n

T

為其周期。例

9已知數列{}中n

a2,a1

n

1an

，求其前項的和

.（十）導數法：用數的求導來計算數列的和。例

10．求數列{}項和S

，其中

nsinnxn

.（十一）待定系數法若數列和是一個多項式，可以考慮用定系數法。例

11求，，5，，

(2n1)(2

的和

n（十二）組合數法例12．求數列1，，2，（十三）極限法求和

1

的和例

13已知在數列{}中n

n

，求數列的所有和n

。（十四）歸納、猜想證明法.例

14．已知數列

88,,1222(22(2

2

,n

n不得用于商業用途

僅供個人參考僅供個用學習、究不得用商業用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pour