結構力學力法演示文稿當前1頁，總共132頁。（優選）結構力學力法當前2頁，總共132頁。主編：文國治副主編：陳名弟土木工程指導性專業規范系列教材

出版社2023年3月23日結構力學當前3頁，總共132頁。基本要求

掌握力法的基本原理，會用力法計算超靜定結構在荷載作用下以及支座移動、溫度變化時的內力;會計算超靜定結構的位移;了解超靜定結構的力學特征。重點

判定超靜定次數、選取力法基本體系、建立力法基本方程；荷載作用下超靜定結構的力法計算及內力圖繪制與校核。難點

根據已知變形條件建立力法基本方程；利用對稱性取等效半結構；理解計算超靜定結構位移時虛擬狀態的設置。本章小結

第5章力法

§5-1超靜定結構概述§5-2力法的基本原理§5-3力法的基本體系及基本方程§5-4

用力法計算荷載作用下的超靜定結構*§5-6用力法計算荷載作用下的超靜定拱§5-7用力法計算支座移動和溫度變化時的超靜定結構§5-5對稱結構的簡化計算§5-8超靜定結構的位移計算§5-9超靜定結構內力圖的校核§5-10

超靜定結構的一般特性當前4頁，總共132頁。

5.1超靜定結構概述5.1.1超靜定結構

從本章起，將講述超靜定結構內力和位移的解法。超靜定結構經典的基本解法有力法和位移法兩種。本章首先介紹力法。

在力法計算中，把多余未知力作為基本未知量，以解除了多余約束的靜定結構作為力學分析的基礎，由變形協調條件建立力法方程，從而求出多余未知力。1）超靜定結構的幾何組成和靜力特性由幾何組成分析，有多余約束的幾何不變體系為超靜定結構。由靜力特性分析，超靜定結構中的多余約束使其明顯區別于靜定結構，即無法僅通過靜力平衡條件得到其全部的反力和內力,必須補充變形協調條件方能求得唯一解。圖5.1超靜定結構示例當前5頁，總共132頁。2）超靜定結構的類型圖5.2超靜定結構示例（續）（5）超靜定拱，如圖5.2(c)所示。（1）超靜定梁，如圖5.1(a)所示；（2）超靜定剛架，如圖5.2(a)所示；（3）超靜定桁架，如圖5.1(b)所示；（4）超靜定組合結構，如圖5.2(b)所示；§5.1超靜定結構概述當前6頁，總共132頁。

超靜定結構的必要約束是維持其幾何不變所必需的。因此，在解除某約束前應首先判定該約束是否為必要約束，不能將必要約束誤當作多余約束解除.5.1.2超靜定次數和多余未知力的確定1）超靜定結構的多余約束和必要約束多余約束的存在使超靜定結構中需要求解的未知反力或內力的總數，多于獨立的靜力平衡方程的總數。多余約束中的內力或反力統稱多余未知力（或稱基本未知力、力法的基本未知量），用Xi（i=1,2,…,n）來表示。解除多余約束后，可以暴露出其內傳遞的多余未知力，如圖5.1(c)和(d)所示。如能設法求出全部多余未知力，則解超靜定結構將與解靜定結構無異。§5.1超靜定結構概述當前7頁，總共132頁。

解除多余約束法—確定超靜定次數和多余未知力的方法。即解除超靜定結構中全部的多余約束，并根據其約束效果代以相應的多余未知力。當原結構最終成為靜定結構時，所得多余未知力的個數即為超靜定次數。此外，若僅需確定結構的超靜定次數n，則可直接利用公式(2.3)

W=-n

計算。2）超靜定次數和多余未知力的確定方法超靜定次數—超靜定結構中多余約束的個數，用n表示。確定超靜定次數和多余未知力是力法關鍵的第一步。根據第2章所述各類約束的約束效果，易得各種多余約束對應的多余約束數，及解除它們后暴露出的多余未知力，如表5.1所示。從表5.1中還可以看出，解除內約束將暴露成對出現的多余未知內力，而解除外約束會暴露單個出現的多余未知反力。§5.1超靜定結構概述當前8頁，總共132頁。§5.1超靜定結構概述當前9頁，總共132頁。1）去掉支座處的一根支桿或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個約束，如圖5.2（a）、（b）所示。圖5.2

X1X1X2§5.1超靜定結構概述當前10頁，總共132頁。2）去掉一個固定鉸支座或去掉一個單鉸，相當于去掉兩個約束，如圖5.3(a)、（b）所示。圖5.3

(a)(b)X1X1X2X2X1X2§5.1超靜定結構概述當前11頁，總共132頁。3）去掉一個固定端支座或切斷一根梁式桿。相當于去掉三個約束，如圖5.4所示。圖5.4

X1X2X3X1X2X3X1X2X3§5.1超靜定結構概述當前12頁，總共132頁。

4）將一個固定端支座改為固定鉸支座(定向支座)或將一剛性連接改為單鉸連接（雙連桿約束），相當于去掉一個約束，如圖5.5所示。

圖5.5

X1§5.1超靜定結構概述當前13頁，總共132頁。

解除超靜定結構多余約束的方法并不唯一，例如圖5.3(a)所示的超靜定剛架，可以按圖5.3(b)、(c)和(d)等方法解除多余約束，去多余約束后得到的靜定結構分別為簡支剛架、三鉸剛架和懸臂剛架。該例還表明，超靜定次數不會因為解除多余約束方法的改變而改變。圖5.3超靜定結構解除多余約束示例§5.1超靜定結構概述當前14頁，總共132頁。圖5.7

2)必須去掉全部多余約束。如圖5.7所示必須把閉合框架切開才成為靜定結構。圖5.6

注意：1)去掉的約束必須是多余約束。即去掉約束后，結構仍然是幾何不變體系，結構中的必要約束是絕對不能去掉的。如圖5.6(a)所示豎向支桿不能作為多余約束。

§5.1超靜定結構概述當前15頁，總共132頁。

5.2力法的基本原理

5.2.1力法的基本原理將超靜定結構的求解問題轉化為靜定結構的求解問題，是力法的基本思路。通過解除多余約束，可將超靜定結構變為靜定結構。但欲求得暴露出的多余未知力需應用變形協調條件。多余未知力一旦解得，超靜定問題向靜定問題的轉化即告完成。可見，求出多余未知力是解超靜定結構的關鍵。下面通過一個簡例來說明力法的基本原理。圖5.4(a)所示的單跨超靜定梁，超靜定次數n=1，跨中受豎向集中力FP作用。超靜定結構解除多余約束后對應的靜定結構，稱為力法的基本結構，圖5.4(b)所示的懸臂梁，就是圖5.4(a)所示超靜定原結構的力法基本結構。圖5.4力法的基本原理示例當前16頁，總共132頁。圖5.4力法的基本原理示例如將原結構所承受的外因（如荷載、溫度變化、支座移動等），與力法的基本未知量全部作用于力法基本結構上，則形成力法的基本體系，圖5.4(c)就是圖5.4(a)所示原結構的力法基本體系。

基本體系應與原結構受力等效和變形協調，但只有當多余未知力X1為一個合適的數值時，基本體系B端的豎向位移DB才能與原結構B處一樣，即△B=0。否則，基本體系將無法在變形上等效原結構。因△B與X1之間有廣義位移和廣義力的對應關系，所以一般將△B寫作△1，如圖5.4(c)所示。而△B

=△1=0這一條件，就可用作為求解X1時所需補充的變形協調條件。§5.2力法的基本原理當前17頁，總共132頁。

該方程即一次超靜定結構力法的基本方程(力法的典型方程),其中的△11和△

1P分別稱為系數和自由項。

力法基本方程中的系數和自由項，實質都是基本結構中的位移，根據單位荷載法中虛設力狀態與實際位移狀態間的關系，可得d11和△1P的求取方法，具體為：令X1=1作用于基本結構，繪出單位荷載彎矩圖(圖)，如圖5.5(a)所示；再將外荷載單獨作用在基本結構上，繪出荷載彎矩圖（MP圖），如圖5.5(b)所示；將圖“自乘”（即用MP圖的面積乘以圖形心上的豎標）可得d11，將圖與MP圖互乘可得△1P。圖乘結果為圖5.5疊加法繪彎矩圖§5.2力法的基本原理當前18頁，總共132頁。X1為正值，即基本體系中所設X1方向與實際方向相同,向上。將求得的系數和自由項代回基本方程式（5.1）中，解得圖5.5疊加法繪彎矩圖§5.2力法的基本原理當前19頁，總共132頁。

一旦多余未知力被解出，基本結構中剩余的反力和內力，就完全可以作為靜定問題來求解。為求出基本體系的最終彎矩圖M，可再次利用疊加法（5.2）

也就是將圖的豎標乘以X1倍后，再與MP圖對應位置處的豎標疊加，即得基本體系在X1和FP共同作用下的彎矩圖。例如，截面A的彎矩為（上側受拉）

由于基本體系在受力上等效于原結構，這一彎矩圖也就是原結構的彎矩圖，如圖5.5(c)所示§5.2力法的基本原理當前20頁，總共132頁。歸納力法的基本原理

1.基本結構和基本未知量基本結構：去掉多余約束代之以相應的多余未知力得到的靜定結構

基本未知量：多余未知力

1EIqq基本體系：有基本未知量作用的基本結構，

與原結構受力等效的體系§5.2力法的基本原理當前21頁，總共132頁。2.力法的基本方程

基本結構在原有荷載和多余未知力共同作用下，在去掉多余約束處的位移與原結構中相應的位移相等。1EI（a）（b）（c）（d）=圖5.8＋qqq§5.2力法的基本原理當前22頁，總共132頁。一次超靜定結構的力法基本方程：

稱為系數，

稱為自由項，它們的物理意義分別如圖5.9（a）、（b）所示

（a）（b）q§5.2力法的基本原理當前23頁，總共132頁。

可繪出基本結構在單位力作用下的彎矩圖[圖5.9(c)]和荷載單獨作用下的彎矩圖[圖5.9(d)]應用圖乘法計算和。代入力法方程式有§5.2力法的基本原理當前24頁，總共132頁。結構任一截面的彎矩也可用疊加原理表示為——單位力作用下基本結構中任一截面上的彎矩

——荷載作用下基本結構中同一截面上所產生的彎矩圖5.10

多余未知力X1求出后,其余所有反力和內力都可用靜力平衡條件確定，內力圖如圖5.10所示。

綜上所述，力法是以多余未知力作為基本未知量，取去掉多余約束后的靜定結構為基本結構，根據基本結構在多余未知力方向上的位移與原結構在該處的位移相等的變形協調條件建立力法基本方程，從而解出多余未知力，而以后的計算與靜定結構相同。§5.2力法的基本原理當前25頁，總共132頁。⑥利用疊加法繪制內力圖。5.2.2力法的計算步驟①求超靜定次數n；③寫出力法基本方程；④計算系數和自由項；⑤解基本方程，求出多余未知力；②確定力法基本體系；１.選取基本結構、基本未知量。去掉原結構的多余約束，并以多余未知力代替相應多余約束的作用，從而得到基本結構。３.求系數和自由項。為此，須繪出基本結構在單位未知力作用下的內力圖和荷載作用下的內力圖或寫出內力表達式，然后按求位移的方法計算各系數和自由項歸納力法計算超靜定結構的步驟２.建立力法典型方程。根據基本結構在去掉多余約束處的位移等于原結構相應位置的位移，建立力法方程。４.解力法方程，求解各多余未知力（基本未知量）。５.繪制原結構的內力圖。§5.2力法的基本原理當前26頁，總共132頁。圖5.6力法基本體系的選取原則之一5.3.1力法基本體系的選擇1）力法基本體系的選取原則力法基本體系是與原結構受力等效變形協調的靜定結構。①能從原結構中解除多余約束，而不能解除必要約束。

如圖5.6(a)所示超靜定剛架，可選擇圖5.6(b).(c).(d)等基本體系，

5.3力法的基本體系及基本方程不能選擇圖5.6(e)和(f)所示體系，因此二體系幾何可變,不是靜定結構.當前27頁，總共132頁。

②只能從原結構中解除約束，而不能增加約束。例如，圖5.7(a)所示的超靜定剛架，可以選取圖5.7(b)所示的基本體系，但不能選取圖5.7(c)所示基本體系。這是因為增加約束后再解除約束所得的體系，由于新增約束的存在，已經不能在新增約束處與原結構有相同的位移，做不到變形上的等效.

圖5.7力法基本體系的選取原則之二§5.3力法的基本體系及基本方程當前28頁，總共132頁。

①盡量保證原結構解除多余約束后，成為多個獨立的靜定部分。②對梁和剛架，盡量解除剛結點和組合結點中傳遞彎矩的內約束，或者固定支座和定向支座中提供反力矩的外約束.圖5.8合理選擇力法基本體系的技巧之一2）合理選擇力法基本體系的技巧圖5.9合理選擇力法基本體系的技巧之二§5.3力法的基本體系及基本方程當前29頁，總共132頁。5.3.2力法的基本方程

力法基本方程是為求出力法基本未知量而補充的變形協調方程，它代表了力法基本體系與原結構在多余未知力方向上的對應位移應相等的幾何條件。圖5.10力法基本方程的建立§5.3力法的基本體系及基本方程當前30頁，總共132頁。根據線彈性條件，有2次超靜定結構的力法基本方程為依此類推，對n次超靜定結構，則需尋找由n個變形協調條件構成的n元一次方程組也可寫成矩陣形式§5.3力法的基本體系及基本方程當前31頁，總共132頁。圖5.11△1F△2F△3F建立力法典型方程

§5.3力法的基本體系及基本方程當前32頁，總共132頁。圖5.11(a)所示的結構,其基本結構也可用圖5.12(a)、（b）、（c)所示的基本結構，這時力法方程在形式上與式(5.3)完全相同。但由于、和的實際含義不同，因而變形協調條件的含義也不同。

圖5.12

§5.3力法的基本體系及基本方程當前33頁，總共132頁。力法的典型方程：根據位移互等定理有…

…

…

…

…

…

…位移的地點（虛設狀態）產生位移的原因（實際狀態）§5.3力法的基本體系及基本方程當前34頁，總共132頁。對于梁和剛架在不計剪力和軸力的影響時，可按下式計算或用圖乘法計算：分別代表和、荷載單獨作用于基本結構中的彎矩。5.4.1用力法計算荷載作用下的超靜定梁和剛架

5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構

當前35頁，總共132頁。

【*例5.1】圖5.13(a)所示為一兩端固定的超靜定梁,全跨承受均布荷載q的作用,試繪制梁的內力圖。

【解】1）選取基本結構和基本未知量。如圖5.13(b)所示。豎向荷載不計軸向變形，X3=0。二次超靜定梁。圖5.13

2）建立力法方程：qAB(a)原結構(b)基本結構lEIX1X2X3lqAB§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前36頁，總共132頁。3）計算方程中各系數和自由項。利用圖乘法求各系數和自由項MF圖§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前37頁，總共132頁。4）求多余未知力。負號說明所設方向與實際作用方向相反。

5）繪制內力圖[圖5.13(f)]剪力圖[圖5.13(g)]梁兩端的彎矩分別為ABDE(f)M圖AB(g)FS圖§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前38頁，總共132頁。【**例5.2】試繪制圖5.14(a)所示連續梁的彎矩圖。

圖5.14

【解】1)選取基本結構和基本未知量。如圖5.14所示。2)建立力法方程：

X1X2§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前39頁，總共132頁。3)計算系數和自由項。利用圖乘法計算各系數和自由項［圖5.14（c）、（d）、（e）］MF圖§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前40頁，總共132頁。5）繪制彎矩圖。由疊加公式計算各控制截面上的彎矩值,用疊加法繪制最后彎矩圖，如圖5.14（f）所示。ABC(f)M圖整理后得4）求多余未知力。令負號表示未知力X1和X2

的實際方向與所設方向相反。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前41頁，總共132頁。在荷載作用下，超靜定結構的內力分布與各桿的相對剛度值有關，相對剛度愈大，承受的內力也愈大。ABC(g)k→0時M圖ABC(h)k→∞時M圖§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前42頁，總共132頁。【例5.1】試用力法計算圖示超靜定梁，并作出彎矩圖。EI為常數。圖5.11例5.1圖【解】(1)確定超靜定次數n=1（2）選擇力法基本體系（3）寫出力法基本方程（4）計算系數和自由項（5）解基本方程，得（6）利用疊加公式繪彎矩圖。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前43頁，總共132頁。【例5.2】試用力法計算圖5.12(a)所示剛架，并作出彎矩圖。各桿抗彎剛度均為EI。圖5.12例5.2圖【解】（1）確定基本結構基本未知量（2）寫出力法典型方程（3）計算系數和自由項（4）解基本方程，得（5）利用疊加公式繪彎矩圖，如圖5.12(e)所示。復習:§5.1~5.4習題:5.3(取一種基本體系),5.4(a)§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前44頁，總共132頁。【例5.3】試用力法計算圖5.13(a)所示剛架，并作出彎矩圖。EI為常數。圖5.13例5.3圖【解】（1）確定超靜定次數n=2（2）選擇力法基本體系如圖5.13(b)所示，將復剛結點B解除多余約束變為復鉸結點，暴露出兩對未知彎矩X1和X2。其中，X1代表從結點B右端傳至左端的彎矩，而X2代表從結點B右端傳至下端的彎矩。（3）寫出力法基本方程其中,第一個方程代表結點B的左右兩端不應有相對轉角；第二個方程代表結點B的右端和下端不應有相對轉角。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前45頁，總共132頁。（5）解基本方程，得（6）利用疊加公式

繪彎矩圖，如圖5.13(f)所示

（4）計算系數和自由項繪制圖分別如圖5.13(c)、(d)和(e)所示，圖乘可得§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前46頁，總共132頁。【*例5.3】試計算圖5.15（a）所示的超靜定剛架，并繪制內力圖。

圖5.15【解】1）選取基本結構和基本未知量。如圖5.15（b）所示。2）建立力法方程。C點的水平和豎向位移為零§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前47頁，總共132頁。3）計算系數和自由項。利用圖乘法［圖5.15（c）］［圖5.15（d），（e）］計算各系數和自由項MF圖§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前48頁，總共132頁。5）繪制內力圖。利用疊加公式計算各桿端的彎矩值如下：圖5.16

ABC(a)M圖ABC(b)FS圖ABC（c）FN圖4）求多余未知力。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前49頁，總共132頁。【*例5.4】試繪制圖5.17（a）所示剛架的彎矩圖，EI為常數。圖5.17【解】1）選取基本結構和基本未知量。圖5.17（b）所示2）建立力法方程。B點的水平位移、豎向位移和轉角位移均為零§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前50頁，總共132頁。3）計算系數和自由項。繪制基本結構的單位彎矩圖和荷載彎矩圖如圖5.17（c）、（d）、（e）、（f）所示用圖乘法計算各系數和自由項MF圖(kN·m)§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前51頁，總共132頁。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前52頁，總共132頁。４）求多余未知力。5）繪制彎矩圖，如圖5.17(ｇ)所示。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前53頁，總共132頁。由于超靜定桁架中的桁桿是二力桿，各桿中只產生軸力,故用力法計算超靜定桁架時，方程中的系數和自由項按下式計算：桁架各桿最后內力可按以下疊加公式計算5.4.2用力法計算荷載作用下的超靜定桁架、超靜定組合結構和鉸接排架

超靜定組合結構中除了有鏈桿（二力桿）外，還有梁式桿，一般常以鏈桿軸力作為多余未知力。超靜定組合結構的系數和自由項的計算式分別為內力疊加公式為(5.14)(5.16)(5.15)§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前54頁，總共132頁。【*例5.4】試計算圖5.20(a)所示的超靜定桁架的內力。EA為常數，各桿尺寸如圖所示。圖5.20

【解】切斷鏈桿BC，得到基本結構如圖5.20（b）所示。建立力法方程:§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前55頁，總共132頁。計算系數和自由項：§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前56頁，總共132頁。代入力法方程求得

(壓力)各桿軸力按下式計算：內力結果如圖5.20(e)所示。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前57頁，總共132頁。【例5.4】試用力法計算圖5.14(a)所示超靜定桁架，并求各桿軸力。各桿抗拉剛度均為EA，EA為常數圖5.14例5.4圖【解】(1)確定基本結構基本未知量X1和X2。（3）寫出力法基本方程（4）計算系數和自由項§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前58頁，總共132頁。（5）解基本方程，得（6）利用疊加公式，求出各桿軸力，如圖5.14(f)所示例如，桿BE的軸力§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前59頁，總共132頁。系數和自由項可計算各桿內力計算：靜定組合結構：§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前60頁，總共132頁。【*例5.5】圖5.22（a）所示的加勁梁，梁式桿AB的彎曲剛度EI=1.5×104ｋN·ｍ2，鏈桿AD、BD的拉壓剛度E1A1=2.6×105ｋN，鏈桿CD的拉壓剛度E2A2=2.0×105ｋN。試繪制梁式桿的彎矩圖，并計算各鏈桿軸力。

圖5.22【解】基本結構如圖5.22（b）所示。建立力法方程，切口處兩側截面軸向相對位移為零X1§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前61頁，總共132頁。

繪出基本結構在X1=1和荷載分別單獨作用下的彎矩圖和圖［圖5.22（c）、（d）］

(d)MF圖(kN·m)CDABX1=11.5CABD120kN120kN180180§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前62頁，總共132頁。計算出各鏈桿的軸力，分別如圖5.22（e）、（f）所示FNF圖(kN)CDABX1=1-1.58-1.58CABD120kN120kN00001.51.5§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前63頁，總共132頁。計算系數和自由項§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前64頁，總共132頁。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前65頁，總共132頁。代入力法方程，得:由疊加公式求出最后彎矩圖M圖和各鏈桿的軸力，分別如圖5.23（a）、（b）所示。圖5.23§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前66頁，總共132頁。橫梁下部的鏈桿對梁起加勁作用，使橫梁的彎矩大為減小，這種作用隨著鏈桿的截面面積和材料性質的不同而變化，鏈桿的EA值越大，加勁作用也越大；反之越小。［圖5.24（a）］［圖5.24（b）］

圖5.24

§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前67頁，總共132頁。【例5.5】試用力法計算圖5.15(a)所示超靜定組合結構，并求梁式桿彎矩圖和各桁桿的軸力。已知：梁式桿抗彎剛度均為EI，鏈桿抗拉剛度均為EA，EI、EA均為常數，且I=2A（m2）圖5.15例5.5圖【解】（1）確定超靜定次數

n=1（2）選擇力法基本體系，如圖5.15(b)所示。（3）寫出力法基本方程該方程代表鏈桿BD在截口處不應有軸向相對線位移。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前68頁，總共132頁。（6）利用疊加公式(5.16），求出梁式桿彎矩和鏈桿軸力，如圖5.15(e)所示（4）計算系數和自由項繪制各內力圖分別如圖5.15(c)和(d)所示，按式（5.14）和式（5.15），計算系數和自由項，得（5）解基本方程，得§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前69頁，總共132頁。用力法計算荷載作用下的鉸接排架

用力法分析排架時，常忽略橫梁的軸向變形，一般把橫梁作為多余約束切斷，代之以多余未知力，利用切口兩側截面相對位移為零的條件建立力法方程，下面舉例加以說明。§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前70頁，總共132頁。【*例5.6】試分析圖5.19（a）所示單跨鉸接排架在吊車橫向水平制動力作用下的內力,并繪制彎矩圖,E為常數。【解】切斷橫梁CD，代之以多余未知力，得到圖5.19(b)所示的基本結構。圖5.19建立力法方程，橫梁切口相對水平線位移應該為零§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前71頁，總共132頁。用圖乘法求得系數和自由項（圖5.19（c）、（d））MF圖(kN·m)MF圖(kN·m)§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前72頁，總共132頁。MF圖(kN·m)MF圖(kN·m)§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前73頁，總共132頁。解得:在以上分析中，我們假定橫梁的剛度為無窮大，即忽略橫梁的軸向變形，認為排架受力時橫梁兩端的水平位移相等。

ABCD86.953.117.711.82.3(e)M圖（kN·m）根據疊加公式即可得最后彎矩圖，如圖5.19（e）所示。

§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前74頁，總共132頁。【例5.6】試用力法計算圖5.16(a)所示超靜定鉸結排架，并繪彎矩圖。EI為常數。圖5.16例5.6圖【解】（1）確定基本結構和基本未知量（3）寫出力法基本方程（4）計算系數和自由項（鏈桿EA無窮大不必求軸力）得：（5）解基本方程，得（6）利用疊加公式繪彎矩圖，如圖5.16(e)所示。復習:§5.4習題:5.5(c)、5.7(b)預習:§5.5§5.4用力法計算荷載作用下的超靜定結構當前75頁，總共132頁。1)結構的幾何形狀和約束情況對某一軸線對稱。2)結構剛度（截面和材料性質）也對此軸對稱。圖5.25

結構的對稱性應滿足：

利用結構的對稱性適當選取基本結構，使力法方程中盡可能多的副系數和自由項等于零，從而使計算大為簡化。5.5對稱結構的簡化計算

5.5.1結構的對稱性和荷載的對稱性當前76頁，總共132頁。1）結構的對稱性建立力法方程:圖5.26

FEI為常數(a)aF(b)X2X2X1X3§5.5對稱結構的簡化計算當前77頁，總共132頁。

顯然，對稱的未知力X1、X2所產生的彎矩圖圖、圖及變形圖是對稱的；反對稱的未知力X3所產生的彎矩圖圖和變形圖是反對稱的。因此圖5.26X1=1(c)圖X2=1(d)圖X3=1(e)圖分別作各單位未知力作用時的單位彎矩圖和變形圖。

采用力法計算對稱結構時，只要選取對稱的基本結構，基本未知量都是對稱力或反對稱力，則力法方程自然分解為獨立的兩組：一組只包含對稱未知力，另一組只包含反對稱未知力。

§5.5對稱結構的簡化計算當前78頁，總共132頁。X1=1(c)圖X2=1(d)圖(e)圖0000X3=1§5.5對稱結構的簡化計算當前79頁，總共132頁。2）力的對稱性任意荷載都可分解為對稱荷載和反對稱荷載兩部分。如圖5.27所示。圖5.27FEI為常數(a)a(b)aa(c)aa圖5.18對稱荷載與反對稱荷載示例§5.5對稱結構的簡化計算當前80頁，總共132頁。5.5.2對稱結構簡化的思路和目標2）對稱結構在對稱荷載作用下，反對稱的多余未知力為零，這時只需計算對稱的多余未知力。1）選取對稱的基本結構，以對稱或反對稱的多余未知力作為基本未知量。3）對稱結構在反對稱荷載作用下，對稱的多余未知力為零，這時只需計算反對稱的多余未知力。4）對于非對稱荷載可分解為對稱荷載和反對稱荷載兩種情況分別進行計算而后再疊加。

§5.5對稱結構的簡化計算當前81頁，總共132頁。對稱荷載對稱基本結構MF圖是對稱的如圖5.28(a)所示，由于圖［圖5.26（e）］是反對稱的代入力法方程可得X3=0

圖5.26圖5.28(e)圖2）對稱結構承受對稱荷載時的靜力特性1）簡化方法的推導5.5.3對稱結構承受對稱荷載的簡化計算方法①其內力和變形是對稱的；②對稱軸截面上只有對稱的內力，反對稱的內力為零。X3=1§5.5對稱結構的簡化計算當前82頁，總共132頁。3）半結構法（1）奇數跨對稱結構承受對稱荷載的半結構取法圖5.20奇數跨對稱結構承受對稱荷載的半結構取法奇數跨對稱結構承受對稱荷載的半結構取法為：①取原結構的一半；②在對稱軸經過的截面處添加一個垂直于對稱軸支承的定向支座

§5.5對稱結構的簡化計算當前83頁，總共132頁。（2）偶數跨對稱結構承受對稱荷載的半結構取法偶數跨對稱結構承受對稱荷載的半結構取法為：①取原結構的一半；②在對稱軸經過的截面處添加一個固定支座。§5.5對稱結構的簡化計算當前84頁，總共132頁。代入力法方程可得X1=0，X2=0MF圖X1=1(c)圖X2=1(d)圖5.5.4對稱結構承受反對稱荷載的簡化計算方法1）簡化方法的推導①其內力和變形是反對稱的；②對稱軸截面上只有反對稱的內力，對稱的內力為零。2）對稱結構承受反對稱荷載時的靜力特性反對稱荷載，對稱的基本結構，MF圖是反對稱的。由于圖和是對稱的，故§5.5對稱結構的簡化計算當前85頁，總共132頁。圖5.28

MF圖MF圖X3=0X1=X2=0

對稱結構在對稱荷載作用下,結構的內力(以及變形)是對稱的,反對稱的多余未知力為零；對稱結構在反對稱荷載作用下，結構的內力（以及變形）是反對稱的，對稱的多余未知力為零。§5.5對稱結構的簡化計算當前86頁，總共132頁。（1）奇數跨對稱結構承受反對稱荷載的半結構取法

以圖5.23(a)所示的單層單跨剛架承受反對稱荷載為例，該剛架在對稱軸經過截面處，只有剪力；從變形看，豎向線位移DV=0，而水平線位移DH和角位移qC都不為零，如圖5.23(b)所示。圖5.23奇數跨對稱結構承受反對稱荷載的半結構取法3）半結構法

根據受力與變形等效的原則，可得奇數跨對稱結構承受反對稱荷載的半結構取法為：①取原結構的一半；②在對稱軸經過的截面處，沿對稱軸方向添加一根支桿。§5.5對稱結構的簡化計算當前87頁，總共132頁。（2）偶數跨對稱結構承受反對稱荷載的半結構取法圖5.24偶數跨對稱結構承受反對稱荷載的半結構取法注意：補全原結構內力圖時，原中柱的彎矩和剪力應為半結構中柱相應內力的一倍。若對稱結構承受的是任意荷載，可將其分解為對稱和反對稱兩組荷載分別作用，簡化計算后，再利用疊加法求得結果。根據受力與變形等效的原則①取原結構的一半；②將中柱剛度折半。§5.5對稱結構的簡化計算當前88頁，總共132頁。1.奇數跨對稱結構（2）反對稱荷載作用下（1）對稱荷載作用下2.偶數跨對稱結構

半結構的選取§5.5對稱結構的簡化計算當前89頁，總共132頁。【例5.8】繪制圖5.29所示剛架在對稱荷載作用下的M圖，EI為常數。【解】將中央鉸去掉得到對稱的基本結構，如圖5.29所示。計算對稱的未知力X1，建立力法方程圖5.29

1m1m1m1m1.5m2m10kN10kNEIEIEIEIX1X1X2X2X2=0荷載對稱§5.5對稱結構的簡化計算當前90頁，總共132頁。用圖乘法（圖5.29（c）、（d））求得系數和自由項為代入力法力法方程，解得:最后彎矩按式計算，據此繪出彎矩圖，如圖5.29(e)所示。圖5.29MF圖(kN·m)§5.5對稱結構的簡化計算當前91頁，總共132頁。【例5.9】利用結構的對稱性繪制圖5.30(a)所示剛架的彎矩圖。

圖5.30如果忽略橫梁軸向變形，則只有橫梁承受壓力F/2，其它桿件無內力。因此，只需求圖5.30(b)在反對稱荷載作用下的彎矩圖即可。(c)FEI1(a)EI1EI2lh(b)【解】§5.5對稱結構的簡化計算當前92頁，總共132頁。選取對稱的基本結構，由對稱性質可知，截面上對稱的多余未知力（軸力和彎矩）為零，只需計算反對稱的未知力X1[圖5.30（d）]。建立力法方程(d)X1§5.5對稱結構的簡化計算當前93頁，總共132頁。圖5.30

繪制各彎矩圖，計算系數和自由項如下：(f)圖(e)MF圖代入力法方程，令得X1=1§5.5對稱結構的簡化計算當前94頁，總共132頁。

進一步討論剛架彎矩圖隨橫梁與立柱相對剛度比值的變化規律，如圖5.31(b)，圖5.31（d）圖5.31(c)所示。由公式計算可得剛架的彎矩圖。圖5.31§5.5對稱結構的簡化計算當前95頁，總共132頁。圖5.25例5.7對稱性分析【解】(1)分析原結構對稱性偶數跨對稱結構承受任意荷載可分解為對稱和反對稱兩組荷載分別考慮。再分別取這兩種情況下原結構的半結構。【例5.7】試利用對稱性分析圖5.25(a)所示剛架，并用力法計算其彎矩圖。EI為常數。對稱軸經過原結構鉸結點C，半結構C處最終簡化為固定鉸支座；反對稱荷載作用時，C鉸可發生水平線位移，因此半結構仍取原結構一半(中柱剛度折半)。對稱還是反對稱荷載作用,半結構都為1次超靜定。§5.5對稱結構的簡化計算當前96頁，總共132頁。（2）計算對稱荷載作用下的半結構

取半結構的基本體系如圖5.26(b)所示，力法基本方程為系數和自由項分別為解得利用疊加法，得半結構彎矩圖

再利用對稱性補全右半部分，得原結構承受對稱荷載時的彎矩圖，如圖5.26(f)所示。§5.5對稱結構的簡化計算當前97頁，總共132頁。（3）計算反對稱荷載作用下的半結構

取半結構的基本體系如圖5.27(b)所示，力法基本方程為系數和自由項分別為解得§5.5對稱結構的簡化計算當前98頁，總共132頁。利用疊加法，得半結構彎矩圖再利用反對稱性補全右半部分，得原結構承受反對稱荷載時的彎矩圖，如圖5.27(f)所示。圖5.28例5.7彎矩圖（4）利用疊加法求原結構彎矩圖把對稱和反對稱荷載單獨作用下的彎矩圖，即圖5.26(f)和圖5.27(f)，疊加起來，得原結構彎矩圖，如圖5.28所示。

§5.5對稱結構的簡化計算當前99頁，總共132頁。【例5.10】試繪制圖5.35（a）所示剛架的彎矩圖，E為常數。圖5.35

【解】其半結構的計算簡圖如圖5.35（b）所示，基本結構如圖5.35（c）所示。建立力法方程鉸結點D的兩側相對轉角和鉸支座E的轉角應為零§5.5對稱結構的簡化計算當前100頁，總共132頁。MF圖(kN·m)應用圖乘法[圖5.35（d）]、[圖5.35（e）]、[圖5.35（f）]計算各系數和自由項如下：§5.5對稱結構的簡化計算當前101頁，總共132頁。利用疊加公式及

圖的對稱性質,繪制最后

圖,如圖5.36所示。圖5.36

代入力法方程解得X1=－2.56kN·mX2=1.28kN·m復習:§5.5習題:5.12(d)預習:§5.7§5.5對稱結構的簡化計算當前102頁，總共132頁。5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構

超靜定結構由于多余約束的存在，會在支座移動、溫度變化、材料漲縮和制造誤差等非荷載因素作用時，產生內力，這種內力稱為自內力。這也是超靜定結構與靜定結構的主要區別之一。

用力法計算支座移動和溫度變化時的超靜定結構，基本原理和分析步驟與荷載作用時相同。具體計算時有以下三個特點：其一，基本方程中自由項不同；其二，對支座移動問題，基本方程右端項不一定為零；其三，計算最后內力的疊加公式不完全相同。且，多余未知力和內力均與桿件剛度EI的絕對值有關。當前103頁，總共132頁。labhAB(a)原結構X1X2X3AB(b)基本結構5.7.1用力法計算支座移動時的超靜定結構力法方程為§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前104頁，總共132頁。自由項為AB011X1=1AB011X2=1X3=1AB1hh

計算最后彎矩將系數和自由項代入力法方程，可解得多余未知力X1,X2和X3，按疊加公式計算最后彎矩

§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前105頁，總共132頁。【*例5.10】圖5.40(a)所示為一單跨超靜定梁，設固定支座A發生轉角，求梁的支座反力并繪制彎矩圖。【解】設取基本結構如圖5.40（b）所示，根據原結構中B處的豎向位移等于零的條件，建立力法方程圖5.40

§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前106頁，總共132頁。圖5.40代入力法方程，解得根據繪制最后彎矩圖，如圖5.40(d)所示。梁的支座反力分別為（↑）

（↓）

§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前107頁，總共132頁。如果選取圖5.40(e)所示的簡支梁為基本結構，則相應的力法方程為繪出圖如圖5.40(f)所示。由此求得代入力法方程，解得由此可知，選用的基本結構不同，相應的力法方程不同，但最后的內力圖是相同的。§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前108頁，總共132頁。【例5.10】試用力法計算圖5.34(a)所示發生支座移動的超靜定梁。EI為常數。圖5.34例5.10解法一【解法一】

1次超靜定結構,選取懸臂梁為基本結構，基本體系如圖5.34(b)所示，基本方程為其中，自由項△1c為基本結構在支座移動單獨作用下X1方向上的位移。等號右端項為-△,代表在B處基本體系應與原結構一樣產生大小為△的位移,但方向與X1方向相反。系數δ11=l3/(3EI)；自由項△1c=0，這是因為原結構中發生支座移動的支座B被解除后,作為基本結構的懸臂梁在B處已無支座可以發生移動。解得因為支座移動不會使靜定的基本結構產生內力，因此最終彎矩，如圖5.34(d)所示。§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前109頁，總共132頁。該方程代表基本體系在A處應與原結構一樣，不會發生轉動。

圖5.35例5.10解法二【解法二】選取簡支梁為基本結構，基本體系如圖5.35(a)所示，基本方程為系數；自由項式中，是圖中對應原結構發生支座移動處的支反力；c為原結構中相應的支座位移。如圖5.35(b)所示，本例的兩者方向相反。對一些簡單結構，自由項還可以從基本結構在支座移動時的剛體位移圖中，由幾何關系直接求得，如圖5.35(c)所示。解得彎矩疊加公式仍為，彎矩圖如圖5.34(d)所示。§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前110頁，總共132頁。5.7.2用力法計算溫度改變時的超靜定結構圖5.41建立力法方程自由項可按式(a)或(b)計算(a)（b）§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前111頁，總共132頁。【例5.11】試作圖5.36(a)所示剛架在溫度改變時所產生的彎矩圖。設各桿截面為矩形，高度h=l/10，線膨脹系數為a，EI為常數。圖5.36例5.11【解】1次超靜定剛架，基本體系如圖5.36(b)，基本方程為該方程代表溫度變化時基本體系在C結點處無相對轉角。自由項為溫度變化單獨作用于基本結構時，引起C結點處的相對轉角。求系數與自由項。由圖5.36(c)和(d)，系數為§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前112頁，總共132頁。式中，軸線上的平均溫度變化，各桿段分別為AB段 t=0℃BC段 t=2.5℃CD段t=10℃內外溫差，各桿段分別為AB段 △t=30℃BC段 △t=25℃CD段△t=10℃將各已知值代入計算式，得最后彎矩圖，如圖示。自由項按公式（4.14）計算，即§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前113頁，總共132頁。從例5.11可以看出，用力法計算溫度變化時的超靜定結構，有如下特點：①自由項可按式（4.14）計算。②由于溫度變化不引起靜定的基本結構的內力，因此彎矩疊加公式變為。③在溫度變化時，超靜定結構的內力和反力與各桿件剛度的絕對值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自內力狀態的有效途徑。另外，對于鋼筋混凝土梁，要特別注意因降溫可能出現裂縫的情況（對超靜定梁而言，其低溫一側受拉而高溫一側受壓）§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前114頁，總共132頁。【*例5.11】計算圖5.42所示剛架內力。剛架各桿內側溫度升高10℃，外側溫度不變，各桿線膨脹系數為，EI和截面高度h均為常數。【解】取基本結構如圖5.42(b)所示。建立力法方程圖5.42§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前115頁，總共132頁。圖5.42繪出圖、，分別如圖5.42（c），（d）所示。求得系數和自由項如下：§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前116頁，總共132頁。代入力法方程，解得根據疊加公式，即可繪制最后彎矩圖，如圖5.42(e)所示。計算結果表明:超靜定結構由于溫度改變所引起的內力與各桿的剛度EI的絕對值成正比。在給定溫度下截面尺寸越大，內力也越大。圖5.42復習:§5.7習題:5.10(c),5.11(a)預習:§5.8~5.10§5.7用力法計算支座移動和溫度改變時的超靜定結構當前117頁，總共132頁。

超靜定結構的位移計算仍可采用單位荷載法。下面以求解圖5.37(a)所示荷載作用下的連續梁B支座轉角B為例，說明超靜定結構位移的算法。圖5.37超靜定結構的位移計算示例5.8超靜定結構的位移計算當前118頁，總共132頁。1）解法一首先，對應實際位移狀態，繪出此結構承受荷載作用的最終彎矩圖M，如圖(b)所示。建立虛設狀態。并繪出單位荷載彎矩圖圖，如圖(c)所示。以上計算為了求得M圖和圖，必須兩次求解超靜定結構，計算工作量很大。為簡便起見，可采取如下的解法二。最后，求出位移§5.8超靜定結構的位移計算當前119頁，總共132頁。接著，施加虛擬單位力。取原結構的任一力法基本結構，在其上對應位置處，施加虛設單位荷載，并求出單位荷載彎矩圖圖，如圖5.37(d)所示。最后，求出位移2）解法二（1）原理說明

力法基本體系與原結構變形完全等效，故可將原結構中的位移求解問題，轉化為基本體系中相應位移的求解問題。這樣可將單位荷載施加于靜定的基本結構上。（2）計算步驟

首先，對應實際位移狀態求出此結構承受荷載作用的最終彎矩圖M，如圖(b)所示。§5.8超靜定結構的位移計算當前120頁，總共132頁。【例5.11】求圖5.37（a）所示剛架B點的水平位移ΔBH和橫梁中點D的豎向位移ΔDV。圖5.37

【解】此剛架最后的彎矩由力法求出，如圖5.37（b）所示。§5