空間統計分析方法演示文稿當前1頁，總共93頁。本講內容探索性空間統計分析地統計分析方法當前2頁，總共93頁。空間統計分析,即空間數據（spatialdata）的統計分析，是現代計量地理學中一個快速發展的方向和領域。空間統計分析，其核心就是認識與地理位置相關的數據間的空間依賴、空間關聯或空間自相關，通過空間位置建立數據間的統計關系。空間統計分析的任務，就是運用有關統計方法，建立空間統計模型，從凌亂的數據中挖掘空間自相關與空間變異規律。

空間統計分析當前3頁，總共93頁。空間數據分析與傳統統計分析主要有兩大差異：(1)空間數據間并非獨立，而是在維空間中具有某種空間相關性，且在不同的空間分辨率下呈現不同之相關程度；(2)地球只有一個，大多數空間問題僅有一組（空間分布不規則的）觀測值，而無重復觀測數據。因此，空間現象的了解與描述是極為復雜的，而傳統方法，尤其是建立在獨立樣本上的統計方法，不適合分析空間數據。空間統計VS.經典統計經典統計：獨立性、隨機性假設空間統計：自相關、依賴性、異質性當前4頁，總共93頁。地理學第一定律（FLG）:everythingisrelatedtoeverythingelse,butnearthingsaremorerelatedthandistantthings(Tobler,1970).空間統計的基本思想：WaldoTobler（bornin1930）receivingaplaqueforhiscontributionstogeography.OntheeventofhisNovember2000birthday.

Tobler,W.R.(1970)."AcomputermoviesimulatingurbangrowthintheDetroitregion".EconomicGeography,46(2):234-240.FLG的一般性:自然地理、人文地理、社會經濟當前5頁，總共93頁。空間自相關是普遍存在的，否則地理分析便沒有多大意義。

經典統計：獨立

空間自相關的存在，使得經典統計學所要求的樣本獨立性假設不滿足。如果地理學從根本上值得研究，必然是因為地理現象在空間上的變化不是隨機的。

經典統計：隨機當前6頁，總共93頁。可以借助空間統計更好地理解地理現象。

或許學習空間統計最重要的原因是我們不僅僅想知道問題“怎么樣”，更想知道“哪里怎么樣”

空間統計學可以幫助我們準確地判斷具體地理模式的原因。

JohnSnow的霍亂地圖

當發現某種病僅僅發生在靠近河流的村莊時，河流中的寄生物可能是病源。空間統計學可以幫助我們處理大的復雜數據集,這是GIS經常面對的事情。為什么要用空間統計當前7頁，總共93頁。霍亂病死者居住分布圖(JohnSnow,1854)1854年8月到9月英國倫敦霍亂流行時，當局始終找不到發病的原因，后來醫生約翰·斯諾(JohnSnow)參與調查。他在繪有霍亂流行地區所有道路、房屋、飲用水機井等內容的1：6500比例尺地圖上，標出了每個霍亂病死者的居住位置，得到了霍亂病死者居住分布圖。當前8頁，總共93頁。一.探索性空間統計分析

基本原理與方法

應用實例

當前9頁，總共93頁。探索性空間數據分析(ESDA)ESDA是指利用統計學原理和圖形圖表相結合對空間信息的性質進行分析、鑒別，用以引導確定性模型的結構和解法。ESDA與EDA區別在于它考慮了數據的空間特性，在方法上它將數據分解為一般趨勢和疊加于其上的局部變化兩部分。然后用一定的數學函數去擬合由樣本點產生的經驗變率函數，進行諸如克立格內插等空間操作。當前10頁，總共93頁。

通常定義一個二元對稱空間權重矩陣W，來表達n個位置的空間區域的鄰近關系，其形式如下式中：Wij表示區域i與j的臨近關系，它可以根據鄰接標準或距離標準來度量。

1.基本原理與方法

（一）空間權重矩陣

當前11頁，總共93頁。①簡單的二進制鄰接矩陣②基于距離的二進制空間權重矩陣兩種最常用的確定空間權重矩陣的規則

當前12頁，總共93頁。（二）全局空間自相關

Moran指數反映的是空間鄰接或空間鄰近的區域單元屬性值的相似程度。

Geary系數與Moran指數存在負相關關系。PatrickA.P.Moran（1917-1988）Moran指數和Geary系數是兩個用來度量空間自相關的全局指標。全局空間自相關概括了在一個總的空間范圍內空間依賴的程度。當前13頁，總共93頁。

如果是位置（區域）的觀測值，則該變量的全局Moran指數I，用如下公式計算式中：I為Moran指數；

；。當前14頁，總共93頁。Geary系數C計算公式如下

式中：C為Geary系數；其他變量同上式。如果引入記號當前15頁，總共93頁。

則全局Moran指數I的計算公式也可以進一步寫成

Moran指數I的取值一般在[-1，1]之間,小于0表示負相關，等于0表示不相關，大于0表示正相關；

Geary系數C的取值一般在[0，2]之間，大于1表示負相關，等于1表示不相關，而小于1表示正相關。

當前16頁，總共93頁。

（三）局部空間自相關描述一個空間單元與其領域的相似程度，能夠表示每個局部單元服從全局總趨勢的程度（包括方向和量級），反映了空間異質性，說明空間依賴是如何隨位置變化的。局部空間自相關分析方法包括3種:

空間聯系的局部指標(LISA)；

G統計量；

Moran散點圖當前17頁，總共93頁。空間聯系的局部指標(LISA)

空間聯系的局部指標（localindicatorsofspatialassociation，縮寫為LISA）滿足下列兩個條件：（1）每個區域單元的LISA，是描述該區域單元周圍顯著的相似值區域單元之間空間集聚程度的指標；（2）所有區域單元LISA的總和與全局的空間聯系指標成比例。當前18頁，總共93頁。LISA包括局部Moran指數（localMoranindex）和局部Geary指數（localGearyindex），下面重點介紹和討論局部Moran指數。當前19頁，總共93頁。局部Moran指數被定義為可進一步寫成

式中：和是經過標準差標準化的觀測值。局部Moran指數檢驗的標準化統計量為

當前20頁，總共93頁。G統計量全局G統計量的計算公式為對每一個區域單元的統計量為

探測區域單元是屬于高值集聚還是低值集聚的空間分布模式.當前21頁，總共93頁。

對統計量的檢驗與局部Moran指數相似，其檢驗值為

顯著的正值表示在該區域單元周圍，高觀測值的區域單元趨于空間集聚，而顯著的負值表示低觀測值的區域單元趨于空間集聚,與Moran指數只能發現相似值(正關聯)或非相似性觀測值(負關聯)的空間集聚模式相比，具有能夠探測出區域單元屬于高值集聚還是低值集聚的空間分布模式。當前22頁，總共93頁。Moran散點圖

以（Wz，z）為坐標點的Moran散點圖，常來研究局部的空間不穩定性，它對空間滯后因子Wz和z數據對進行了可視化的二維圖示。全局Moran指數，可以看作是Wz對于z的線性回歸系數，對界外值以及對Moran指數具有強烈影響的區域單元，可通過標準回歸來診斷出。由于數據對（Wz，z）經過了標準化，因此界外值可易由2－sigma規則可視化地識別出來。當前23頁，總共93頁。Moran散點圖的4個象限，分別對應于區域單元與其鄰居之間4種類型的局部空間聯系形式：第1象限代表了高觀測值的區域單元被高值的區域所包圍的空間聯系形式；第2象限代表了低觀測值的區域單元被高值的區域所包圍的空間聯系形式；當前24頁，總共93頁。

第3象限代表了低觀測值的區域單元被低值的區域所包圍的空間聯系形式；第4象限代表了高觀測值的區域單元被低值的區域所包圍的空間聯系形式。當前25頁，總共93頁。2.應用實例

中國大陸30個省級行政區人均GDP的空間關聯分析。根據各省（直轄市、自治區）之間的鄰接關系，采用二進制鄰接權重矩陣，選取各省（直轄市、自治區）1998—2002年人均GDP的自然對數，依照公式計算全局Moran指數I，計算其檢驗的標準化統計量Z（I），結果如下表所示。年份IZP19980.50014.50350.000019990.50694.55510.000020000.51124.59780.000020010.50594.55320.000020020.50134.53260.0000當前26頁，總共93頁。

從表中可以看出，在1998—2002年期間，中國大陸30個省級行政區人均GDP的全局Moran指數均為正值；在正態分布假設之上，對Moran指數檢驗的結果也高度顯著。這就是說，在1998—2002年期間，中國大陸30個省級行政區人均GDP存在著顯著的、正的空間自相關，也就是說各省級行政區人均GDP水平的空間分布表現出相似值之間的空間集聚，其空間聯系的特征是：較高人均GDP水平的省級行政區相對地趨于和較高人均GDP水平的省級行政區相鄰，或者較低人均GDP水平的省級行政區相對地趨于和較低人均GDP水平的省級行政區相鄰。當前27頁，總共93頁。

選取2001年我國30個省級行政區人均GDP數據，計算局部Gi統計量和局部Gi統計量的檢驗值Z(Gi)，并繪制統計地圖如下。當前28頁，總共93頁。

檢驗結果表明，貴州、四川、云南西部3省的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，重慶的Z值在0.1的顯著性水平下顯著，該4省市在空間上相連成片分布，而且從統計學意義上來說，與該區域相鄰的省區，其人均GDP趨于為同樣是人均GDP低值的省區所包圍。由此形成人均GDP低值與低值的空間集聚，據此可認識到西部落后省區趨于空間集聚的分布特征。

當前29頁，總共93頁。

東部的江蘇、上海、浙江三省市的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，天津的Z值在0.1的顯著性水平下顯著。而東部上海、江浙等發達省市趨于為一些相鄰經濟發展水平相對較高的省份所包圍，東部發達地區的空間集聚分布特征也顯現出來。當前30頁，總共93頁。

以（Wz,z）為坐標，進一步繪制Moran散點圖可以發現，多數省（直轄市、自治區）位于第1和第3象限內，為正的空間聯系，屬于低低集聚和高高集聚類型，而且位于第3象限內的低低集聚類型的省（直轄市、自治區）比位于第1象限內的高高集聚類型的省（直轄市、自治區）更多一些。當前31頁，總共93頁。當前32頁，總共93頁。

上圖進一步顯示了30個省級行政區人均GDP局部集聚的空間結構。可以看出，從人均GDP水平相對地來看：高值被高值包圍的高高集聚省（直轄市）有：北京、天津、河南、安徽、湖北、江西、海南、廣東、福建、浙江、山東、上海、江蘇；低值被低值包圍的低低集聚省（自治區）有：黑龍江、內蒙古、新疆、吉林、甘肅、山西、陜西、青海、西藏、四川、云南、遼寧、貴州；被低值包圍的高值省（直轄市）有：重慶、廣西、河北；被高值包圍的低值省份只有湖南。當前33頁，總共93頁。1978、1990、2001、2007年全國各省市人均GDP的LISA顯著水平圖當前34頁，總共93頁。二、地統計分析方法地統計方法的基本原理

應用實例

當前35頁，總共93頁。地統計學(Geostatistics),又稱地質統計學，是法國著名統計學家G.Matheron在大量理論研究基礎上提出的。地統計學是以區域化變量理論為基礎，以變異函數為主要工具，研究那些在空間分布上既有隨機性又有結構性，或空間相關和依賴性，或空間格局與變異，并對這些數據進行最優無偏內插估計，或模擬這些數據的離散性、波動性。協方差函數和變異函數是以區域化變量理論為基礎建立起來的地統計學的兩個最基本的函數。地統計學的主要方法之一，克立格法就是建立在變異函數理論和結構分析基礎之上的。

當前36頁，總共93頁。

當一個變量呈現為空間分布時，就稱之為區域化變量。這種變量常常反映某種空間現象的特征，用區域化變量來描述的現象稱之為區域化現象。區域化變量，亦稱區域化隨機變量，G.Matheron（1963）將它定義為以空間點x的三個直角坐標為自變量的隨機場區域化變量具有兩個最顯著，而且也是最重要的特征，即隨機性和結構性。1.地統計方法的基本原理（一）區域化變量

當前37頁，總共93頁。區域化變量的功能：

由于區域化變量是一種隨機函數，因而能同時反映空間變量的結構性和隨機性。一方面，當空間點x固定后，Z(x)就是一個隨機變量，這體現了其隨機性。另一方面，在空間兩個不同點x與x+h處的區域化變量值具有某種程度的相關性，這體現了其結構性。當前38頁，總共93頁。區域化變量的組成部分

數據點結構性可以用均值和常數趨勢表示空間相關數據通常呈現正空間相關性

隨機性測量誤差，其他誤差

當前39頁，總共93頁。distanceelevation結構性隨機性實際值當前40頁，總共93頁。（二）協方差函數

協方差函數的概念

區域化隨機變量之間的差異，可以用空間協方差來表示。在概率論中,隨機向量X與Y的協方差被定義為

區域化變量在空間點x和x+h處的兩個隨機變量和的二階混合中心矩定義為Z(x)的自協方差函數，即（4.2.2）(4.2.1)當前41頁，總共93頁。協方差函數的計算公式

式中：h為兩樣本點空間分隔距離或距離滯后；為在空間位置處的實測值；是在處距離偏離h的實測值[i=1，2，…，]，是分隔距離為h時的樣本點對（paris）總數，和分別為和的樣本平均數,即(4.2.3)(4.2.4)(4.2.5)當前42頁，總共93頁。

若==m（常數），則上式可以改寫為

式中：m為樣本平均數，可由一般算術平均數公式求得，即

(4.2.6)當前43頁，總共93頁。（三）變異函數

變異函數的概念

變異函數(variograms)，又稱變差函數、變異矩，是地統計分析所特有的基本工具。在一維條件下變異函數定義為，當空間點x在一維x軸上變化時，區域化變量Z(x)在點x和x+h處的值Z(x)與Z(x+h)差的方差的一半為區域化變量Z(x)在x軸方向上的變異函數，記為γ(h)，即

(4.2.7)當前44頁，總共93頁。

在二階平穩假設條件下，對任意的h有因此，公式可以改寫為

從上式可知，變異函數依賴于兩個自變量x和h，當變異函數僅僅依賴于距離h而與位置x無關時，可改寫成，即

(4.2.9)(4.2.8)當前45頁，總共93頁。變異函數的性質

設Z(x)是區域化變量，在滿足二階平穩假設條件下，變異函數式具有如下性質：

(1)=0，即在h=0處，變異函數為0；

(2)=，即關于直線h=0是對稱的，它是一個偶函數；

(3)≥0，即只能大于或等于0；當前46頁，總共93頁。變異函數的計算公式

設是系統某屬性Z在空間位置x處的值，為一區域化隨機變量，并滿足二階平穩假設，h為兩樣本點空間分隔距離，和分別是區域化變量在空間位置和處的實測值[i=1,2,…,N(h)]，那么，變異函數的離散計算公式為(4.2.10)當前47頁，總共93頁。

這樣對不同的空間分隔距離h，計算出相應的和值。如果分別以h為橫坐標，或為縱坐標，畫出協方差函數和變異函數曲線圖，就可以直接展示區域化變量Z(x)的空間變異特點。可見，變異函數能同時描述區域化變量的隨機性和結構性，從而在數學上對區域化變量進行嚴格分析，是空間變異規律分析和空間結構分析的有效工具。當前48頁，總共93頁。當前49頁，總共93頁。例如：假設某地區降水量Z(x)（單位：mm）是二維區域化隨機變量，滿足二階平穩假設，其觀測值的空間正方形網格數據如圖所示（點與點之間的距離為h=1km）。試計算其南北方向及西北和東南方向的變異函數。當前50頁，總共93頁。圖4.2.1空間正方形網格數據（點間距h=1km）

從圖可以看出，空間上有些點，由于某種原因沒有采集到。如果沒有缺失值，可直接對正方形網格數據結構計算變異函數；在有缺失值的情況下，也可以計算變異函數。只要“跳過”缺失點位置即可（圖）。當前51頁，總共93頁。圖4.2.2缺失值情況下樣本數對的組成和計算過程

☉為缺失值

當前52頁，總共93頁。圖1空間正方形網格數據（點間距h=1km）

當前53頁，總共93頁。圖2空間正方形網格數據（點間距h=2km）

當前54頁，總共93頁。

首先計算南北方向上的變異函數值，由變異函數的計算公式可得

=385/72=5.35圖4.2.2缺失值情況下樣本數對的組成和計算過程

☉為缺失值

當前55頁，總共93頁。

同樣計算出最后，得到南北方向和西北—東南方向上的變異函數計算結果見下表。同樣可以計算東西方向上的變異函數。

方向

南北

方向

西北—東南

h12345h1.412.824.245.657.07N(h)

362721135N(h)

322113825.359.2617.5525.6922.907.0612.9530.8558.1350.00當前56頁，總共93頁。變異函數的參數

變異函數有4個非常重要的參數，即基臺值（sill）、變程（range）或稱空間依賴范圍（rangeofspatialdependence）、塊金值（nugget）或稱區域不連續性值（localizeddiscontinuity）和分維數（fractaldimension）。前3個參數可以直接從變異函數圖中得到。它們決定變異函數的形狀與結構。變異函數的形狀反映自然現象空間分布結構或空間相關的類型，同時還能給出這種空間相關的范圍。當前57頁，總共93頁。

當變異函數隨著間隔距離h的增大，從非零值達到一個相對穩定的常數時，該常數稱為基臺值C0+C。當間隔距離h=0時，γ(0)=C0，該值稱為塊金值或塊金方差（nuggetvariance）。基臺值是系統或系統屬性中最大的變異，變異函數達到基臺值時的間隔距離a稱為變程。變程表示在h≥a以后，區域化變量Z(x)空間相關性消失。當前58頁，總共93頁。第4個參數，即分維數用于表示變異函數的特性，由變異函數和間隔距離h之間的關系確定

其中，分維數D為雙對數直線回歸方程中的斜率，它是一個無量綱數。分維數D的大小，表示變異函數曲線的曲率，可以作為隨機變異的量度。當前59頁，總共93頁。理論變異函數模型實踐中，常用的是變異函數圖：偏基臺值:C(partialsill)塊金值:C0(nugget)變程:a(range)h基臺值(sill)notrelatedanymore變程范圍內才有結構性變化（有規律的變化）反映隨機性大小：主要來源于區域化變量Z(x)在小于抽樣尺度h時所具有的內部變異；另外還有抽樣分析誤差。變異函數是一個單調不減函數。當h超過某一個范圍，例如變程，變異函數不再增大，而是趨于一個極限值，即為基臺值。實際上等于區域化變量的先驗方差。即，即基臺值與塊金值之差，表示數據中存在空間相關性引起的方差變化范圍。當前60頁，總共93頁。變異函數的理論模型

地統計學將變異函數理論模型分為3大類：第1類是有基臺值模型，包括球狀模型、指數模型、高斯模型、線性有基臺值模型和純塊金效應模型；第2類是無基臺值模型，包括冪函數模型、線性無基臺值模型、拋物線模型；第3類是孔穴效應模型。下面有代表性地介紹幾種常見的變異函數理論模型。當前61頁，總共93頁。①純塊金效應模型:其一般公式為式中：c0>0，為先驗方差。該模型相當于區域化變量為隨機分布，樣本點間的協方差函數對于所有距離h均等于0，變量的空間相關不存在。

(4.2.11)當前62頁，總共93頁。②球狀模型:其一般公式為

式中：c0為塊金（效應）常數;c為拱高;c0+c為基臺值;a為變程。當c0=0，c=1時，稱為標準球狀模型。球狀模型是地統計分析中應用最廣泛的理論模型，許多區域化變量的理論模型都可以用該模型去擬合。

(4.2.12)當前63頁，總共93頁。③指數模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前相同，但a不是變程。當h=3α時，，即，從而指數模型的變程約為約為3a。當c0=0，c=1時，稱為標準指數模型。(4.2.13)當前64頁，總共93頁。④高斯模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前相同，a也不是變程。當時，，即，因此高斯模型的變程約為。當時，稱為標準高斯函數模型。(4.2.14)當前65頁，總共93頁。⑤冪函數模型:其一般公式為式中：θ為冪指數。當θ變化時，這種模型可以反映在原點附近的各種性狀。但是θ必須小于2，若，則函數就不再是一個條件非負定函數了，也就是說它已經不能成為變異函數了。

(4.2.15)當前66頁，總共93頁。⑥對數模型:其一般公式為顯然，當，這與變異函數的性質不符。因此，對數模型不能描述點支撐上的區域化變量的結構。(4.2.16)當前67頁，總共93頁。⑦線性有基臺值模型:其一般公式為式中:該模型的變程為a，基臺值為。

⑧線性無基臺值模型:其一般公式為

從式中可以看出，該模型沒有基臺值，也沒有變程。

(4.2.18)(4.2.17)當前68頁，總共93頁。當前69頁，總共93頁。例如:某地區降水量是一個區域化變量，其變異函數的實測值及距離h的關系見下表，下面我們試用回歸分析方法建立其球狀變異函數模型。實測值γ(h)距離h實測值γ(h)距離h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.58.83.812.49.8當前70頁，總共93頁。

從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數的一般形式為當時，有當前71頁，總共93頁。

如果記，則可以得到線性模型

根據表中的數據，對上式進行最小二乘擬合，得到

(4.2.20)

計算可知，上式的顯著性檢驗參數F=114.054，R2=0.962，可見模型的擬合效果是很好的。(4.2.19)當前72頁，總共93頁。

比較(4.2.20)式與(4.2.19)式，并做簡單計算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球狀變異函數模型為(4.2.21)當前73頁，總共93頁。(四)克立格插值方法

克立格（Kriging）插值法，又稱空間局部估計或空間局部插值法。它建立在變異函數理論及結構分析基礎之上的，在有限區域內對區域化變量的取值進行無偏最優估計的一種方法。克立格法適用的條件是，如果變異函數和相關分析的結果表明區域化變量存在空間相關性。其實質是利用區域化變量的原始數據和變異函數的結構特點，對未采樣點的區域化變量的取值進行線性無偏、最優估計。具體來說，它是根據待估樣點(或待估塊段)有限鄰域內若干已測定的樣點數據，在認真考慮樣點的形狀、大小和空間相互位置關系，它們與待估樣點相互空間位置關系，以及變異函數提供的結構信息之后，對該待估樣點值進行的一種線性無偏最優估計。當前74頁，總共93頁。

克立格插值（kriginginterpolation)是根據變異函數模型而發展起來的一系列地統計的空間插值方法，包括：普通克立格法（ordinarykriging）;

泛克立格法（universalkriging）;

指示克立格法（indicatorkriging）;

析取克立格法（disjunctivekriging）;

協同克立格法（cokriging）等。下面僅對普通克立格法作一些簡單介紹。當前75頁，總共93頁。

首先假設區域化變量滿足二階平穩假設和本征假設，其數學期望為m，協方差函數及變異函數存在。即

假設在待估計點（x）的臨域內共有n個實測點，即x1，x2，…，xn，其樣本值為。那么，普通克里格法的插值公式為

(4.2.22)當前76頁，總共93頁。

其中為權重系數，表示各空間樣本點處的觀測值對估計值的貢獻程度。可見，克立格插值的關鍵就是計算權重系數。顯然，權重系數的求取必須滿足兩個條件：一是使的估計是無偏的，即偏差的數學期望為零；二是最優的，即使估計值和實際值之差的平方和最小。為此，需要滿足以下兩個條件：當前77頁，總共93頁。(1)無偏性。要使成為的無偏估計量，即。

當時，也就是當時，則有這時，為的無偏估計量。（2）最優性。在滿足無偏性條件下，估計方差為(4.2.23)當前78頁，總共93頁。2.應用實例

年降水量和蒸發量，既服從地帶性規律，同時又受隨機性因素的影響，因此它們是典型的區域化變量。我們以甘肅省53個氣象臺站多年平均降水量和蒸發量數據為實測值，擬合了年降水量和蒸發量的半變異函數理論模型，并采用普通克立格法和雙變量協同克里格法，做了空間插值計算，結論如下。

當前79頁，總共93頁。

（一）半