（優(yōu)選）空間向量的坐標運算ppt講解當前1頁，總共70頁。1．空間向量的坐標運算設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．當前2頁，總共70頁。2．空間兩點間的距離公式設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB＝

，|AB|＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)當前3頁，總共70頁。3.若A、B兩點的坐標分別是A(2cosθ，2sinθ，1)，

B(3cosα，3sinα，1)，則||的取值范圍是(

)A.[0,5]B.[1,5]C.(1,5)D.[1,25]解析：∵＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴||∈[1,5].答案：B當前4頁，總共70頁。A平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量

叫做平面的法向量.給定一點A和一個向量,那么過點A,以向量為法向量的平面是完全確定的.幾點注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內，則有l(wèi)當前5頁，總共70頁。垂直關系：當前6頁，總共70頁。例2已知平面經(jīng)過三點A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),試求平面的一個法向量.解:∵A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)∴設平面的法向量是依題意,有,即解得z=0且x=2y,令y=1,則x=2∴平面的一個法向量是當前7頁，總共70頁。當前8頁，總共70頁。當前9頁，總共70頁。當前10頁，總共70頁。當前11頁，總共70頁。當前12頁，總共70頁。六、夾角：當前13頁，總共70頁。例2:(1)求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值;xyzADBA1D1C1B1解：(1)以點A為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，則：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)設平面AB1C的法向量為n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直線B1C1與平面AB1C所成的角的正弦值為當前14頁，總共70頁。如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求:⑴異面直線SA和OB所成的角的余弦值；⑵OS與平面SAB所成角α的正弦值；A（2，0，0）；于是我們有OABCS=（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），則O（0，0，0）；解：以o為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示xyzC（0，1，0）；所以異面直線SA與OB所成的角的余弦值為當前15頁，總共70頁。取x=1，則y=1，z=2；故（2）設平面SAB的法向量顯然有當前16頁，總共70頁。N解：如圖建立坐標系A-xyz,則即在長方體中，例1：當前17頁，總共70頁。N又在長方體中，例1：當前18頁，總共70頁。例二：題型二：線面角在長方體中，當前19頁，總共70頁。例2當前20頁，總共70頁。解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，設則：

所以：所以與所成角的余弦值為當前21頁，總共70頁。5.正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值為

.解析：如圖，建立直角坐標系，設正方體棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1).設n＝(x，y，z)為平面A1BD的法向量當前22頁，總共70頁。則∴取n＝(1，－1，－1)，設直線BC1與平面A1BD所成角為θ，則sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.∴cosθ＝.答案：當前23頁，總共70頁。【鞏固練習】

1三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點,則PA與BE所成角的余弦值為_________.

2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.

當前24頁，總共70頁。當前25頁，總共70頁。如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，點M在PB上，PB＝4PM，PB與平面ABCD成30°的角.(1)求證：CM∥平面PAD；(2)求證：平面PAB⊥平面PAD.當前26頁，總共70頁。[思路點撥]當前27頁，總共70頁。[課堂筆記]以C為坐標原點，CB為x軸，CD為y軸，CP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.當前28頁，總共70頁。∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M(，0，)，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝(，0，)，當前29頁，總共70頁。(1)令n＝(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，則令y＝2，得n＝(－，2,1).∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥，又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.當前30頁，總共70頁。(2)取AP的中點E，則E(，2,1)，＝(－，2,1).∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，當前31頁，總共70頁。∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.當前32頁，總共70頁。小結：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

當前33頁，總共70頁。1.若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所

成的角為θ，則cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.2.利用空間向量方法求直線與平面所成的角，可以有

兩種辦法：當前34頁，總共70頁。①分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.當前35頁，總共70頁。lmlm當前36頁，總共70頁。ll當前37頁，總共70頁。5.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－

A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1

的中點，那么直線AM與CN所成角的

余弦值為

.當前38頁，總共70頁。解析：建立如圖所示的坐標系，則A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，，)則＝(0，，1)，＝(1,0，).∴cos〈〉＝＝＝.∴直線AM與CN所成角的余弦值為.答案：當前39頁，總共70頁。(2009·全國卷Ⅱ)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點，DE⊥平面BCC1.(1)證明：AB＝AC；(2)設二面角A－BD－C為60°，求B1C與平面BCD所成的角的大小.當前40頁，總共70頁。[思路點撥]當前41頁，總共70頁。[課堂筆記]

(1)證明：以A為坐標原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸.建立如圖所示的直角坐標系A－xyz.當前42頁，總共70頁。設B(1,0,0)，C(0，b,0)，D(0,0，c)，則B1(1,0,2c)，E(，，c).于是＝(，，0)，＝(－1，b,0).由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，·＝0，求得b＝1，所以AB＝AC.當前43頁，總共70頁。(2)設平面BCD的法向量＝(x，y，z)，則·＝0，·＝0.又＝(－1,1,0)，＝(－1,0，c)，故令x＝1，則y＝1，z＝，＝(1,1，).又平面ABD的法向量＝(0,1,0).當前44頁，總共70頁。由二面角A－BD－C為60°知，〈〉＝60°，故·cos60°，求得c＝.于是＝(1,1，)，＝(1，－1，)，Cos〈〉＝＝，〈〉＝60°.所以B1C與平面BCD所成的角為30°.當前45頁，總共70頁。解：由本例(2)知，＝(－1,1，－)，又B(1,0,0)，A1(0,0，)，∴＝(－1,0，).∴＝1－×＝－1，又||＝2，||＝，∴cos〈〉＝∴異面直線B1C與BA1所成角的余弦值為.在本例(2)的條件下，能否求出異面直線B1C與BA1所成角的余弦值.當前46頁，總共70頁。當前47頁，總共70頁。A.B.C.D.練習．在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是(

)當前48頁，總共70頁。解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，B(a，a,0)，M(a,0，a)，A1(a，0，a)．∴DB＝(a，a,0)，DM＝(a,0，a)，A1M＝(0,0，－a)設平面MBD的法向量n＝(x，y，z)，則當前49頁，總共70頁。令x＝1，得n＝(1，－1，－2)，∴A1到平面MBD的距離答案：

A當前50頁，總共70頁。利用向量法求點面距，其步驟如下：1．求出該平面的一個法向量；2．找出過該點的平面的任一條斜線段對應的向量；3．求出法向量與斜線段所對應向量的數(shù)量積的絕對值再除

以法向量的模，即可求出點到平面的距離，如圖．當前51頁，總共70頁。點P到平面α的距離當前52頁，總共70頁。

(2009·茂名模擬)如圖所示，在四面體A－BCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝(1)求證：AO⊥平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；(3)求點E到平面ACD的距離．當前53頁，總共70頁。[思路點撥]當前54頁，總共70頁。[課堂筆記]

(1)證明：連結OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝而AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2.∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.當前55頁，總共70頁。(2)以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，E(，，0)，∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為=(-1，0，1)當前56頁，總共70頁。(3)設平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)，則令y＝1，得n＝(－，1，)是平面ACD的一個法向量．又EC＝(－，0)，∴點E到平面ACD的距離h＝當前57頁，總共70頁。當前58頁，總共70頁。利用空間向量解決空間中線面位置關系的論證、空間中各種角的求解問題，以代數(shù)運算代替復雜的空間的想象，給解決立體幾何問題帶來了鮮活的方法．另外，空間向量還可以用來解決許多探索性問題，這類問題具有一定的思維深度，更能考查學生的能力，因此其已成為高考命題的熱點題型．當前59頁，總共70頁。[考題印證](2009·福建高考)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E為BC的中點．

(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；

(2)在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．當前60頁，總共70頁。【解】

(1)如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系D－xyz.依題意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)．┄┄┄┄┄┄┄(2分)當前61頁，總共70頁。所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為(6分)=(-1,0,1)┄┄┄┄┄(3分)┄┄┄┄┄(5分)當前62頁，總共70頁。(2)假設在線段AN上存在點S，使得ES⊥平面AMN.∵AN＝(0,1,1)，可設AS＝λAN＝(0，λ，λ)，又EA＝(，－1,0)，∴，λ－1，λ)．┄┄┄┄(8分)當前63頁，總共70頁。由ES⊥平面AMN，得即┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)故λ＝，此時AS＝(0，)，|AS|＝┄┄(10分)經(jīng)檢驗，當AS＝時，ES⊥平面AMN.┄┄┄┄(11分)故線段AN上存在點S，使得ES