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中國(guó)科學(xué)院外籍院士丘成桐

中國(guó)古代文學(xué)記載最早的是詩(shī)三百篇，有風(fēng)雅頌，既有民間抒情之歌，朝廷禮儀之作，也有歌頌或挖苦當(dāng)政者之曲。至孔子時(shí)，文學(xué)為君子立德和陶冶民風(fēng)而效勞。戰(zhàn)國(guó)時(shí)，諸子百家都有著述，在文學(xué)上有重要的奉獻(xiàn)，但是諸子如韓非卻輕視文學(xué)之士。屈原開千古辭賦之先河，畢生之志卻在楚國(guó)的復(fù)興。文學(xué)本身在古代社會(huì)沒有占據(jù)到重要的地位。至于數(shù)學(xué)，中國(guó)儒家將它放在六藝之末，是一個(gè)輔助性的學(xué)問。當(dāng)政者更視之為雕蟲小技，與文學(xué)比較，連歌頌朝廷的能力都沒有。政府對(duì)數(shù)學(xué)的尊重要到近年來才有極大改進(jìn)。

西方則不然，希臘哲人以數(shù)學(xué)為萬學(xué)之基。柏拉圖以通幾何為入其門檻之先決條件，所以數(shù)學(xué)家得到崇高地位，在西方蓬勃開展了兩千多年。

很多人會(huì)覺得我的講題有些奇怪，中國(guó)文學(xué)與數(shù)學(xué)好似是風(fēng)馬牛不相及，但我卻討論它。其實(shí)這關(guān)乎個(gè)人的感受和愛好，不見得其他數(shù)學(xué)家有同樣的感覺，“如人飲水，冷暖自知〞。每個(gè)人的成長(zhǎng)和風(fēng)格跟他的文化背景、家庭教育有莫大的關(guān)系。我幼受庭訓(xùn)，影響我至深的是中國(guó)文學(xué)，而我最大的興趣是數(shù)學(xué)，所以將他們做一個(gè)比較，對(duì)我來說是相當(dāng)有意義的事。

一、數(shù)學(xué)之根本意義

數(shù)學(xué)之為學(xué)，有其獨(dú)特之處，可說是人文科學(xué)和自然科學(xué)的橋梁。

數(shù)學(xué)家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規(guī)律，用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)出來。這里所說的大自然比一般人所了解的來得廣泛，我們認(rèn)為數(shù)字、幾何圖形和各種有意義的規(guī)律都是自然界的一局部，我們希望用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語言將這些自然現(xiàn)象的本質(zhì)表現(xiàn)出來。

數(shù)學(xué)是一門公理化的科學(xué)，所有命題必需由三段論證的邏輯方法推導(dǎo)出來，但這只是數(shù)學(xué)的形式，而不是數(shù)學(xué)的精華。大局部數(shù)學(xué)著作枯燥乏味，而有些卻令人嘆為觀止，其中的分別在哪里.

大概言之，數(shù)學(xué)家以其對(duì)大自然感受的深刻淺薄，來決定研究的方向，這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，后者則取決于個(gè)人的氣質(zhì)，氣質(zhì)與文化修養(yǎng)有關(guān)，無論是選擇懸而未決的難題，或者創(chuàng)造新的方向，文化修養(yǎng)皆起著關(guān)鍵性的作用。文化修養(yǎng)是以數(shù)學(xué)的功夫?yàn)楦祝匀豢茖W(xué)為輔，但是深厚的人文知識(shí)也極為要緊，因?yàn)槿宋闹R(shí)也致力于描述心靈對(duì)大自然的感受，所以司馬遷寫?史記?除了“通古今之變〞外，也要“究天人之際〞。

*勰?文心雕龍?以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。歷代大數(shù)學(xué)家如阿基米德如牛頓莫不以自然為宗，見物象而思數(shù)學(xué)之所出，即有微積分的創(chuàng)作。費(fèi)爾瑪和尤拉對(duì)變分法的開創(chuàng)性創(chuàng)造也是由于探索自然界的現(xiàn)象而引起的。

廣義相對(duì)論提出了場(chǎng)方程，它的幾何構(gòu)造成為幾何學(xué)家夢(mèng)寐以求的對(duì)象，因?yàn)樗苜x予空間一個(gè)調(diào)和而完美的構(gòu)造。我研究這種幾何構(gòu)造垂三十年，時(shí)而迷惘，時(shí)而興奮，自覺同?詩(shī)經(jīng)??楚辭?的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。

在空間上是否存在滿足引力場(chǎng)方程的幾何構(gòu)造是一個(gè)極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。盡管其他幾何學(xué)家都不相信它存在，我卻鍥而不舍，不分晝夜地去研究它，“雖九死其猶未悔〞。

我花了五年工夫，終于找到了具有超對(duì)稱的引力場(chǎng)構(gòu)造，并將它創(chuàng)造成數(shù)學(xué)上的重要工具。當(dāng)時(shí)的心境，可以用以下兩句來描述：“落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛。〞

以后大批的弦理論學(xué)家參與研究這個(gè)構(gòu)造，得出很多深入的結(jié)果。剛開場(chǎng)時(shí)，我的朋友們都對(duì)這類問題敬而遠(yuǎn)之，不愿意與物理學(xué)家打交道。但我深信造化不致弄人，回憶十多年來在這方面的研究尚算滿意，現(xiàn)在卡拉比——丘空間的理論已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的一支主流。

二、數(shù)學(xué)的文采

數(shù)學(xué)的文采，表現(xiàn)于簡(jiǎn)潔，寥寥數(shù)語，便能道出不同現(xiàn)象的法則。

我的教師陳省身先生創(chuàng)作的陳氏類，就文采斐然，令人贊嘆。它在扭曲的空間中找到簡(jiǎn)潔的不變量，在現(xiàn)象界中成為物理學(xué)界求量子化的主要工具，可說是描述大自然美麗的詩(shī)篇，直如陶淵明“采菊東籬下，悠然見南山〞的意境。

從歐氏幾何的公理化，到笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，到牛頓、萊布尼茲的微積分，到高斯、黎曼創(chuàng)立的內(nèi)蘊(yùn)幾何，一直到與物理學(xué)水乳相融的近代幾何，都以簡(jiǎn)潔而富于變化為宗，其文采絕不遜色于任何一件文學(xué)創(chuàng)作，它們軔生的時(shí)代與文藝興起的時(shí)代一樣，絕對(duì)不是巧合。

數(shù)學(xué)家在開創(chuàng)新的數(shù)學(xué)想法的時(shí)候，可以看到高雅的文采和嶄新的風(fēng)格，例如歐幾里得證明存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)，開創(chuàng)反證法的先河。高斯研究十七邊形的對(duì)稱群，使伽羅華群成為數(shù)論的骨干。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五言詩(shī)的始祖蘇李唱和詩(shī)和詞的始祖李太白的?憶秦娥?。

中國(guó)詩(shī)詞都講究比興，有深度的文學(xué)作品必須要有“義〞、有“諷〞、有“比興〞。數(shù)學(xué)亦如是。我們?cè)趯で笳嬷獣r(shí)，往往只能憑已有的經(jīng)歷，因循研究的大方向，憑我們對(duì)大自然的感覺而向前邁進(jìn)，這種感覺是相當(dāng)主觀的，因個(gè)人的文化修養(yǎng)而定。

文學(xué)家為了到達(dá)最正確意境的描述，不見得忠實(shí)地描寫現(xiàn)象界。數(shù)學(xué)家為了創(chuàng)造美好的理論，也不必依隨大自然的規(guī)律，只要邏輯推導(dǎo)沒有問題，就可以盡情地發(fā)揮想象力，然而文章終究有上下之分。大致來說，好的文章“比興〞的手法總會(huì)比較豐富。

數(shù)學(xué)上常見的比照方法乃是低維空間和高維空間現(xiàn)象的比照。我們雖然看不到高維空間的事物，但可以看到一維或二維的現(xiàn)象，并由此來推測(cè)高維的變化。我在做研究生時(shí)企圖將二維空間的單值化原理推廣到高維空間，得到一些漂亮的猜想，我認(rèn)為曲率的正或負(fù)可以作為復(fù)構(gòu)造的指向，這個(gè)看法影響至今，可以溯源到十九世紀(jì)和二十世紀(jì)初期曲率和保角映像關(guān)系的研究。

事實(shí)上，愛因斯坦的廣義相對(duì)論也是比照各種不同的學(xué)問而創(chuàng)造成功的，它是科學(xué)史上最偉大的構(gòu)思，可以說是驚天地而泣鬼神的工作。它統(tǒng)一了古典的引力理論和狹義相對(duì)論。愛氏花了十年功夫，基于等價(jià)原理，比較了各種描述引力場(chǎng)的方法，巧妙地用幾何*量來表達(dá)了引力場(chǎng)，將時(shí)空觀念全盤翻新。

同文學(xué)極為相似的是，從局部構(gòu)造開展到大*圍的構(gòu)造也是近代數(shù)學(xué)開展的過程，往往通過比興的手法來處理。幾何學(xué)和數(shù)論都有這一段歷史，代數(shù)幾何學(xué)家在研究奇異點(diǎn)時(shí)通過爆炸的手段，有如將整個(gè)世界濃縮在一點(diǎn)。微分幾何和廣義相對(duì)論所見到的奇異點(diǎn)比代數(shù)流形復(fù)雜，但是也希望從局部開場(chǎng)，逐漸了解整體構(gòu)造。數(shù)論專家研究局部構(gòu)造時(shí)則通過素?cái)?shù)的模方法，將算術(shù)流形變成有限域上的幾何，然后和大*圍的算術(shù)幾何比照，得出豐富的結(jié)果。

由于文學(xué)家對(duì)事物有不同的感受，同一事或同一物可以產(chǎn)生不同的吟詠。對(duì)事物有不同的感受后，往往通過比興的方法另有所指，例如“美人〞有多重意思，除了指美麗的女子外，也可以指君主，屈原?九章?：“結(jié)微情以陳詞兮，矯以遺夫美人。〞也可以指品德美好的人，?詩(shī)經(jīng)·邶風(fēng)?：“云誰之思，西方美人。〞蘇軾?赤壁賦?：“望美人兮天一方。〞

數(shù)學(xué)家對(duì)*些重要的定理，也會(huì)提出很多不同的證明。例如勾股定理的不同證明有十個(gè)以上，等周不等式亦有五六個(gè)證明，高斯則給出數(shù)論對(duì)偶定律六個(gè)不同的看法。不同的證明讓我們以不同的角度去理解同一個(gè)事實(shí)，往往引導(dǎo)出數(shù)學(xué)上不同的開展。

記得三十年前我利用分析的方法來證明完備而非緊致的正曲率空間有無窮大體積后，幾何學(xué)家Gromov開場(chǎng)時(shí)不相信這個(gè)證明，以后他找出我證明方法的幾何直觀意義后，開展出他的幾何理論，這兩個(gè)不同觀念都有它們的重要性。

對(duì)空間中的曲面，微分幾何學(xué)家會(huì)問它的曲率如何，有些分析學(xué)家希望沿著曲率方向來推動(dòng)它一下看看有甚么變化，代數(shù)幾何學(xué)家可以考慮它可否用多項(xiàng)式來表示，數(shù)論學(xué)家會(huì)問上面有沒有整數(shù)格點(diǎn)。這種種主觀的感受由我們的修養(yǎng)來主導(dǎo)。

三、數(shù)學(xué)的品評(píng)與演化

江山代有人才，能夠帶著我們進(jìn)入新的境界的都是好的數(shù)學(xué)。

好的工作應(yīng)當(dāng)是文已盡而意有余，大局部數(shù)學(xué)文章質(zhì)木無文，流俗所好，不過兩三年耳。但是有創(chuàng)意的文章，未必為時(shí)所好，往往十?dāng)?shù)年后始見其功。

我曾經(jīng)用一個(gè)嶄新的方法去研究調(diào)和函數(shù)，以后和幾個(gè)朋友一同改進(jìn)了這個(gè)方法，成為熱方程的一個(gè)重要工具。開場(chǎng)時(shí)沒有得到別人的贊賞，直到最近五年大家才領(lǐng)會(huì)到它的潛力。然而我們還是鍥而不舍地去研究，覺得意猶未盡。

數(shù)學(xué)華美的作品可從泛函分析這種比較廣泛的學(xué)問中找到，雖然有其美麗和重要性，但與自然之道總是隔了一層。舉例來說，從函數(shù)空間抽象出來的一個(gè)重要概念叫做巴拿赫空間，在微分方程學(xué)有很重要的功用，但是以后很多數(shù)學(xué)家為了研究這種空間而不斷推廣，例如有界算子是否存在不變空間的問題，確是漂亮，但在數(shù)學(xué)大流上卻未有激起任何波瀾。

能經(jīng)得起時(shí)間考驗(yàn)的工作寥寥無幾，政府評(píng)審人才應(yīng)當(dāng)以此為首選。歷年來以文章篇數(shù)和被引用多寡來做指針，使得國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)工作者水平大不如人，不單與自然隔絕，連華美的文章都難以看到。

數(shù)學(xué)的演化和文學(xué)有極為類似的變遷。從平面幾何至立體幾何，至微分幾何等等，一方面是工具得到改進(jìn)，另一方面是對(duì)自然界有進(jìn)一步的了解，將原來所認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)構(gòu)造的美發(fā)揮盡至后，需要進(jìn)入新的境界。江山代有人才，能夠帶著我們進(jìn)入新的境界的都是好的數(shù)學(xué)。上面談到的高維拓?fù)湮臍庖驯M，假使它能與微分幾何、數(shù)學(xué)物理和算術(shù)幾何組合變化，亦可振翼高翔。

當(dāng)一個(gè)大問題懸而未決的時(shí)候，我們往往以為數(shù)學(xué)之難莫過于此。待問題解決后，前途豁然開朗，看到比原來更為燦爛的火花，就會(huì)有不同的感受。科學(xué)家對(duì)自然界的了解，都是循序漸進(jìn)，在不同的時(shí)空自然會(huì)有不同的感受。有學(xué)生略識(shí)之無后，不知?jiǎng)?chuàng)作之難，就連陳省身先生的大作都看不上眼，自以為見識(shí)更為豐富，不自見之患也。人貴自知，始能進(jìn)步。即如?莊子?所言：“今爾出于崖縵，觀于大海，乃知爾丑，爾將可與語**矣。〞

我曾經(jīng)參觀德國(guó)的葛庭根大學(xué)，看到十九世紀(jì)和廿世紀(jì)偉大科學(xué)家的手稿，他們傳世的作品只是他們工作的一局部，很多杰作都還未發(fā)表，使我深為慚愧而欽佩他們的胸襟。今人則不然，大量模仿，甚至將名作稍微改動(dòng)，據(jù)為己有，盡快發(fā)表。或申請(qǐng)?jiān)菏浚蜃造艦閷W(xué)術(shù)宗匠，于古人何如哉。

四、數(shù)學(xué)的意境與感情

氣有清濁，如何尋找數(shù)學(xué)的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。

王國(guó)維在?人間詞話?中說：“詞以境界為最上。有境界則自成高格。〞他并因此而區(qū)分了“造境〞與“寫境〞，“有我之境〞與“無我之境〞等。

數(shù)學(xué)研究當(dāng)然也有境界的概念，在*種程度上也可談?dòng)形抑场o我之境，當(dāng)年尤拉開創(chuàng)變分法和推導(dǎo)流體方程，由自然現(xiàn)象引導(dǎo)，可謂無我之境，他又憑自己的想象力研究發(fā)散級(jí)數(shù)，而得到zeta函數(shù)的種種重要結(jié)果，開三百年數(shù)論之先河，可謂有我之境矣。

不少偉大的數(shù)學(xué)家，以文學(xué)、音樂來培養(yǎng)自己的氣質(zhì)，與古人神交，直追數(shù)學(xué)的根源，來到達(dá)高超的意境。

為了到達(dá)深遠(yuǎn)的效果，數(shù)學(xué)家需要找尋問題的精華所在，需要不斷培養(yǎng)我們對(duì)問題的感情和技巧，這一點(diǎn)與孟子所說的養(yǎng)氣相似。氣有清濁，如何尋找數(shù)學(xué)的魂魄，視乎我們的文化修養(yǎng)。

我的朋友Hamilton先生，他一見到問題可以用曲率來推動(dòng)，就眉飛色舞。另外一個(gè)澳洲來的學(xué)生，見到與愛因斯坦方程有關(guān)的幾何現(xiàn)象就趕快找尋它的物理意義，興奮異常，因此他們的文章都是清純可喜。反過來說，有些成名的學(xué)者，文章甚多，但陳陳相因，了無新意。這是對(duì)自然界、對(duì)數(shù)學(xué)問題沒有感情的現(xiàn)象，反而對(duì)名位權(quán)利特別重視。為了院士或政協(xié)委員的名銜而甘愿千里仆仆風(fēng)塵地奔波，在這種情形下，難以想象他們對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)自然界有深厚的感情。

數(shù)學(xué)的感情是需要培養(yǎng)的，慎于交友才能夠培養(yǎng)氣質(zhì)。博學(xué)多聞，感慨始深，堂廡始大。

濃厚的感情使我們對(duì)研究的對(duì)象產(chǎn)生直覺，這種直覺看對(duì)象而定，例如在幾何上叫做幾何直覺。好的數(shù)學(xué)家會(huì)將這種直覺寫出來，有時(shí)可以用來證明定理，有時(shí)可以用來猜想新的命題或提出新的學(xué)說。

但數(shù)學(xué)畢竟是說理的學(xué)問，不可能極度主觀。?詩(shī)經(jīng)?“蓼莪〞“黍離〞，屈原?離騷??**?，漢都尉河梁送別，陳思王歸藩傷逝，李后主憶江南，宋徽宗念故宮，俱是以血書成、直抒胸臆，非論證之學(xué)所能及也。

五、數(shù)學(xué)的應(yīng)用與訓(xùn)練

解除名利的束縛，俾欣賞大自然的直覺毫無拘束地表露出來，乃是數(shù)學(xué)家養(yǎng)氣最重要的一步。

數(shù)學(xué)除與自然相交外，也與人為的事物相接觸，很多數(shù)學(xué)問題都是純工程上的問題。有些數(shù)學(xué)家畢生接觸的都是現(xiàn)象界的問題，可謂入乎其內(nèi)。大數(shù)學(xué)家如尤拉、如富里哀、如高斯、如維納、如馮紐曼等都能入乎其內(nèi)，出乎其外，既能將抽象的數(shù)學(xué)在工程學(xué)上應(yīng)用，又能在實(shí)用的科學(xué)中找出共同的理念而開展出有意義的數(shù)學(xué)。反過來說，有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家只用計(jì)算器作出一些計(jì)算，不求甚解，可謂二者皆未見矣。

近代有些應(yīng)用數(shù)學(xué)家以爭(zhēng)取政府經(jīng)費(fèi)為唯一目標(biāo)，本身無一技之長(zhǎng)，卻巧立名目，反誣告根本數(shù)學(xué)家對(duì)社會(huì)沒有奉獻(xiàn)，盡失其真矣。有如近代小說以情欲、仇殺、奸詐為主題，取寵于時(shí)俗，不如太史公?刺客列傳?中所說：“自曹沫至荊軻五人，此其義或成或不成，然其立意較然，不欺其志，名垂后世，豈妄也哉。〞

應(yīng)用數(shù)學(xué)家不能立意較然，而妄談對(duì)社會(huì)有奉獻(xiàn)，恐怕是緣木求魚了。

好的數(shù)學(xué)家需要領(lǐng)會(huì)自然界所賦予的情趣，因此也須向同道學(xué)習(xí)他們的經(jīng)歷。然而學(xué)習(xí)太過，則有依傍之病。顧亭林云：“君詩(shī)之病在于有杜，君文之病在于有韓，歐。有此蹊徑于胸中，便終身不脫依傍二字，斷不能登峰造極。〞

今人習(xí)數(shù)學(xué)，往往依傍名士，凡海外畢業(yè)的留學(xué)生，都為佳士，孰不知這些名士泰半文章與自然相隔千萬里，畫虎不成反類犬矣。很多研究生在跟隨名師時(shí)，做出第一流的工作，畢業(yè)后卻每況愈下，就是依傍之過。更有甚者，依傍而不自知，由導(dǎo)師提攜指導(dǎo)，竟自炫“無心插柳柳成蔭〞，難有創(chuàng)意之作矣。

有些學(xué)者則倚洋自重，國(guó)外大師的工作已經(jīng)完成，除非另有新意，不大可能再進(jìn)一步開展。國(guó)內(nèi)學(xué)者繼之，不假思索，頂多能夠發(fā)表一些二三流的文章。極值理論就是很好的例子。由Birkhoff、Morse到Nirerberg開展出來的過山理論，文意已盡，不宜再繼續(xù)了。

推其下流，則莫如抄襲，有成名學(xué)者為了速成，帶著國(guó)內(nèi)學(xué)者抄襲名作，竟然得到重視，居廟堂之上，腰纏萬貫而沾沾自喜，良可嘆也。

數(shù)學(xué)家如何不依傍才能做出有創(chuàng)意的文章.

屈原說：“紛吾既有