揚(yáng)州大學(xué)碩士論文

３０揚(yáng)州大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和版權(quán)使用授權(quán)書學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人聲明：所呈交的學(xué)位論文是在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的研究成果。除文中已經(jīng)標(biāo)明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表的研究成果。對(duì)本文的研究做出奉獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律結(jié)果由本人承當(dāng)。學(xué)位論文作者簽名：戳舅簽字日期：們年』月／盧日學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本人完全了解學(xué)校有關(guān)保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保存并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子文檔，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)揚(yáng)州大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或局部?jī)?nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。同時(shí)授權(quán)中國(guó)科學(xué)技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到?中國(guó)學(xué)位論文全文數(shù)據(jù)庫(kù)?，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會(huì)公眾提供信息效勞。學(xué)位做作者虢鉍考

導(dǎo)師簽名：

訓(xùn)舛簽字日期：砂秒碑ｊ１／肜日

簽字日期１利年ｊ。月／尹日施冬芳由Ｎ００ｒ積分算子定義的解析函數(shù)中文摘要在Ｓ．Ｒｕｓｃｈｅｗｅｙｈ定義了解析函數(shù)的Ｒｕｓｃｈｅｗｅｙｈ導(dǎo)數(shù)［１】后，許多學(xué)者相繼研究了與Ｒｕｓｃｈｅ、Ⅳｅｙｈ導(dǎo)數(shù)有關(guān)的單葉或多葉解析函數(shù)類，并且不斷改良和推廣Ｒｕｓｃｈｅｗｅｙｈ導(dǎo)數(shù)，將分?jǐn)?shù)次算子、積分算子和微分算子等應(yīng)用到單葉函數(shù)論的研究領(lǐng)域中來，使得單葉函數(shù)理論得到了極大的豐富和開展．如Ｒｕｓｃｈｅ、Ⅳｅｙｈ導(dǎo)數(shù)算子【ｌ，２，１９】，Ｎｏｏｒ積分算子【３，４】，Ｃ碰ｓｏｎ—Ｓｈａ船ｒ算子［５，６】，Ｊｕｎｇ．硒ｍ．Ｓｒｉｖａｓｔａｖａ積分算子［７，８】，Ｄｚｉｏｋ—Ｓｒｉｖａｓｔａｖａ算子［９，１０］等等．基于這些不同的算予，某些解析函數(shù)類或亞純函數(shù)類的性質(zhì)和特征〔如函數(shù)類的包含關(guān)系、偏差覆蓋定理、卷積性質(zhì)、局部和性質(zhì)等〕被廣泛的研究，如ＳｒｉＶａｓｔａＶａ、Ｘｕ和Ｙｒ鋤ｇ【２］，Ｌｉｕ和ＳｒｉＶａｓｔａＶａ［１２］等．本文用Ｈａｄ鋤ａｒｄ積〔卷積〕定義線性算子厶，稱之為Ｎｏｏｒ積分算子．即令Ａ表示單位圓盤ｕ＝｛ｚ：Ｈ＜１｝內(nèi)形為廠〔ｚ〕＝ｚ＋∑吼少的解析函數(shù)類．對(duì)于廠〔ｚ〕∈Ａ，，ｚ∈Ｎ，線性算子厶：Ａ專Ａ定義為厶廠ｏ〕＝ｚ．１’〔ｚ〕木廠〔ｚ〕，其中ｚ〔ｚ〕２百掃，∥－１’〔ｚ〕水ｚ〔ｚ〕２百身?幸表示Ｈａｄ鋤莉積〔卷積〕．首先利用Ｎｏｏｒ積分算子厶引進(jìn)了一個(gè)新的解析函數(shù)類Ｑ＠，刀；彳，Ｂ〕，作為文獻(xiàn)【２，２ｌ，２２】中函數(shù)類的推廣，我們給出了函數(shù)類Ｑ＠，咒；彳，Ｂ〕的三個(gè)包含關(guān)系：Ｑ〔口，挖；彳，Ｂ〕ｃＱ〔口，行＋１；彳，Ｂ〕；Ｑ〔％，行；么，Ｂ〕ｃＱ〔ｑ，行；彳，Ｂ〕；Ｑ＠，甩；么，Ｂ〕ｃ

Ｑ〔０，聆；１—２ｐ，一１〕，其推論驗(yàn)證了Ｓｉｌｖｅｍａｎ【１８】中的結(jié)果．其次考慮了函數(shù)類Ｑ＠，忍；４Ｂ〕的幾個(gè)卷積性質(zhì)，并由此得到了在積分算子只〔廠〕〔ｚ〕作用下，函數(shù)類的包含關(guān)系保持不變．Ｊ一么，Ｉｌ一么，Ｊ一么，Ｉｌ一么，揚(yáng)州人學(xué)碩＋論文

２最后研究了函數(shù)類Ｑ＠，療；彳，Ｂ〕中系數(shù)為負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù)類Ｑ＋＠，刀；彳，Ｂ〕，給出廠〔ｚ〕∈Ｑ’＠，刀；么，Ｂ〕的充要條件，進(jìn)而得到了函數(shù)類精確的系數(shù)估計(jì)，極值點(diǎn)問題和凸性，以及近于凸函數(shù)，星象函數(shù)和凸函數(shù)的半徑．關(guān)鍵詞：解析函數(shù)；Ｎｏｏｒ積分算子；Ｈａｄ舭１ａｒｄ卷積；近于凸函數(shù)；星象函數(shù)；凸函數(shù)；極值點(diǎn)施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)Ａｂｓｔｒａｃｔ

３Ｓｉｎｃｅｄｅｆｉｎｅｄ

Ｒｕｓｃｈｅｗｅｙｈ

ｄｅｒｉＶａｔｉＶｅｏｆ

ａ１１ａｌ〞ｉｃ劬ｃｔｉｏｎｓ

ｂｙ

Ｓ．Ｒｕｓｃｈｅｗｅｙｈ［１】，ｍａＩｌｙ

ｓｃｈｏｌａｒｓｈａＶｅ

ｓｔｕｄｉｅｄｃｌａｓｓｅｓｏｆｕｎｉＶａｌｅｍ

ｏｒ

ｍｕｌｔｉＶａｌｅｎｔａＩｌａｌｙｔｉｃｆｈｎｃｔｉｏｎｓａｓｓｏｃｉａｔｅｄｗｉｔｈＲｕｓｃｈｅｗｅｙｈｄｅｒｉＶａｔｉＶｅ．ＳｅＶｅｒａｌ

ｆ．鋤ｉｌｉｅｓ

ｏｆｆ．ｒａｃｔｉｏｎａｌｏｐｅｒａｔｏｒ，ｉｍｅｇｒａｌｏｐｅｒａｔｏｒａｎｄｄｅｒｉＶａｔｉＶｅｏｐｅｒａｔｏｒＷｈｉｃｈ

ａｒｅ

ｃｌｏｓｅｌｙｒｅｌａｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅ

Ｈａｄ鋤ａｒｄ

ｐｒｏｄｕｃｔ〔ｏｒｃｏｎＶｏｌｕｔｉｏｎ〕、〕￣，ｅｒｅ

ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄａｎｄｉｎＶｅｓｔｉｇａｔｅｄｉｎｔｈｅｃｏｎｔｅｘｔｏｆｕ１１ｉＶａｌｅｍＦｕｎｃｔｉｏｎＴ１１ｅｏＵ

Ｆｏｒｉｎｓｔａｌｌｃｅ，ｗｅｃｈｏｏｓｅｔｏｍｅｎｔｉｏｎｔｈｅＲｕｓｃｈｅｗｅｙｈｄｅｒｉＶａｔｉｖｅ

ｏｐｅｒａｔｏｒ【１，２，１９】，ｔｈｅ

Ｎｏｏｒ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｏｐｅｒａｔｏｒ［３，４】，ｔｈｅ

Ｃａｒｌｓｏｎ－Ｓｈａｆｒｅｒ

ｏｐｅｍｔｏｒ［５，６】，ｔ１１ｅＪｕｌｌｇ一瞄ｍ—ＳｒｉＶａＳｔａＶａｉｎｔｅｇｒａｌｏｐｅｒａｔｏｒ【７，８］，ｔｈｅ

Ｄｚｉｏｋ－ＳｒｉＶａｓｔａｖａ

ｏｐｅｒａｔｏｒ［９，１０】，鋤ｄ

ｓｏｏｎ．Ｂａｓｅｄ

ｏｎ

ｔｈｅｓｅｄｉｆｒｅｒｅｍｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｒｌｄｃｈａｒａｃｔｅｒｓｏｆａ１１ａｌｙｔｉｃ＾ｍｃｔｉｏｎｓａＩｌｄｍｅｒｏｍｏ印ｌｌｉｃｆ．ｕｎｃｔｉｏｎｓｈａＶｅｂｅｅｎｓｔｕｄｉｅｄｅＸｔｅｎｓｉＶｅｌｙ，Ｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ，ｔｈｅｉｎｃｌｕｓｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓ，

ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ

ａｎｄ

ｃｏＶｅｒｉｎｇ

ｍｅｏｒｅｍｓ、ｐａｒｔｉａｌｓｕｍｓ、ｃｏｎＶ０１ｕｔｉｏｎｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄ

ｓｏ

ｏｎ．〔［２］，［１２］〕Ｉｎｔｈｉｓ

ｐ印ｅｒ，ｌｅｔ

Ａｂｅｍｅｃｌａｓｓ

ｏｆ劬ｃｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｆｏｎｌｌ廠〔ｚ〕＝ｚ＋∑吼ｚ。州ｃｈ

ａｒｅａｎａｌ如ｃ

ｉｎ

ｔｈｅ

ｕＩｌｉｔ

ｄｉｓｋ

ｕ＝｛ｚ：ｚ∈ｃ且ＩｚＩ＜１｝．Ｆｏｒ廠〔ｚ〕∈Ａ，行∈Ｎ，ａ

ｃｅｎａｉｎｏｐｅｒａｔｏｒ厶：Ａ專Ａ〔ｃａｌｌｅｄＮｏｏｒ

ｉｎｔｅｇｒａｌ

ｏｐｅｒａｔｏｒ〕ｉｓ

ｄｅｆｉｎｅｄ

ａｕｓ厶廠〔ｚ〕＝∥－１’〔ｚ〕幸廠〔ｚ〕ｓｕｃｈｔｈａｔ∥＿１’０〕水Ｚ〔ｚ〕＝

〔１一ｚ〕２’

、Ⅳｈｅｒｅ

Ｚ〔ｚ〕＝

Ｚ〔１一ｚ〕腫１

ａｎｄ

幸

ｄｅｎｏｔｅｓ

ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎ

ｏｒＨａｄａｍａｒｄｐｒｏｄｕｃｔ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｍａ虹ｎｇ

ｕｓｅ

ｏｆＮｏｏｒｉｍｅｇｒａｌｏｐｅｒａｔｏｒ

Ｌ，ａ

ｎｅｗｓｕｂｃｌａＬｓｓ

ｏｆａｎａｌ〞ｉｃ＾ｍｃｔｉｏｎｓ

Ｑ〔口，，ｚ；么，Ｂ〕

ｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｈｅｏｐｅｎｕｎｉｔｄｉｓｋ．Ａｓ

ａ

ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｃｌａｓｓｏｆ【２，２１，２２］，ｔ１１ｒｅｅ

ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｏｆｉｔ

ａｒｅ

ｏｂｔａｉｎｅｄ：Ｑ〔口，，ｚ；彳，召〕ｃＱ〔口，刀＋ｌ；彳，Ｂ〕；Ｑ〔口２，％么，Ｂ〕ｃＱ〔口１，玎；彳，Ｂ〕；Ｑ〔口，刀；彳，Ｂ〕ｃＱ〔０，船；１—２ｐ，一１〕．１１１ｅ

ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｔｈｅｉｎｃｌｕｓｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓｉｓ

ａｃｃｏｒｄ晰ｔｈｔｈｅ

ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ

ｏｆ【１８］．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｔｌｌｅｃｏｎＶｏｌｕｔｉｏｎｐｒｏｐｅｎｉｅｓｏｆ

９〔口，門；彳，Ｂ〕御．ｅ

ｉｎＶｅｓｔｉｇａｔｅｄ，ａ１１ｄｓｏｍｅｉｎｃｌｕｓｉｏｎｒｅｌａｔｉｏｎｓ

ａｒｅ

ｐｒｅｓｅｒｖｅｄｕ１１ｄｅｒｔｈｅ

ｉｎｔｅｇｒａｌ易〔廠〕〔ｚ〕．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｃｌａｓｓ

Ｑ＋〔口，刀；么，Ｂ〕

ｏｆ

ａｎａｌｙｔｉｃ缸１ｃｔｉｏｎｓ

ｂｅｌｏｎｇｉｎｇ

ｔ０

Ｑ〔口，，ｚ；４，Ｂ〕謝ｔｈ

ｔ１１ｅｎｅｇａｔｉＶｅ

ｃｏｅ銜ｃｉｅｎｔｓ

ｉｓｓｔｕｄｉｅｄ，ｎｌｅｎｅｃｅｓｓａｒｙａＩｌｄ

ｓｕ街ｃｉｅｎｔ

ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ

ｏｆ廠〔ｚ〕ｆａｌｌｉｎｇｉｎｔｏ

Ｑ‘＠，，ｚ；彳，Ｂ〕ｉｓ

ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅｔｈｅ

ｃｏｅ伍ｃｉｅｎｔ

ｅｓｔｉｍａｔｅｓ，ｅｘｔｒｅｍｅｐｏｉｎｔｓｐｒｏｂｌｅｍｓ、ｔｈｅｃｏＩⅣｅｘｉｔ〕，ａｎｄｔｈｅｒａｄｉｕｓｏｆ

ｃｌｏｓｅ－ｔｏ—ｃｏｎｖｅｘ缸１ｃｔｉｏｎｓ，鼬ａｒｌｉｋｅｆｍｌｃｔｉｏｎｓ，ｃｏｎＶｅｘｆ詛１ｃｔｉｏｎｓｏｆｃｌａｓｓ

Ｑ‘〔口，，ｚ；么，Ｂ〕ａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｎａｌｙｔｉｃｆ．ｕｎｃｔｉｏｎｓ；

Ｎｏｏｒｉｎｔｅｇｒａｌｏｐｅｒａｔｏｒ；

Ｈａｄａｍａｒｄｐｒｏｄｕｃｔ；ｃｌｏｓｅ－ｔｏ－ｃｏｎＶｅｘ

ｆ．吼ｃｔｉｏｎｓ；

ｓｔａｒｌｉｋｅｎｍｃｔｉｏｎｓ；

ｃｏｎＶｅｘ缸ｌｃｔｉｏｎｓ；

ｅｘｔｒｅｍｅｐｏｉｎｔｓ施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)設(shè)Ａ表示形如

１．

引言廠〔ｚ〕＝ｚ＋∑嚷≯

〔１．１〕七＝２且在單位圓盤ｕ＝｛ｚ：Ｈ＜１〕內(nèi)解析的函數(shù)廠〔ｚ〕全體所成的函數(shù)類．設(shè)廠〔ｚ〕和ｇ〔ｚ〕都在ｕ內(nèi)解析，假設(shè)存在ｕ內(nèi)滿足１ｗ〔ｚ〕ｌ≤Ｈ的解析函數(shù)ｗ〔ｚ〕使得廠〔ｚ〕＝ｇ〔ｗ〔ｚ〕〕，那么稱廠〔ｚ〕附屬于ｇ〔ｚ〕，記作廠〔ｚ〕＜ｇ〔ｚ〕．特別地，假設(shè)ｇ〔ｚ〕在Ｕ內(nèi)是單葉的，那么廠〔ｚ〕．＜ｇ〔ｚ〕等價(jià)于／〔Ｏ〕＝ｇ〔Ｏ〕且廠〔Ｕ〕ｃｇ〔Ｕ〕．假設(shè)日〔ｐ〔ｚ〕，孕’〔ｚ〕〕＿＜而〔ｚ〕為一階微分附屬，假設(shè)ｇ〔ｚ〕單葉，且對(duì)所有滿足此微分附屬的解析函數(shù)ｐ〔ｚ〕都有ｐ〔ｚ〕一＜９０〕，那么稱ｇ〔ｚ〕為微分附屬的控制函數(shù)．假設(shè)ｇｏ〔ｚ〕是微分附屬的控制函數(shù)且對(duì)所有控制函數(shù)ｇ〔ｚ〕有９０〔ｚ〕＜ｇ〔ｚ〕，那么稱吼〔ｚ〕為微分附屬的最正確控制．假設(shè)函數(shù)廠〔ｚ〕∈Ａ，如果滿足Ｒｅ｛箸〕＞雕枷，那么稱／〔ｚ〕為單位圓盤Ｕ內(nèi)∥〔∥＜１〕階星形函數(shù)，記為Ｓ＋〔∥〕。假設(shè)函數(shù)廠〔ｚ〕∈Ａ，如果滿足卟鬻〕＞雕唧，那么稱廠〔ｚ〕為單位圓盤Ｕ內(nèi)∥〔∥＜１〕階凸函數(shù)，記為Ｃ〔∥〕．假設(shè)函數(shù)／〔ｚ〕∈Ａ，如果存在星形函數(shù)ｇ〔ｚ〕使得

〔１．２〕〔１．３〕揚(yáng)州人學(xué)碩十論文＆｛箸〕＞雕咖，那么稱廠〔ｚ〕為單位圓盤Ｕ內(nèi)∥〔∥＜１〕階近于凸函數(shù)，記為Ｋ〔∥〕．假設(shè)函數(shù)廠〔ｚ〕∈Ａ，如果滿足南壩加Ｆ〔既那么稱廠〔ｚ〕為Ｕ內(nèi)∥〔∥＜１〕階預(yù)星形函數(shù)，記為尺〔∥〕．對(duì)于廠〔ｚ〕＝∑％Ｚ七，ｇ〔ｚ〕＝∑‰少，定義其Ｈａｄ鋤ａｒｄ積〔卷積〕為：

６一∽４，〔１．５〕七＝０

七＝Ｏ〔廠幸ｇ〕〔ｚ〕＝廠〔ｚ〕木ｇ〔ｚ〕＝∑％玩少．對(duì)于復(fù)數(shù)〔或?qū)崝?shù)〕口，６，ｃ〔ｃ≠０，一１，－２，…〕，定義超幾何級(jí)數(shù)為冥中∽。＝等‰州…㈣¨，，然囂鐾此級(jí)數(shù)在Ｕ內(nèi)是絕對(duì)收斂且解析的．對(duì)于廠〔ｚ〕∈Ａ，定義算子Ｄ五：ＡｊＡ，Ｄ五廠〔ｚ〕２

ｉｉ－二乏了ｉ玎水廠〔ｚ〕〔ｚ∈么；兄＞一１〕?算子Ｄ＾稱為Ｉｈｓｃｈｅｗｅｙｈ導(dǎo)數(shù)，它是由Ｉｎｓｃｈｅｗｅｙ［１】首先引進(jìn)的．類似于算子Ｄ２，Ｎｏｏｒ［３】引入了算子厶：Ａ專Ａ如下：令肫〕２矗≥朋Ｎ，∥ｋ〕堋加高，

〔１．６〕：心一加?＋警云＋錯(cuò)爭(zhēng)爿＋喜警言，：心一加?＋警云＋錯(cuò)爭(zhēng)爿＋喜警言，施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)／、〔一１〕稱厶為Ｎｏｏｒ積分算子．假設(shè)廠〔ｚ〕形如〔１．１〕式給出，那么由〔１．６〕式和〔１．７〕式可得㈣…砉高｝少

７〔１．７〕∽８，我們注意到：厶廠〔ｚ〕＝礦’〔ｚ〕，‘廠〔ｚ〕＝／〔ｚ〕．訐多學(xué)者［３，４，１３，２０】相繼引進(jìn)和研冗了與Ｎｏｏｒ積分算子有關(guān)的各種解析函數(shù)類和亞純函數(shù)類．本文將利用Ｎｏｏｒ積分算子厶定義兩個(gè)新的解析函數(shù)類，并討論其一些有趣的性質(zhì)．對(duì)于滿足一１≤Ｂ＜１，Ｂ＜彳的實(shí)數(shù)么，Ｂ，定義函數(shù)辦〔么，Ｂ；ｚ〕＝暑老，ｚ∈ｕ．我們知道辦〔彳，Ｂ；ｚ〕將單位圓ｕ共形映照為以｝等為圓心，罟等為半徑的圓，并且此圓與實(shí)軸交于＊善，假設(shè)善兩點(diǎn)．其中Ｂ≠±１．定義１對(duì)于，ｚ∈Ｎ，口≥０，假設(shè)／〔ｚ〕∈Ａ且在Ｕ內(nèi)滿足〔厶／〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔Ｌ廠〔ｚ〕〕〞一＜辦〔４，Ｂ；ｚ〕，那么稱廠〔ｚ〕在函數(shù)類Ｑ＠，刀；么，Ｂ〕中．〔１．９〕式也等價(jià)于ｌ彳一Ｂ｛〔Ｌ廠〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔厶廠〔ｚ〕〕〞｝Ｉ定義２假設(shè)７ｒ〔Ｚ〕∈９位，胛；彳，Ｂ〕且廠〔ｚ〕＝ｚ一∑Ｉ吼Ｐ‘，那么稱廠〔ｚ〕在函數(shù)類Ｑ＋＠，，ｚ；么，Ｂ〕中．

〔１．９〕∽∽〔１．１１〕訓(xùn)力＝∥〕〔妒八力２ｌ南Ｊ唄力，化〕∈Ａ?ｌ者羰踹Ｉ“訓(xùn)力＝∥〕〔妒八力２ｌ南Ｊ唄力，化〕∈Ａ?ｌ者羰踹Ｉ“揚(yáng)州大學(xué)碩士論文

８２．相關(guān)弓ｌ理引理１【１４】設(shè)∥＜ｌ，廠〔ｚ〕∈Ｒ〔∥〕，ｇ〔ｚ〕∈Ｓ’〔∥〕，那么對(duì)于單位圓盤ｕ內(nèi)任意函數(shù)Ｆ〔ｚ〕有２盟ｃ歷〔Ｆ〔ｕ〕〕，ｊ肆ｇ其中ｃＤ〔Ｆ〔Ｕ〕〕為Ｆ〔Ｕ〕的閉凸包．引理２【１５】設(shè)乃〔ｚ〕在單位圓盤Ｕ內(nèi)單葉解析且為凸函數(shù)，矗〔０〕＝１，ｐ〔三〕＝１＋％ｚ〞＋…在Ｕ內(nèi)解析．假設(shè)ｐ〔ｚ〕＋！孕?〔ｚ〕＿＜廳〔ｚ〕，其中ｃ≠Ｏ，Ｒ－ｅｃ≥Ｏ，貝ＩＪｐ〔ｚ〕＜三ｚ｛ｒｆ；～辦〔ｆ〕出＿＜辦〔ｚ〕，且三ｚ一：ｒ，｝辦〔ｆ〕衍為〔２．２〕式的最正確控制．引理３設(shè)口，６，ｃ＠≠Ｏ，一１，一２，．．．〕都為實(shí)數(shù)，那么有．ｅｆ６—１〔１一ｆ〕。一６—１〔１一紀(jì)〕一４彩＝紫：鼻〔口，６；ｃ；ｚ〕〔ｃ＞６＞。〕，２互〔口，６；ｃ；ｚ〕＝〔卜ｚ〕～２鼻〔口，ｃ一６；ｃ；÷〕，〔６＋１〕２Ｅ〔口，６；６＋１；ｚ〕＝〔６＋１〕＋６ｚ２Ｅ〔口，６＋１；６＋２；ｚ〕，２Ｅ〔口，６；ｃ；ｚ〕＝２正〔６，口；ｃ；ｚ〕．

〔２．１〕〔２．２〕〔２．３〕〔２．４〕〔２．５〕〔２．６〕〔２．７〕引理４【１６】設(shè)Ｏ≤名≤１，廠〔ｚ〕∈么，ｇ〔ｚ〕∈彳，，〔ｚ〕為Ｕ內(nèi)的解析凸象函Ｚ—ｌＺ—ｌ施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)

９數(shù)，廠〔ｚ〕一＜Ｆ〔ｚ〕，ｇ〔ｚ〕＿＜Ｆ〔ｚ〕，那么旯廠〔ｚ〕＋〔１一兄〕廠〔ｚ〕＜Ｆ〔ｚ〕．引理５【１７】設(shè)ｇ〔ｚ〕＝１＋∑墳少〔，ｚ∈Ⅳ〕在單位圓盤ｕ內(nèi)解析且滿足Ｒｅ｛ｇ〔ｚ〕〕＞ｏ，那么有＆溆瑚≥嶄…叭

〔２．８〕揚(yáng)州人學(xué)碩士論文３．函數(shù)類Ｑ〔口，甩；彳，Ｂ〕的包含關(guān)系定理１設(shè)甩∈Ｎ，那么Ｑ〔口，力；彳，Ｂ〕ｃＱ〔口，，ｚ＋１；彳，召〕．證明鎖ｚ〕－ｚ＋薹等‘〔ｚ剛’那么北Ｍ，且Ｆ務(wù)啾加假設(shè)≥〔雎叭自〔３．１廊口南壩ｚ〕∈趴字腳．〔＿爭(zhēng)由此可得矽〔ｚ〕∈尺〔一曇〕．’又由Ｎｏｏｒ積分算子Ｌ的定義知爿卅’〔ｚ〕木≯〔ｚ〕＝硝’〔ｚ〕．由〔３．３〕式可得ｚ〔厶＋。廠〔ｚ〕〕’＝矽〔ｚ〕木〔ｚ〔厶廠〔ｚ〕〕’〕〔廠∈Ａ〕，ｚ２〔厶＋。廠〔ｚ〕〕〞＝矽〔ｚ〕木〔ｚ２〔厶廠〔ｚ〕〕〞〕〔廠∈Ａ〕．因此，假設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ〔口，，ｚ；彳，Ｂ〕，那么有Ｆ〔ｚ〕＝〔厶廠〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔厶廠〔ｚ〕〕〞＿＜而〔４，Ｂ；ｚ〕．

１０●＿一〔３．１〕〔３．２〕〔３．３〕〔３．４〕〔３．５〕又ｇ〔ｚ〕＝ｚ∈ｓ＋〔一三〕，辦〔彳，Ｂ；ｚ〕＝暑老在ｕ內(nèi)解析且為凸函數(shù)，故由〔３．２〕，〔３．４〕，〔３．５〕式和引理１知〔厶＋，廠〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔厶＋ｌ廠〔ｚ〕〕〞＜Ｊｌｚ〔彳，Ｂ；ｚ〕，于是廠〔ｚ〕∈以口，胛＋１；彳，召〕．從而定理得證．〔Ｍ砌ｆ＋地ｔｍ〕〕Ｉ’＝鍺，〔Ｍ砌ｆ＋地ｔｍ〕〕Ｉ’＝鍺，施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)定理２設(shè)Ｏ≤ｑ＜口２，那么Ｑ〔口２，行；４，Ｂ〕ｃＱ〔ａｌ，，ｚ；４，Ｂ〕．證明設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ〔口：，玎；么，Ｂ〕，那么〔厶廠０〕〕’＋口：ｚ〔厶廠〔ｚ〕〕〞一＜辦〔么，Ｂ；ｚ〕．令ｐ〔ｚ〕＝〔厶廠〔ｚ〕〕’，貝０由弓Ｉ理２矢口，ｐ〔ｚ〕＝〔厶廠〔ｚ〕〕’＜』ｉｚ〔彳，Ｂ；ｚ〕．又Ｏ≤旦＜１，辦〔么，Ｂ；ｚ〕在Ｕ內(nèi)單葉凸，由〔３．６〕，〔３．７〕式和引理４知口２〔厶廠〔ｚ〕〕’＋％ｚ〔Ｌ廠〔ｚ〕〕〞。毒｛〔壩ｚ∥＋喇壩砌〞｝＋〔１一毒〕〔壩砌Ⅷ〔郇渤?因此廠〔ｚ〕∈Ｑ〔ｑ，，ｚ；彳，Ｂ〕．從而定理得證．定理３設(shè)廠〔ｚ〕形如〔１．１〕式，那么Ｑ＠，刀；彳，曰〕ｃＱ〔０，船；１—２ｐ，一１〕，其中

〔３．６〕〔３．７〕ｐ＝

竹爭(zhēng)計(jì)１鼎ｕ；扣魯刪，１一二生．Ｂ：ｏ．

＠８，１＋口且結(jié)論精確．證明

設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ〔口，，ｚ；彳，Ｂ〕．那么〔厶廠〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔厶廠〔ｚ〕〕〞＜＾〔４，Ｂ；ｚ〕．由于辦〔彳，召；ｚ〕＝假設(shè)差在ｕ內(nèi)單葉凸，應(yīng)用引理２知ｃ㈣卜≯礦〔等卜犯，且ｇ〔ｚ〕為〔１．９〕式的最正確控制．當(dāng)Ｂ：ｏ時(shí)，ｑ〔ｚ〕：１＋嘗．當(dāng)Ｂ≠０時(shí)．由引理３中〔２．４〕．〔２．６〕式知

Ｂ９，１＋口１＋口揚(yáng)州大學(xué)碩士論文北，＝吉礦〔篝〕西＝吉曠ｃ?＋娩〕－１西＋扣俄?＋刪乜口口口口口口

１２‘－一彳２ｉ＋〔１

?

＋

一

瑟、，：蘭＋ｆ１彳一Ｂ彳一召

、，、，∥ｎ：，＋

〞。瑟●一口礦一１口撰Ｋ

ｋ

●一口

＋

旦叭

〔３．１０〕下證囂｛Ｒｅｇ〔ｚ〕〕２９〔一１〕?

〔３．１１〕令如力＝篆卻∽＝≯～幽〔呱乳ｚ叫，有ｇ〔ｚ〕＝ｆｇ〔蹦Ｖ∥〔ｓ〕．貝｛Ｊ咖∽｝＝ｆＲｅ〔篙卜∽≥．ｅ警郎兩〔卅〔№＜１〕．令，一１一，那么知〔３．１１〕式成立．故Ｒｅ｛ｇ〔ｚ〕〕＞ｐ，其中ｐ如〔３．８〕式．從而有廠〔ｚ〕∈Ｑ〔Ｏ，，ｚ；１—２Ａ一１〕．精確性由ｇ〔ｚ〕為〔１．９〕式的最正確控制可知．從而定理得證．注１在定理３中，取口＝，ｚ＝１，么＝芒甏三，Ｂ＝一１，可得下面的推論，此推論即為文獻(xiàn)［１８】中的定理．推淪

ｌ

設(shè)

Ｚ

∈

Ａ

且滿足那么Ｒｅ｛廠’〔ｚ〕｝＞０．

＞

上砸２一一墮崦２一動(dòng)≈一０。６３〔ｚ∈Ｕ〕，堋，垮卜腳扣亡ｚ畦扎扣嘲Ｂ他＆廠堋，垮卜腳扣亡ｚ畦扎扣嘲Ｂ他＆廠０卜礦ｋｎ巧施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)４．函數(shù)類Ｑ〔口，刀；彳，Ｂ〕的卷積性質(zhì)定理４設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ＠，，ｚ；么，Ｂ〕，ｇ〔ｚ〕∈么且滿足如下條件之一：〔１〕ｇ〔ｚ〕∈尺〔∥〕〔∥＜１〕；∽畔孚〕＞三瞇既那么有〔廠木ｇ〕〔ｚ〕∈Ｑ〔口，，ｚ；４，Ｂ〕．證明〔１〕設(shè)廠〔ｚ〕＝ｚ＋∑吼ｚ。，ｇ〔ｚ〕＝ｚ＋∑玩礦，那么可知ｚ〔厶〔廠木ｇ〕〔ｚ〕〕’＝ｇ〔ｚ〕水〔ｚ〔厶廠〔ｚ〕〕’〕，ｚ２〔厶〔廠木ｇ〕〔ｚ〕〕〞＝ｇ〔ｚ〕宰〔ｚ２〔厶廠〔ｚ〕〕〞〕．由〔４．１〕，〔４．２〕式和廠〔ｚ〕∈Ｑ〔口，玎；彳，Ｂ〕知〔厶〔廠水ｇ〕〔ｚ〕’＋口ｚ〔厶〔廠宰ｇ〕〔ｚ〕〞＝墨紫Ｆ〔ｚ〕＝〔厶廠〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔Ｌ廠〔ｚ〕〕〞＿＜辦〔么，Ｂ；ｚ〕．

〔４．１〕〔４．２〕〔４．３〕〔４．４〕又矽〔ｚ〕〔＝ｚ〕∈Ｓ’〔∥〕，且ｇ〔ｚ〕∈尺〔∥〕〔∥＜１〕，辦〔彳，Ｂ；ｚ〕在ｕ內(nèi)單葉凸，于是由〔４．３〕，〔４．４〕式和弓Ｉ理１知〔廠木ｇ〕〔ｚ〕∈Ｑ〔口，，ｚ；彳，Ｂ〕．〔２〕設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ〔口，胛；彳，Ｂ〕，，〔ｚ〕＝〔厶廠〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔Ｌ廠〔ｚ〕〕〞，那么由厶的定義計(jì)算可得〔厶〔ｍ№〕〕ｈｚ〔Ｌ〔心〕〔ｚ〕〕〞州妒半〔ｚ叫．又Ｒｅ｛半〕＞丟，且辦〔彳，Ｂ；ｚ〕在【，內(nèi)單葉凸，于是由著名的Ｈｅｒｇｌ。ｔＺ定理知〔厶〔／球ｇ〕〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔厶〔廠木ｇ〕〔ｚ〕〕〞＿＜辦〔么，Ｂ；ｚ〕．揚(yáng)州人學(xué)碩士論文

１４故〔廠木ｇ〕〔ｚ〕∈Ｑ〔口，，ｚ；４，Ｂ〕．從向定理４得讓．注２在定理４〔１〕中分別取∥＝ｏ和∥＝丟，那么可得下面的推論．推論２設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ＠，，ｚ；彳，Ｂ〕，ｇ〔ｚ〕∈彳且滿足如下條件之一：〔ｉ〕ｇ〔ｚ〕是Ｕ內(nèi)的單葉凸函數(shù)；〔ｉｉ〕ｇ〔ｚ〕“〔圭〕，那么有〔／宰ｇ〕〔ｚ〕∈Ｑ〔口，刀；彳，Ｂ〕．推論３設(shè)廠〔ｚ〕形如〔１．１〕式，且廠〔ｚ〕∈Ｑ＠，刀；彳，Ｂ〕，那么只〔廠〕∈Ｑ＠，，２；么，Ｂ〕，其中只〔廠〕定義如下：只〔似ｚ〕＝等ｐ們〕衍〔旯＞－１，ｚ∈叭證明設(shè)廠〔ｚ〕＝ｚ＋∑噥少∈Ｑ位，，ｌ；彳，Ｂ〕，那么由〔４．５〕式Ｅ〔廠〕的定義知七＝２只〔似加他心〔Ｚ〕，其嘲加ｚ＋薹籀。．

〔４．５〕〔４．６〕顯然有ｇ〔ｚ〕∈彳，且南俐＝南毋〔半腳．〔＿爭(zhēng)于是ｇ〔ｚ〕∈Ｒ〔一害〕．故由〔４．６〕式和定理４〔１〕知Ｅ〔廠〕∈Ｑ＠，＂；彳，Ｂ〕．從而定理得證．推論４設(shè)廠〔ｚ〕∈９〔口，陀；彳，Ｂ〕，％〔ｚ〕＝ｚ＋∑嚷礦〔聊∈Ｎ＼｛ｏ，１〕〕．那么其中

土‰〔％ｚ〕∈Ｑ〔口，，２；彳，Ｂ〕，％

〔４．７〕施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)‰＝唧卜營(yíng)］＞扣…，，〕ｃ…郴ｍｘ

＠８，證明設(shè)／〔ｚ〕∈Ｑ〔口，甩；么，Ｂ〕，島〔ｚ〕＝∑少．那么％〔ｚ〕＝〔／宰‰〕〔ｚ〕，從而有掃糾刊宰〔半］．又吶廊口ｋ〔掣］＞圭瞇蜘訓(xùn)他ｍ枷定酬２腫ｃ伽，在ｕ內(nèi)單葉凸可知上ｓ。〔‰ｚ〕∈Ｑ＠，刀；么，Ｂ〕〔聊∈Ｎ＼｛ｏ，１〕〕．從而定理得證．％定理５設(shè)廠〔ｚ〕＝ｚ＋∑‰＋１ｚ脅１∈Ｑ〔ｏ，刀；彳，Ｂ〕〔聊∈Ｎ〕．貝。對(duì)于口＞ｏ，土廠〔‰ｚ〕∈Ｑ〔口，＂；彳，Ｂ〕，其中‰：〔√ｆ麗一聊口〕去〔肌∈Ｎ〕．％當(dāng)Ｂ＝一１，彳＝１—２∥〔∥≠１〕時(shí)結(jié)論精確．證明設(shè)／〔ｚ〕＝ｚ＋∑‰＋ｌｚ擁“∈Ｑ〔ｏ，甩；彳，Ｂ〕，那么〔Ｉ。廠〔ｚ〕〕’＝１＋∑ｋｚ砌＿＜辦〔彳，Ｂ；ｚ〕．令Ｆ〔ｚ〕＝〔Ｉ。廠〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔Ｉ。廠〔ｚ〕〕〞，那么易知心〕＝〔壩ｚ〕〕’木半，北〕－〔卜撇〕古棚口南?令ｚ〞＝１一∥舊〔ｐ＞ｏ〕，Ｉｚｌ＝，．＜１，那么ｃ。ｓ９：！二！：：±幺堅(jiān)≥１．

〔４．９〕〔４．１０〕〔４．１１〕〔４．１２〕〔４．１３〕２ｐ

Ｄ‰‰Ｌ‰‰Ｌ／揚(yáng)州大學(xué)碩士論文盟１ｐｐ‘＝堅(jiān)等塑＋等〔≤筍一?〕＝耪卜姒ｈ１…〔等卜１≥爭(zhēng)專［〔１＋朋盼戶舯口〔?卅勘司＝丟＋專〔１—２朋礦一氣于是有〞２、其中％如〔４．９〕式所示．于是由著名的Ｈｅ唱ｌｏｔｚ定理可知‰ｚｋ占１ｌ一滋

１６●＿一〔４“〕〔４．１５〕其中∥〔ｘ〕是在Ｈ＝１上的概率測(cè)度．從而由〔４．１１〕，〔４．１２〕，〔４．１５〕式知Ｆ〔‰ｚ〕：〔厶廠〔ｚ〕〕ｋ螋＿＜辦〔彳，Ｂ；ｚ〕．乇ｚ故定理５的〔４．９〕式成立．廠〔ｚ〕＝ｚ＋∑‰＋。少＋１．容易驗(yàn)證這個(gè)函數(shù)廠〔ｚ〕滿足Ｒｅｆ＼ｚ／－上絲ｃｏｓ秒＋罷ｃｏｓ２秒ＲｅＬ％ｚ／｝］＞丟〔ｚ∈叭巫絲：ｆ掣〔ｚ∈ｕ〕，Ｒｅｆ＼ｚ／－上絲ｃｏｓ秒＋罷ｃｏｓ２秒ＲｅＬ％ｚ／｝］＞丟〔ｚ∈叭巫絲：ｆ掣〔ｚ∈ｕ〕，Ｉ１ｊ‘ｐ２２ｐ２２ｐ２為說明‰的精確性，考慮由〔Ｉ。廠〔ｚ〕〕’＝旦孚所定義的廠〔ｚ〕，其中施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)〔Ｉ。廠〔ｚ〕’＋口ｚ〔Ｉ。廠〔ｚ〕〞＝∥＋〔１一∥〕！±并＝∥〔ｚ＝％Ｐ等〕，故知結(jié)論是精確的．從而定理得證．

１７●＿一注３在定理５

中取腳＝ｌ，那么可知：設(shè)廠〔ｚ〕＝ｚ＋∑吼少，那么Ｑ〔ｏ，，ｚ；４，Ｂ〕ｃ

Ｑ＠，，ｚ；４，Ｂ〕〔Ｈ＜，．，其中，．＝圻干≯一口〕．再由定理３可知：Ｑ〔口，以；彳，Ｂ〕ｃＱ〔０，力；彳，Ｂ〕〔水，，其中，．＝厄孑一口〕．定理６設(shè)

〔ｚ∈Ｕ〕．于是我ｆ門有：

Ｑ〔口，，ｚ；么，Ｂ〕＝Ｑ〔Ｏ，磁彳，Ｂ〕乃〔ｚ〕＝ｚ＋∑吼，／ｚ‘∈Ｑ〔口，甩；４，哆〕〔肌∈Ｎ＼｛ｏ〕，／＝１，２〕，假設(shè)廠〔ｚ〕∈么且滿足Ｌ廠〔ｚ〕＝ｒ〔厶石〔ｆ〕〕ｋ〔厶五〔ｒ〕〕’衍，貝０廠〔ｚ〕∈Ｑ〔口，刀；１—２∥，一１〕，其中＠＞Ｏ〕，

〔４．１６〕〔４．１７〕８＝且結(jié)論精確．

嗎一動(dòng)叢動(dòng)

＠＝０〕．

〔４．１８〕證明假設(shè)口＞ｏ．令Ｃ〔ｚ〕＝〔厶乃〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔厶乃〔ｚ〕〕〞〔／＝１，２〕，其中乃〔ｚ〕如〔４．１６〕式所給出．貝０乞〔ｚ〕＝１＋∑以，，ｚ‘＿＜乃〔４，色；ｚ〕〔厶乃〔ｚ〕〕ｔ＝吉ｚ一吉弘吉一ｃ〔ｒ〕衍．

〔４．１９〕〔４．２。〕一一一一一一一一一一一一揚(yáng)州大學(xué)碩士論文田〔４．１‘７〕利〔４．２吵瓦口Ｊ得〔Ｌ廠〔ｚ〕〕’＝〔ＬＺ〔ｚ〕〕竦〔厶五〔ｚ〕〕。＝〔吉卜｝１Ｅｃ壇，如］木〔去卜｝１最ｃ舷，幽］：土１ｋ丟～，〔壇〕幽，其中Ｆ〔ｚ〕：土１脅吉～〔互宰互〕〔比〕咖．自〔４．１９廊口Ｒｅ｛馳〕〕＞島＝等〔川，２〕測(cè)Ｒｅ｛背〕＞岫協(xié)黼〕＞｝

１８●＿一〔４。２１〕〔４．２２〕＠２３，于是由〔４．２３〕式和著名的Ｈｅｒｇｌｏｔｚ定理知＆｛〔等心＋觜］〕＞０…叭即得Ｒ．ｅ｛〔Ｅ事Ｅ〕〔ｚ〕｝＞屁＝１—２〔１一屆〕〔１一島〕＝１—２量號(hào)｝糟．鋤加警小薹魯‘〔刪＼｛１｝〕，舭∽在ｕ內(nèi)解析且Ｒｅ｛ｇ〔ｚ〕〕＞ｏ．故由引理５知Ｒｅ｛〔粥〕〔ｚ〕〕＞馴卜屈〕嶄…叭利用〔４．２１〕，〔４．２２〕，〔４．２４〕式和引理３得Ｒｅ｛〔厶廠〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔Ｌ廠〔ｚ〕〕〞〕＝Ｒｅ｛Ｆ〔ｚ〕ｌ

〔４．２４〕施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)２艫～Ｒｅ｛〔Ｅ蚓〔酬咖≥壚１∽圳器卜＞屁＋半Ｆ并幽＋斗糍黼舊雇叫２‘１７。聊口當(dāng)蜀＝墾＝一１時(shí)，考慮函數(shù)乃〔ｚ〕∈彳滿足ＪＬ卜，Ｊ１＋么．ｚ〞Ｃ〔ｚ〕＝〔厶乃〔ｚ〕〕’＋口ｚ〔厶乃〔ｚ〕〕〞２１—專－〔．，＝１，２〕，于是有〔Ｌ廠０〕〕’＋口ｚ〔厶廠〔ｚ〕〕〞＝吉Ｈ州ｔ堋圳器卜２丟卜去。１〔?一ｃｔ＋４，ｃ?＋４，＋！幫］幽

１９斗警囂弩Ｈ：Ｅ〔ｕ；去扎三〕］ＬＬ２／｝Ｊ〔１一且〕〔１一島〕ｃ州卜≯九等］衍忙墟徘叭口斗警囂弩Ｈ：Ｅ〔ｕ；去扎三〕］ＬＬ２／｝Ｊ〔１一且〕〔１一島〕ｃ州卜≯九等］衍忙墟徘叭口〔曩掌Ｅ〕〔ｚ〕＝１＋〔１＋４〕〔１＋４〕南’揚(yáng)州人學(xué)碩士論文斗葉似〞半島咖-223口：ｌ—Ｉ比Ｊ．口，行：ｌ—ＩＺ億〕Ｊ一１一〔１＋４〕〔１＋４〕＋丟〔１＋４〕〔１＋４〕：互〔１，１；去＋１；圭〕

ｚｊｅ予從而精確性得證．假設(shè)口＿ｏ．自〔４．１６〕式確〔厶馳〕〕ｆ＜蘭測(cè)Ｒｅ｛〔厶馳〕〕ｔ〕＞島＝呂〔糾，２〕．由上面的證明易知從而窄理得ｉ幣斗∽似聃半播〞＝１一〔１＋４〕〔１＋４〕＋〔１＋４〕〔１＋４〕〔１一ｚ〞〕～：礬１；赤＋１；南〕Ｒｅ｛〔Ｌ／。〕’〕＝Ｒｅ｛〔厶石〔ｚ〕ｋ〔Ｌ左〔ｚ〕’〕＞屬＝１—２量秀｛糟．斗∽似聃半播〞＝１一〔１＋４〕〔１＋４〕＋〔１＋４〕〔１＋４〕〔１一ｚ〞〕～：礬１；赤＋１；南〕Ｒｅ｛〔Ｌ／。〕’〕＝Ｒｅ｛〔厶石〔ｚ〕ｋ〔Ｌ左〔ｚ〕’〕＞屬＝１—２量秀｛糟．施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)函數(shù)類Ｑ‘〔口，刀；么，Ｂ〕定理７設(shè)一ｌ≤Ｂ＜Ｏ，廠〔ｚ〕∈彳形如〔１．１１〕式，那么廠０〕∈Ｑ’〔口，，ｚ；么，Ｂ〕當(dāng)且僅當(dāng)＠?，且結(jié)論精確．證明假設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ‘〔口，行；么，Ｂ〕，那么¨。

＜１，Ｉ沁

七＝２、７‘Ｔ１，七一１

¨。

ｃ…Ｍ七＝２拿籌～７‘Ｔ１，七一１＜１．考慮ｚ取實(shí)值，令ｚ＝，．，Ｏ≤，．＜１，當(dāng)ｚ＝０時(shí)，分母為正，那么對(duì)任意的廠〔０≤，．＜１〕分母都為正，令ｚ專１一，可得‘川〔，２＋１〕ｔ—ｌ〔４一Ｂ〕反之假設(shè)〔５．１〕式成立，令Ｈ＝１，有盤訓(xùn)‘冬〔，ｚ＋１〕¨。１〕１…一，ｃ…Ｍ鏟氣差篙。１Ｈｗ。１薹≮措幽．主糾‘〔刀＋１〕¨竽。１Ⅺ悱“主警掣悱¨〔彳一Ｂ〕＋Ｂ砉魚墮幫ＩｑＩｚ扣ｌ臺(tái)〔刀＋１〕¨薹警№…Ｍ薹等Ｉ詠｜，即耄等措幽．怠薹≮措幽．主糾‘〔刀＋１〕¨竽。１Ⅺ悱“主警掣悱¨〔彳一Ｂ〕＋Ｂ砉魚墮幫ＩｑＩｚ扣ｌ臺(tái)〔刀＋１〕¨薹警№…Ｍ薹等Ｉ詠｜，即耄等措幽．怠羔妄警¨ｌ七＝２＼７‘Ｔ１，七一ｌ揚(yáng)州大學(xué)碩＋論文＜墨！！±！ｂ＝！＜】〔么一Ｂ〕＋Ｂ∑型芒警型川＼“Ｔ１，七一１ｄ，于是廠。斥紗＠川＿≯卜尼！［七＋口七〔七一１〕］〔１一Ｂ〕Ｉ吼ｌ≤面茬旱三宅‰，結(jié)論對(duì)〔５．２〕式是精確的．定理８設(shè)一－≤Ｂ＜。，石〔ｚ〕＝ｚ，五〔ｚ〕＝ｚ一乏了ｉ宇辜專三美揣ｚ々，／〔ｚ〕＝∑五以〔ｚ〕，其中五≥ｏ，∑五＝１．廠〔ｚ〕＝∑以六〔ｚ〕〔５．２〕〔５．３〕≤知最那么由大模原理ｌ百多爵篙≥菁等粉ｌ◆軋七；２廠〔ｚ〕＝ｚ—ｉ了ｉ：寫；三：喜揣ｚ女，ｚ∈ｕ，尼＝２，３，…≤知最那么由大模原理ｌ百多爵篙≥菁等粉ｌ◆軋七；２廠〔ｚ〕＝ｚ—ｉ了ｉ：寫；三：喜揣ｚ女，ｚ∈ｕ，尼＝２，３，…施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)２

ｃ?一薹以，ｚ＋薹以｛ｚ一乏可妄號(hào)三≥吾揣甕Ｊｉ｝！【七＋口七〔七一１〕］〔１一Ｂ〕８。’篾〔，２＋１〕々一１〔彳一Ｂ〕后！［七＋口尼〔后一１〕］〔１一Ｂ〕８故由定理７知廠〔ｚ〕∈Ｑ‘＠，療；彳，Ｂ〕．令以＝≮器由此可知廠〔ｚ〕＝∑五六〔ｚ〕．從而定理得證．注５由定理８可矢口彳〔ｚ〕＝ｚ，五〔ｚ〕＝ｚ—ｉＩｉ乏：；ｉ三揣后＝２，３，…為函數(shù)類Ｑ＋〔口，刀；彳，Ｂ〕的極值點(diǎn)．定理９函數(shù)類Ｑ‘＠，珂；彳，Ｂ〕為凸集．證明設(shè)乃〔ｚ〕＝ｚ一∑Ｉ吼，，ＩＺ‘〔＿，＝１，２〕∈Ｑ＋〔口，，ｚ；彳，Ｂ〕，令七＝２ｇ〔ｚ〕＝∥彳〔ｚ〕＋〔１一∥〕以〔ｚ〕〔０≤∥≤１〕，那么ｇ〔ｚ〕＝ｚ一∑［∥ｆ嚷，ｌ｜＋〔１一∥〕Ｉ鯫，：陋‘．于是由定理７知ｂｕ故ｇ〔ｚ〕∈Ｑ。＠，刀；彳，Ｂ〕．從而定理得證．“：Ｌ＾ＴＬ‘“＼＾一１，八－一Ｕ，【Ｉ＝２一薹高揣‰尚礦，貝ｕ薹墨』號(hào)；三芋考篙×乏可妄號(hào)三≥吾揣以＝差以＝，一Ａ≤ｔ．篾“反之，設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ＋〔口，玎；４，功，那么由推論５知，Ｉ％ｌ≤面茬竿三揣藝等羔辮帆柙刊叫］＜１．“ｌ“：Ｌ＾ＴＬ‘“＼＾一１，八－一Ｕ，【Ｉ＝２一薹高揣‰尚礦，貝ｕ薹墨』號(hào)；三芋考篙×乏可妄號(hào)三≥吾揣以＝差以＝，一Ａ≤ｔ．篾“反之，設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ＋〔口，玎；４，功，那么由推論５知，Ｉ％ｌ≤面茬竿三揣藝等羔辮帆柙刊叫］＜１．“ｌ。，｜ｋ糾。復(fù)〔刀＋１〕＾一１〔彳一Ｂ〕揚(yáng)州大學(xué)碩士論文

２４●＿一注６對(duì)于定理９，我們不僅可以利用廠〔ｚ〕∈Ｑ’位，甩；么，Ｂ〕的充要條件證明，還可以運(yùn)用引理４直接證得．證明略．定理１０設(shè)廠〔ｚ〕∈Ｑ＋＠，，ｚ；彳，Ｂ〕，那么〔１〕廠在｜ｚＩ＜＿內(nèi)是∥階〔ｏ≤∥＜１〕近于凸的．這里女２Ｉ，々Ｅ｜ｖ〔２〕廠在Ｈ＜吒內(nèi)是∥階〔ｏ≤∥＜１〕星形的．這里

＠４，乃：ｉｎｆ攔墜墮生二！避二叢二盟嚴(yán)-2〔，２＋１〕女一ｌ〔么一Ｂ〕〔七一∥〕〔３〕廠在Ｈ＜巧內(nèi)是∥階〔ｏ≤∥＜１〕凸的．這里

〔５．５〕、］丘一１ＪＩ

〔５．６〕證明〔１〕只要證Ｉ廠’〔ｚ〕一１Ｊ≤１一∥〔ｏ≤∥＜１，Ｈ＜吒〕，即證薹南悱卜１，〔。≤川，｜ＺＩ＜＿〕ｒ㈤３…從而由式〔５．８〕式易知結(jié)論成立．④只要證ｌ鬻十一州輒１，｜水協(xié)靴薹篝悱卜１，〔腳＜ｌ林眨〕下面證明同〔１〕．

〔５．７〕＠８，〔５．９〕吒緞Ⅳ｛半蒿搟ｒ〔咒＋１１。，〔４一Ｂ〕Ｊ女＞ｌ，★ｅ‘ｖ【吒躲Ⅳ｛％憊嵩辮弋吒緞Ⅳ｛半蒿搟ｒ〔咒＋１１。，〔４一Ｂ〕Ｊ女＞ｌ，★ｅ‘ｖ【吒躲Ⅳ｛％憊嵩辮弋由定理７艄〔南渺＿１＜等措喊５刀式眥即施冬芳由Ｎｏｏｒ積分算子定義的解析函數(shù)∽只要證ｌ箸卜邶私１，｜水協(xié)靴薹等悱卜１，〔腳＜１，Ｉｚ｜＜巧〕下面證明同〔１〕．且結(jié)論對(duì)〔５．２〕式都是精確的．

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