模糊數學教案第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日§3.1模糊模型識別模型識別已知某類事物的若干標準模型，現有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別.模型識別在實際問題中是普遍存在的.例如，學生到野外采集到一個植物標本，要識別它屬于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機)在分揀信件時要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別.模糊模型識別所謂模糊模型識別,是指在模型識別中,模型是模糊的.也就是說,標準模型庫中提供的模型是模糊的.第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日模型識別的原理為了能識別待判斷的對象x=(x1,x2,…,xn)T是屬于已知類A1,A2,…,Am中的哪一類？

事先必須要有一個一般規則,一旦知道了x的值,便能根據這個規則立即作出判斷,稱這樣的一個規則為判別規則.

判別規則往往通過的某個函數來表達,我們把它稱為判別函數,記作W(i;x).

一旦知道了判別函數并確定了判別規則，最好將已知類別的對象代入檢驗，這一過程稱為回代檢驗，以便檢驗你的判別函數和判別規則是否正確.第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日§3.2最大隸屬原則模糊向量的內積與外積

定義稱向量a=(a1,a2,…,an)是模糊向量,其中0≤ai≤1.

若ai只取0或1,則稱a=(a1,a2,…,an)是Boole向量.

設a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)都是模糊向量，則定義

內積：a

°

b

=∨{(ak∧bk)|1≤k≤n}；

外積：a⊙b

=∧{(ak∨bk)|1≤k≤n}.內積與外積的性質(a

°

b

)c=ac⊙bc

;(a⊙b

)c=ac

°

bc.第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日模糊向量集合族設A1,A2,…,An是論域X上的n個模糊子集,稱以模糊集A1,A2,…,An為分量的模糊向量為模糊向量集合族，記為A=(A1,A2,…,An).

若X上的n個模糊子集A1,A2,…,An的隸屬函數分別為A1(x),A2(x),…,An(x),則定義模糊向量集合族A=(A1,A2,…,An)的隸屬函數為A(x)=∧{A1(x1),A2(x2),…,An(xn)}或者A(x)=[A1(x1)+A2(x2)+…+An(xn)]/n.其中x=(x1,x2,…,xn)為普通向量.第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日最大隸屬原則

最大隸屬原則Ⅰ設論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am(即m個模型),構成了一個標準模型庫,若對任一x0∈X,有k∈{1,2,…,m},使得Ak(x0)=∨{A1(x0),A2(x0),…,Am(x0)}，則認為x0相對隸屬于Ak.

最大隸屬原則Ⅱ設論域X上有一個標準模型A,待識別的對象有n個：x1,x2,…,xn∈X,

如果有某個xk滿足A(xk)=∨{A(x1),A(x2),…,A(xn)},

則應優先錄取xk.第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日例1在論域X=[0,100]分數上建立三個表示學習成績的模糊集A=“優”,B=“良”,C=“差”.當一位同學的成績為88分時,這個成績是屬于哪一類？A(88)=0.8第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日B(88)=0.7第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.根據最大隸屬原則Ⅰ,88分這個成績應隸屬于A,即為“優”.

例2

論域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三個學生的成績,那一位學生的成績最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根據最大隸屬原則Ⅱ，x1(71)最差.第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日例3細胞染色體形狀的模糊識別細胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾何圖形常常化為若干個三角圖形,故設論域為三角形全體.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}

標準模型庫={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}.某人在實驗中觀察到一染色體的幾何形狀，測得其三個內角分別為94,50,36,即待識別對象為x0=(94,50,36).問x0應隸屬于哪一種三角形？第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日先建立標準模型庫中各種三角形的隸屬函數.直角三角形的隸屬函數R(A,B,C)應滿足下列約束條件：

(1)當A=90時,R(A,B,C)=1;(2)當A=180時,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.因此，不妨定義R(A,B,C)=1-|A-90|/90.則R(x0)=0.955.

或者其中p=|A–90|則R(x0)=0.54.第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日正三角形的隸屬函數E(A,B,C)應滿足下列約束條件：(1)當A=B=C=60時,E(A,B,C)=1;(2)當A=180,B=C=0時,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義E(A,B,C)=1–(A–

C)/180.則E(x0)=0.677.

或者其中p=A–C

則E(x0)=0.02.第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日等腰三角形的隸屬函數I(A,B,C)應滿足下列約束條件：(1)當A=B或者B=C時,I(A,B,C)=1;(2)當A=180,B=60,C=0時,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義I(A,B,C)=1–[(A–

B)∧(B–

C)]/60.則I(x0)=0.766.

或者

p=(A–

B)∧(B–

C)則I(x0)=0.10.第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日等腰直角三角形的隸屬函數(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隸屬函數T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.

通過以上計算,R(x0)=0.955最大,所以x0應隸屬于直角三角形.或者(I∩R)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.仍然是R(x0)=0.54最大,所以x0應隸屬于直角三角形.第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例4大學生體質水平的模糊識別.陳蓓菲等人在福建農學院對240名男生的體質水平按《中國學生體質健康調查研究》手冊上的規定,從18項體測指標中選出了反映體質水平的4個主要指標(身高、體重、胸圍、肺活量),根據聚類分析法,將240名男生分成5類：A1(體質差),A2(體質中下),A3(體質中),A4(體質良),A5

(體質優),作為論域U(大學生)上的一個標準模型庫,然后用最大隸屬原則,去識別一個具體學生的體質.5類標準體質的4個主要指標的觀測數據如下表所示.第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日身高(cm)體重(kg)胸圍(cm)肺活量(cm3)A1158.4±3.047.9±8.484.2±2.43380±184A2163.4±4.850.0±8.689.0±6.23866±800A3166.9±3.655.3±9.488.3±7.04128±526A4172.6±4.657.7±8.289.2±6.44349±402A5178.4±4.261.9±8.690.9±8.04536±756現有一名待識別的大學生x={x1,x2,x3,x4}={175,55.1,86,3900}，他應屬于哪種類型？第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日閾值原則設論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am(即m個模型),構成了一個標準模型庫,若對任一x0∈X,取定水平∈[0,1].

若存在i1,i2,…,ik,使Aij(x0)≥(j=1,2,…,k),則判決為：x0相對隸屬于

若∨{Ak(x0)|k=1,2,…,m}＜,則判決為：不能識別,應當找原因另作分析.該方法也適用于判別x0是否隸屬于標準模型Ak.若Ak(x0)≥,則判決為：x0相對隸屬于Ak;

若Ak(x0)＜,則判決為：x0相對不隸屬于Ak.第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日§3.3擇近原則設在論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am(即m個模型),構成了一個標準模型庫.被識別的對象B也是X上一個模糊集,它與標準模型庫中那一個模型最貼近？這是第二類模糊識別問題.

先將模糊向量的內積與外積的概念擴充.

設A(x),B(x)是論域X上兩個模糊子集的隸屬函數,定義

內積：A

°

B

=∨{A(x)

∧B(x)|x∈X}；

外積：A⊙B

=∧{A(x)∨B(x)|x∈X}.第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日內積與外積的性質(1)(A

°

B

)c=Ac⊙Bc;(2)(A⊙B

)c=Ac

°

Bc;(3)A

°

Ac

≤1/2;

(4)A⊙Ac≥1/2.證明(1)(A

°

B)c

=1-∨{A(x)

∧B(x)|x∈X}

=∧{[1-

A(x)]∨[1-

B(x)]|x∈X}=∧{Ac(x)∨Bc(x)|x∈X}=Ac⊙Bc.證明(3)A

°

Ac=∨{A(x)

∧[1-

A(x)]|x∈X}

≤∨{1/2|x∈X}≤1/2.第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日下面我們用

(A,B)表示兩個模糊集A,B之間的貼近程度(簡稱貼近度),貼近度

(A,B)有一些不同的定義.0(A,B)=[A°B+(1-A⊙B)]/2(格貼近度)1(A,B)=(A°B)∧(1-

A⊙B)擇近原則

設在論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,

Am構成了一個標準模型庫,B是待識別的模型.若有k∈{1,2,…,m},使得

(Ak,B)=∨{

(Ai,B)|1≤i≤m},則稱B與Ak最貼近,或者說把B歸于Ak類.這就是擇近原則.第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日小麥品種的模糊識別(僅對百粒重考慮)第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日多個特性的擇近原則設在論域X={x1,x2,…,xn}上有n個模糊子集A1,A2,…,An構成了一個標準模型庫,每個模型又由個特性來刻劃：Ai=(Ai1,Ai2,…,Aim),i=1,2,…,n,

待識別的模型B=(B1,B2,…,Bm).

先求兩個模糊向量集合族的貼近度：si=∧{(Aij,Bj)|1≤j≤m},i=1,2,…,n,

若有k∈{1,2,…,n},使得(Ak,B)=∨{si|1≤i≤n},則稱B與Ak最貼近,或者說把B歸于Ak類.這就是多個特性的擇近原則.第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日貼近度的的改進格貼近度的不足之處是一般0(A,A)≠1.定義

(公理化定義)若

(A,B)滿足①

(A,A)=1;②(A,B)=(B,A);③若A≤B≤C,則(A,C)≤(A,B)∧(B,C).則稱(A,B)為A與B的貼近度.顯然,公理化定義顯得自然、合理、直觀,避免了格貼近度的不足之處,它具有理論價值.但是公理化定義并未提供一個計算貼近度的方法,不便于操作.

于是,人們一方面盡管覺得格貼近度有缺陷,但還是樂意采用易于計算的格貼近度來解決一些實際問題；另一方面,在實際工作中又給出了許多具體定義(P145).第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日離散型連續型第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日離散型連續型第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日離散型連續型第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日事實上,擇近原則的核心就是最大隸屬原則.如在小麥品種的模糊識別(僅對百粒重考慮)中,可重新定義“早熟”、“矮稈”、“大粒”、“高肥豐產”、“中肥豐產”的隸屬函數.重新定義“早熟”的隸屬函數為重新定義“矮稈”的隸屬函數為第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日蠓的分類左圖給出了9只Af和6只Apf蠓的觸角長和翼長數據,其中“●”表示Apf,“○”表示Af.根據觸角長和翼長來識別一個標本是Af還是Apf是重要的.①給定一只Af族或Apf族的蠓,如何正確地區分它屬于哪一族？②將你的方法用于觸角長和翼長分別為(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三個標本.第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日模糊判別方法先將已知蠓重新進行分類.第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日當=0.919時,分為3類{1,2,3,6,4,5,7,8},{9},{10,11,12,13,14,15},三類的中心向量分別為(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).用平移極差變換將它們分別變為A1=(0.200,0.637)(Af蠓),A2=(0.390,1.000)(Af蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf蠓),再將三只待識別的蠓用上述變換分別變為B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日采用貼近度3(A,B)=計算得：3(A1,B1)=0.89,3(A2,B1)=0.65,

3(A3,B1)=0.92.3(A1,B2)=0.89,3(A2,B2)=0.69,3(A3,B2)=0.92.3(A1,B3)=0.84,3(A2,B3)=0.88,3(A3,B3)=0.83.

根據擇近原則及上述計算結果,第一只待識別的蠓(1.24,1.80)屬于第三類,即Apf蠓；第二只待識別的蠓(1.28,1.84)屬于第三類,即Apf蠓；第三只待識別的蠓(1.40,2.04)屬于第二類,即Af蠓.第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日