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第三章導(dǎo)數(shù)與微分3.5隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
我們以前討論的函數(shù)都有一個(gè)共同的特點(diǎn),就是因變量可以用自變量的表達(dá)式來表示,比如,等等,這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù).我們?cè)趯?shí)際問題中還會(huì)遇到另外一種特殊形式的函數(shù),即
因變量沒有或不能用自變量的表達(dá)式表示出來,比如,等等.這種函數(shù)的特點(diǎn)是因變
量與自變量之間的函數(shù)關(guān)系被包含在或者隱藏在一個(gè)二元方程里面,我們稱這種形式的函數(shù)為隱函數(shù).這一節(jié)主要研究隱函數(shù)如何求出導(dǎo)數(shù)與微分的問題.
例1
方程確定了函數(shù),求一階導(dǎo)數(shù)解法1方程兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù),得因?yàn)樗越獾糜忠驗(yàn)闀r(shí),或,
所以或例1
方程確定了函數(shù),求一階導(dǎo)數(shù)解法2方程兩邊同時(shí)求微分,得因?yàn)樗越獾糜忠驗(yàn)闀r(shí),或,
所以或即例2
方程確定了函數(shù),求微分
解法1方程兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù),將看成中間變量,得其中,是復(fù)合函數(shù),可設(shè),根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則代入化簡(jiǎn),得解得
從而例2
方程確定了函數(shù),求微分
解法2方程兩邊求微分,得其中,是復(fù)合函數(shù),可設(shè)
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