創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日高三數(shù)學(xué)兩角和與差的正弦、余弦、正切蘇教版創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日【本講教育信息】教學(xué)內(nèi)容：兩角和與差的正弦、余弦、正切二、教學(xué)目的：1.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式2.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)展簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明三、知識要點：1、和、差角公式sin（a土卩）=sinacos卩土cosasin卩；cos?±P)=cosacosPsinasinP；tana±tanBtan(a±P)=1+tanatanp2、二倍角公式sin2a=2sinacosa；cos2a=cos2a一sin2a=2cos2a一1=1一2sin2a；sin2a=sin2a=1一cos2a2cos2a=1+cos2a2tan2a2tana1一tan2a3、降冪公式4、半角公式創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日.a：1一cosasm=土22a-1+a-1+cosacos=±~-22ai1-cosatan—±21+cosasina1一cosa1+cosasina*5、積化和差公式sinacosP=I[sin(a+P*沁-卩”cosasinP=I[sin(a+P)一'噸一卩小cosacosP=I[cos(a+P)+皿?-卩小sinasinP—一][cos(a+P)一cos(a-P)]o2*6、和差化積公式sina+sinPa+Pa一Psina+sinPa+Pa一P—2sincos—2222cosa一cosP—一2sina+Pa一Pcosa一cosP—一2sin22兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式是高考的重點內(nèi)容之一，同時也是三角局部后繼學(xué)習(xí)的根底，最重要的是這是多數(shù)考生得分的主要陣地之一。如2021年全國高考卷〔I〕理科第〔7〕〔11〕題，文科第〔6〕〔11〕考察兩角和與差及倍角公式，且得分率是相當(dāng)高的；再如2021年全國高考卷〔III〕文理科第〔7〕〔8〕題，得分率也是比擬高的；而且在2021年全國高考卷〔II〕文科卷第〔17〕題以大題形式出現(xiàn)。這些都足以說明和、差、倍角的三角函數(shù)的重要地位。兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式、在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意以下幾點：〔1〕不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應(yīng)用也要熟悉；〔2〕擅長拆角、拼角，如a=(a+卩)一卩，2a=(a+卩)+(a-P)2a+P—(a+P)+a等；〔3〕注意倍角的相對性；〔4〕要時時注意角的范圍；〔5〕化簡要求；〔6〕熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日5—1.5—1.創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日從近年高考的考察方向來看，這局部常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%。因此能否掌握好本重點內(nèi)容，在一定程度上制約著高考能否成功。【典型例題】例1、sina+sin卩=1,cosa+cos卩=0，求cos（a+卩）的值。分析：因為（a+卩）既可看成是a與卩的和，也可以看作是的倍角，因此可得到下面的兩種解法。由sina+sinP=1①，cosa+cosP=0②①2+②2得2+2cos（a—p）=1cos（a—卩）=一—①2—②2得cos2a+cos2p+2cos〔a+p〕=一1即2cos〔a+p〕〔cos（a-卩）+1〕=一1cosCa+P）=-1點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯誤。假設(shè)利用方程組解sina、cosa、sin卩、cos卩，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與式的關(guān)系。此題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對應(yīng)〞巧應(yīng)用。例2、tana，tanB是方程x2—5x+6=0的兩個實根，求2sin2（a+P）—3sin（a+P）cos（a+P）+cos2Ca+P）的值。分析：由韋達(dá)定理可得到tana+tan卩及tana?tan卩的值，進(jìn)而可以求出tan（a+P）的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tanC+卩）表示便可知其值。解法一：由韋達(dá)定理得tana+tanP=5,tana?tanP=6所以tan(a+P所以tan(a+P)=1—61—tana?tan1—62sin2(a+p)-3sin(a+p)cosC0S2(a+p)sin2+P)2tan2(a+P)—3tan(a+P)+1

tan2(a+P)+12xl—3x(—1)+11+1所以tanC+卩)=2xl—3x(—1)+11+1所以tanC+卩)=tana+tanP1—tana-tanP5r-6于是有a+P=k兀+—兀(keZ)4、(3)原式、(3)原式=2sin2k兀+—兀I4丿3

sin2+Cos2(3)kn+—兀I4丿222〕cos22〕cos2a—sin2a2cot［扌cos2——a14丿點評：〔1〕本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于純熟地掌握知識的系統(tǒng)構(gòu)造,從而尋找解答此題的知識“最近開展區(qū)〞。〔2〕運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等。抓住公式的構(gòu)造特征對進(jìn)步記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的構(gòu)造特征，有利于在解題時觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的構(gòu)造特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點。〔3〕對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如Cos(a+P)CosP+sin(a+P)sinP=Cosa，tan(a+P)(1—tanatanP)=tana+tanP，tan(a+P)tanatanP=tan(a+P)—tana—tanP，tana+tanP+tan(a+P)tanatanP=tan(a+P)。例3、化簡以下各式1〕丿丿衛(wèi)—丄上+1cos2afa1〕丿丿\222fa分析：〔1〕假設(shè)注意到化簡式是方根和2a是a的二倍，a是—的二倍，以及其范圍不創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日兀兀兀難找到解題的打破口；〔2〕由于分子是一個平方差，分母中的角才+a+--a=勺，假設(shè)注意到這兩大特征，，不難得到解題的切入點。2cos2a=|cosa2cos2a=|cosa|=cosa,解：〔1〕因為<a<2兀，所以+'11.a.a[―--—cosa二sin—二sin—，1!22223兀a匸匸又因4<25所以a所以，原式=sm^〔2〕原式=〔2〕原式=——2tan（冗2sin--acos2——一a--acos——一a14丿14丿14丿14丿cos2acos2a==1。cos2a==1。cos2a?（兀2）sin一一2a12丿點評：〔1〕在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2a是a的二倍，要熟悉多a兀兀種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同時還要注意2a，才+a，才-a三個角的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)的作用,_-（兀\（_-（兀\（兀\sin—±2a=2sin—±acos—±a12丿14丿14丿cos2a二是常用的三角變換。〔2〕化簡題一定要找準(zhǔn)解題的打破口或者切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。,亠sin2a1+cos2a.1-cos2a〔3〕公式變形cosa=,co?a=，sin2a=—TOC\o"1-5"\h\z2sina22.兀7兀asin+bcos—558兀、b厶匚/+例4、正實數(shù)a,b滿足=tan，求一的值。兀7?兀15aacos-bsin55分析：從方程的觀點考慮，假如給等式左邊的分子、分母同時除以a,那么等式可化為

TOC\o"1-5"\h\zbb關(guān)于一的方程，從而可求出一，假設(shè)注意到等式左邊的分子、分母都具有asin0+bcosOaa的構(gòu)造，可考慮引入輔助角求解。.—b—sin+cos—解法一：由題設(shè)得一「a—.8

sin—cos—15.(8

sin—sin——-cos—-cos——-sin—b=155155a.8

sin—cos—15.(8

sin—sin——-cos—-cos——-sin—b=155155a8—:__8r~—cos——-cos—+sin——-sin—cos15515_—、————(155丿'8—'———(155丿=tan=J3.3解法二：因為asiny+bcos5=\aacos—-bsin—=\!a2+b2cos55"—A一+申，其中tan申=(5丿(—A由題設(shè)得tan—+申15丿所以—+申=k—+—,5158—

=tan.15即甲=kn+—，3bI故一=tan申=tank—a\=tan=\：33—btanW+~8解法三：原式可變形為:一/一—=tan—，1b兀151-tana5,tail—+tana令tanqj=—j貝Q有=tana1-tana-tail—5L嚴(yán)rL*;JS=tan—心15由此可知CK4-—=-I-—JT515jT"(Jce^「所以口=4r+—,(莊E2)ifctana=tan氐兀十=tan—=J1,即包二3a"J點評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種根本解法；解法二通過形式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式asina+bcosa二.a2+b2sin(x+p),(b)其中tancp=-Ia丿或者a(b)其中tancp=-Ia丿或者asinx+bcosx=4a2+b2cos(a-^),其中tan^=—在歷年高考Ib丿中使用頻率是相當(dāng)高的。模擬試題】1.設(shè)AABC中，cosA=5'sinB5656165616A.—B.—C.—D.—或者一656565656512.函數(shù)y=2+sinx+cosx的最大值是〔〕邁-1B.1+互C.424訂AA-2D.3=君則cosC的值是〔〕3.求以下各式的值：⑴tan34°+tan26°+J3tan34°tan26°,⑵sin50°1+v3tan10°)。4.分別求co^(x+B)=4，cosa-B)=-4，且3兀<a+B<2k,—<a-B<兀4.分別求5522cos2a和cos2P的值。觀察sin10°+sin20°+sin30°+…+sin200°=；sin12°+sin24°sin10°2sin102°sin96°+sin36°+???+sin192°=與出一個與以上兩式規(guī)律一樣的一個等式。sin12°sin9,sin2x,cose,成等差數(shù)列，sin9,sinx,cos9成等比數(shù)列，求cos2x的值。創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日創(chuàng)作人：歷恰面日期：創(chuàng)作人：歷恰面日期：2020年1月1日試題答案】1、C345?/cosA=—，/.sinA=，由sinB試題答案】1、C345?/cosA=—，/.sinA=，由sinB=得cosB551316cosC=—cosAcosB+sinAsinB=—石當(dāng)cosB=故cosB=_12/13(舍)所以選C。1212=±—,當(dāng)cosB=—時，131312時，有cosA+cosB<0.132、By=—2+運(yùn)1——sinx+cosx〔22丿—(兀兀、2++'2cos—sinx+sin—cosx

I441r，.-y.i—I4丿3、⑴Jtan60°=tan(34°+26。)=噥監(jiān)。，而tan60°-'3、3_\3tan34°tan26°=tan34°+tan26°,所以tan34°+tan26°+、3tan34°tan26°=3.G)原式二cos40°fl+相凹cos40°(osl°°+朽sinl°JcoslO°Icos10°丿cos40°?2sin(30°+10°)sin80°.=1.sin80°4、?/<a+p<2k,—<a_p<兀,?.sin(x+p)=-i.l-cos2(a+p)=^2^2coslO°_3-5'sin(a—p)=J1—cos2(a—p)=-，所以cos2a=cos[(a+p)+(a_p)]=cos(a+p)cos(a—p)—sin(a+p)sin(a—p)(4](3]「5丿15