正弦定理數(shù)學(xué)組梁振標(biāo)【教學(xué)目標(biāo)】1.感受正弦定理來源于實(shí)際，服務(wù)于實(shí)際2.掌握正弦定理的內(nèi)容，理解正弦定理的推導(dǎo)過程和推導(dǎo)方法3.初步運(yùn)用正弦定理解決解三角形中的基本問題4.通過對(duì)定理的探究，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，培養(yǎng)歸納概括能力【教學(xué)重點(diǎn)】正弦定理的發(fā)現(xiàn)、證明及簡單運(yùn)用，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；讓學(xué)生逐步善于運(yùn)用由特殊到一般的方法去解決數(shù)學(xué)問題，提高創(chuàng)新能力.【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)正弦定理公式的靈活運(yùn)用和三角形解的討論，尤其討論三角形是否確切存在，可以結(jié)合三角形的邊角關(guān)系或幾何方法對(duì)解進(jìn)行討論分析.方法：探究法、由特殊到一般、分類討論情感態(tài)度、價(jià)值觀：通過探索發(fā)現(xiàn)，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用性.【學(xué)情分析】對(duì)重點(diǎn)學(xué)校的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求扎實(shí)，思維、靈活性等都需要有極大的提高，但這是文科班的學(xué)生，所以基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，反應(yīng)速度相對(duì)較慢。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師講解時(shí)要放慢步驟，提高學(xué)生主體能動(dòng)性，多加前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅，教學(xué)要按步就班，不要急于求成，要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用。用“等面積法”導(dǎo)出三角形面積公式和正弦定理，教師必須引導(dǎo)學(xué)生分析三角形面積公式中的底邊與高，進(jìn)而會(huì)對(duì)高加以邊與角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，教師應(yīng)加以積極引導(dǎo)，使其對(duì)證明加以理解，并會(huì)加以應(yīng)用。教學(xué)過程情境1一飛機(jī)沿水平方向飛行，在位置A處測(cè)得測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯前角為30度，向前飛行了10000米，到達(dá)位置B時(shí)測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C的俯角為75度，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的距離為多少米？情境2一魚雷快艇A發(fā)現(xiàn)位于正北方向的敵艦B以每小時(shí)30海里的速度朝東北方向駛?cè)ィ阎~雷的速度是每小時(shí)50海里，為擊中敵艦，求魚雷發(fā)射的提前角.從特殊到一般，歸納概括定理讓學(xué)生討論如下的問題：一、怎樣解直角三角形（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，1；（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為，，，對(duì)應(yīng)的邊長a：b：c為1：：2，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，，1。（圖2）（圖2）以上兩例，學(xué)生均能回答出有。馬上接著設(shè)疑，對(duì)任意的三角形，是否都存在呢？這樣由特殊到一般問題提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過程。二、帶疑探究，按部就班通過第一部分的講解，已創(chuàng)設(shè)了學(xué)生渴望探究問題真象的情景。分析圖形（圖3），對(duì)于任意△ABC，由初中所學(xué)過的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：或，或，或。所以==而對(duì)式子中均除以后可得，即。教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過程。（圖3）猜想得以證明，揭示課題，引入正弦定理水到渠成，按部就班，與第一部分呼應(yīng)，又直接與第三部分定理的應(yīng)用相銜接。1、三角形的面積公式：任何三角形的面積等于任意兩邊與其夾角的正弦的乘積的一半。即2、正弦定理：任何三角形三個(gè)內(nèi)角的正弦與三條對(duì)邊的對(duì)應(yīng)比是相等的。即注意：⑴三角形的內(nèi)角和等于180°⑵在同一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于三邊，任意兩邊之差小于第三邊⑶大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角三、例題講解，深化理解教師分析，正弦定理實(shí)際上可以寫成三個(gè)等式。實(shí)際應(yīng)用時(shí)根據(jù)題意選取。每一個(gè)等式中有兩邊與兩角，可以用來求“已知兩角與一邊”和“已知兩邊與其中一邊的對(duì)角”的三角形問題。例1在△ABC中，a=5，∠A=，∠B=，求∠C，b，c。（圖4）（圖4）分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角∠C。再由正弦定理求其他兩邊。求邊b時(shí)由教師分析。求邊c時(shí)由學(xué)生練習(xí)。并根據(jù)時(shí)間可有針對(duì)性地指導(dǎo)一兩個(gè)學(xué)生，最后提問一學(xué)生回答即可。例1完成后可總結(jié)一下利用正弦定理可解決例1這種類型的題目：“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”。馬上接著過渡下去，還可用來解決例2這種類型的題目：“已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素”，接著分析例2并解答。例2在△ABC中，∠B=，c=，b=，求∠C。講完例2后，保留例2題目，把其中b=改成b=，讓學(xué)生作練習(xí)。同時(shí)讓兩位學(xué)生上黑板練習(xí)，教師下去指導(dǎo)個(gè)別差學(xué)生。學(xué)生作該練習(xí)時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一種情況是求出∠C=或；另一種情況是∠C=，而∠C=舍去。可激發(fā)學(xué)生討論，在例2中，∠C=或，兩個(gè)答案均可，而在該練習(xí)中，到底是哪一種情況呢？通過討論激發(fā)學(xué)生自我思考，自我總結(jié)。最后由教師再總結(jié)，當(dāng)∠C=時(shí)不合題意，因?yàn)?＞，故舍去。讓學(xué)生明辨是非，又由例2與練習(xí)中得以思考，碰到該類型題目，須加以討論再確定解的情況。接著，教師又把b=改成b=，讓學(xué)生練習(xí)，可以相互間進(jìn)行討論。這時(shí)學(xué)生得到sinC=＞1，大部分學(xué)生會(huì)感到無從下手。這時(shí)教師須趁熱打鐵，得出∠C不存在，學(xué)生覺得受益非淺。四、鞏固練習(xí)1.在ABC中，(1)已知A＝135°,a＝2，b＝,求B(2)已知A＝45°,a＝2，b＝,求B2.已知b=6,c=9,B=45°,求C.五、總結(jié)提高，明確要點(diǎn)1、三角形面積公式，正弦定理及推導(dǎo)過程。在證明中，可引導(dǎo)學(xué)生課后去探究，為下一節(jié)課的余弦定理的推導(dǎo)埋下伏筆。在正弦定理中，若∠C=，則有，，即為直角三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)過的知識(shí)相吻合。把知識(shí)從一般又過渡到特殊，由抽象到具體。2、正弦定理的兩個(gè)應(yīng)用：（1）已知三角