第1頁(yè)共3頁(yè)源于課本的線性規(guī)劃問題拓展廣州市第六中學(xué)楊剛一教學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容解析1.內(nèi)容：本節(jié)課是高一的一節(jié)新授課。內(nèi)容由兩部分組成：（1）人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)·必修五（以下簡(jiǎn)稱“教科書”）104頁(yè)中的習(xí)題5和91頁(yè)第1題（2）；（2）教科書104頁(yè)中的習(xí)題5的拓展。2.內(nèi)容解析：我們將教科書中的原題與高考題放在一起進(jìn)行比較，就可以看出一些“高考題源于課本而又高于課本”。要破解這些高考題，首先應(yīng)當(dāng)再次認(rèn)真研究教科書中的問題。二教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析1.目標(biāo)：（1）.了解線性規(guī)劃的實(shí)際意義,能夠熟練操作圖形計(jì)算器準(zhǔn)確畫出可行域。（2）.體會(huì)線性規(guī)劃中數(shù)形結(jié)合的基本思想，從目標(biāo)函數(shù)的幾何意義尋找突破口，并能借助幾何直觀解決一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。（3）.在解題（尤其是高考題）時(shí)能聯(lián)想到教科書中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)模型（代數(shù)的和幾何的），將所要求解的新問題看作是曾經(jīng)解決過的舊問題的拓展，克服面對(duì)新題、難題時(shí)的恐慌心理。2.目標(biāo)解析：線性規(guī)劃作為一種重要的工具，常常用來解決1.線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題；2.非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題（距離和斜率問題）；3.已知目標(biāo)函數(shù)的最值問題求參數(shù)問題；這三類問題也是高考考察的重點(diǎn)，因此本節(jié)課中的例題、習(xí)題及所附目標(biāo)檢測(cè)習(xí)題中多次考察到了這些知識(shí)點(diǎn)。另一方面，學(xué)生在解答線性規(guī)劃問題時(shí)，由于不熟悉目標(biāo)函數(shù)所具有的幾何意義，覺得題題都是“新”問題，有恐慌心理。因而，幫助學(xué)生克服面對(duì)新題、難題時(shí)的恐慌心理也是本節(jié)課的教學(xué)試圖達(dá)到的目標(biāo)之一。三教學(xué)問題診斷分析部分學(xué)生在學(xué)習(xí)了很多知識(shí)，做了很多題后，仍然覺得知識(shí)是散亂的。部分學(xué)生在考試時(shí)經(jīng)常會(huì)頭腦中一片空白，無(wú)法聯(lián)想到曾經(jīng)做過的類似問題。這主要是由于學(xué)生缺乏系統(tǒng)的整理和思考。事實(shí)上，許多數(shù)學(xué)問題之間存在深刻的內(nèi)在聯(lián)系，如果能將這些問題組成一個(gè)“群”，組織學(xué)生研究這個(gè)“群”內(nèi)的問題的共同特點(diǎn)，達(dá)到做幾題，通一類的效果，則數(shù)學(xué)教學(xué)就可以跳出題海，事半而功倍了。本節(jié)課主要是在掌握線性規(guī)劃的一般解法，熟悉其步驟的基礎(chǔ)上，掌握解決線性規(guī)劃問題的思想方法——數(shù)形結(jié)合思想，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，建立模型，進(jìn)而使問題解決．四教學(xué)支持條件本節(jié)課首先需要研究動(dòng)態(tài)的圖形(主要是直線和圓)移動(dòng)問題，紙筆無(wú)法完美地呈現(xiàn)這個(gè)動(dòng)態(tài)的過程；其次還需要進(jìn)行較復(fù)雜的代數(shù)演算（求交點(diǎn)問題），過于復(fù)雜的紙筆演算使學(xué)生深陷其中，不利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型及整節(jié)課的宏觀理解。因而學(xué)生每人一臺(tái)TIN-spireCAS圖形計(jì)算器是完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的重要支持條件。五教學(xué)過程設(shè)計(jì)例1．（教科書第104頁(yè)習(xí)題5改編）1.已知（1）求的最大值、最小值；（2）求的最大值、最小值；（3）求的最大值、最小值。圖1圖2解：（1）如圖1作出由不等式組確定的可行域，作出目標(biāo)函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計(jì)算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值2；②當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值13；（2）如圖2作出目標(biāo)函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計(jì)算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)圓與直線相切時(shí)，有最小值（即為原點(diǎn)到該直線距離的平方）②當(dāng)圓經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值13；即；。（3）如圖3作出目標(biāo)函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計(jì)算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值0；②當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值2.圖3解題后反思：（1）目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一定在邊界頂點(diǎn)的位置取得嗎？（2）目標(biāo)函數(shù)具有怎樣的幾何意義？（3）用圖形計(jì)算器求解時(shí)一般步驟是怎樣？答：（1）不一定，例如問題（2）中目標(biāo)函數(shù)取得最小值是當(dāng)圓與直線相切的時(shí)候，此時(shí)最優(yōu)解不是在邊界的頂點(diǎn)而是在邊界上。（2）問題（1）中的目標(biāo)函數(shù)為，變形可得，于是，把求的最值問題轉(zhuǎn)化為直線與可行域有公共點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距的最值問題；問題（2）中的目標(biāo)函數(shù)為，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題可以看成是可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)連線距離的平方的最值問題；（或者將目標(biāo)函數(shù)變形成，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題可以看成以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與可行域有公共點(diǎn)時(shí)半徑平方的最值問題（實(shí)質(zhì)就是半徑的最值問題））；問題（3）中目標(biāo)函數(shù)為，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題可以看成是可行域中的點(diǎn)到點(diǎn)連線的斜率的最值問題（或者將目標(biāo)函數(shù)變形成，求目標(biāo)函數(shù)的最值問題可以看成直線與可行域有公共點(diǎn)時(shí)，斜率的最值問題）；（3）一般步驟：1.畫：借助圖形計(jì)算器，根據(jù)約束條件迅速畫出可行域（可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)無(wú)限大的平面區(qū)域）；2.移：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)其幾何意義找出最優(yōu)解；3.求：求出圖形的交點(diǎn)也即最優(yōu)解，近而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值；4.答：寫出答案。練習(xí)一：（教科書第91頁(yè)第1題（2）改編）1.若滿足約束條件（1）求的最大值、最小值；（2）求的最大值、最小值；圖4圖5解：（1）如圖4作出目標(biāo)函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計(jì)算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓與直線相切時(shí)，有最小值（即為點(diǎn)到該直線距離的平方）；②當(dāng)圓經(jīng)過點(diǎn)和時(shí)，有最大值13；即；。（2）如圖5作出目標(biāo)函數(shù)：，觀察TI-NspireCAS圖形計(jì)算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：①在直線移動(dòng)過程中發(fā)現(xiàn)沒有最大值也沒有最小值；但是當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)值為；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)值為；即解題后反思：目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一定唯一嗎？答：（1）不一定，例如練習(xí)1（1）中目標(biāo)函數(shù)取得最大值是當(dāng)圓經(jīng)過點(diǎn)和時(shí)，此時(shí)最優(yōu)解有兩個(gè)并不唯一。拓展一：1.若滿足約束條件且的最小值是2，求的值。圖6解：如圖6作出由不等式組確定的可行域，取作出直線：，觀察TI-NspireCAS圖形計(jì)算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最小值2，滿足題意，此時(shí)的值為3；練習(xí)2.若滿足約束條件且的最大值是13，求的值。圖7解：如圖7作出由不等式組確定的可行域，取作出直線：，觀察TI-NspireCAS圖形計(jì)算器中的圖形可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值13，滿足題意，此時(shí)的值為1；解題后反思：（1）練習(xí)2中的直線與拓展1中的直線的移動(dòng)方式有什么區(qū)別，有這種區(qū)別的本質(zhì)是什么？答：（1）直線的移動(dòng)是一種旋轉(zhuǎn)變動(dòng)，而直線的移動(dòng)是一種平移變動(dòng)，原因是在直線中參數(shù)會(huì)影響到直線斜率的變動(dòng)近而影響到直線傾斜角的變化，所以直線會(huì)旋轉(zhuǎn)變動(dòng)，而在直線中，只會(huì)影響直線的截距不會(huì)影響直線的斜率，所以直線會(huì)平移變動(dòng)。六目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)題組一（教師可根據(jù)學(xué)生的情況選擇本題組中的1－2題，要求學(xué)生必做）：1、已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是（）A．B．C． D．2、如果點(diǎn)在平面區(qū)域上，點(diǎn)在曲線上，那么的最小值為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【答案】A已知實(shí)數(shù)x,y滿足且z＝2x＋4y的最小值為－6，則常數(shù)k等于【答案】D題組二（本題組中2題要求學(xué)生必做）：4、（2010北京理數(shù)）（7）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a的取值范圍是（A）(1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,)【答案】A5、（2010浙