§11.2一元線性回歸兩個變量之間的相關系數能表明兩者之間關系的密切程度，但無法用一個變量去估計另一個變量。回歸分析則可做到這一點，用自變量去估計或預測因變量。回歸分析首先要區分自變量和因變量，自變量是“因”，因變量是“果”，然后建立一個方程去描述這個因果關系，即要找出兩者之間關系的數學表達式，這就是一元回歸；如果兩個變量是線性關系．稱為一元線性回歸。設相關關系的兩個變量為和，的值由兩部分構成：一部分由的影響確定，用的函數表示，稱為回歸函數；另一部分則由眾多不確定性因素影響產生，可看成取值的隨機波動，記為，并且假定其平均值為零，即。于是得到數學模型：

上式稱為回歸模型，它表明當取某個數值時，并不必然表現為一個確定的值，而是在附近波動，但其平均數在大量觀察下趨向于確定的值。圖11-1企業產量與生產費用散點圖我們容易看出企業產量和生產費用之間的散點圖大致呈直線關系。但圖形中的各點并不都在—條直線上，而是圍繞著直線上下波動，有的在直線上面，有的在直線下面。各散點的坐標滿足方程

對于這樣的散點圖，我們認為與之間線性相關，回歸函數是線性函數，即

此時，回歸模型為

(11.3)式稱為一元線性回歸函數，(11.4)稱為一元線性回歸模型。直線截距直線斜率也叫做對的回歸系數，它表示每變動一個單位所引起的的平均變動量殘差（也稱為回歸誤差或預測誤差），代表除外的其它次要因素形成的隨機擾動。當樣本量較大時，正負干擾可相互抵消，所以我們認為的均值為0。回歸分析的主要任務就是確定回歸方程的參數、并判定回歸函數(11.3)式是否合理。

怎樣確定??越小越好常用的方法是最小二乘法(Leastsquares，簡記為LS)。它使殘差平方和(residualssumofsquares:RSS)最小,即使最小在計算上應先求再求。用最小二乘法擬合的回歸方程有三個性質：(1),即回歸誤差可以相互抵消。(2)所擬合的回歸線通過均值點，即通過散點圖的重心，因而預測值的均值等于實際值的均值。

(3)殘差和、之間無相關關系。

利用求極值的方法可解得:案例11.2

根據表中有關數據，確定該企業生產費用對產量的回歸方程，并說明產量對生產費用的影響大小。表11-2企業生產費用與產量相關系數計算表解：由于產量多少決定著生產費用的多少，所以以產量x為自變量，生產費用y為因變量。代入（）,得所求的生產費用對產量的回歸方程為：它說明該企業產量每增加1千噸，生產費用平均增加萬元。案例某省1990－2000年工業產值y與農業產值x的統計數據（單位：億元）如表中第2、3列所示。試求工業產值對農業產值的回歸函數。年份xyxyx2y2199019911992199319941995199619971998199920006871727076777678798188686970818586100108114120133462448995040567064606622760084249006972011704462450415184490057765929577660846241656177444624476149006561722573961000011664129961440017689∑83610347976963860102216平均7694

解：建立y對x的一元線性回歸方程，由表可知根據公式(11.5),有從而y對x的線性回歸方程為：可線性化的一元回歸問題常見的非線性函數及其轉化為線性函數的方法：1、雙曲線（圖11-8）令，則有2、冪函數曲線（圖11-9）令，則有3、數函數曲線（圖11-10）令，則有4、負指數函數曲線（圖11-11）令，則有5、對數曲線（圖11-11）

令，則有案例某商店歷年銷售肥皂統計資料如下：

年度x1990199119921993199419951996銷售量y（箱）95104110120140165200試用指數曲線預測1998年的肥皂銷量。

解：設令為了計算方便，再定義,列表計算如下：1－3954.55399-13.66162－21044.64444-9.28883－11104.70051-4.7005401204.787500.0000511404.941614.9416621655.1059410.2119732005.2983915.8950∑093434.0321283.3976由公式（）有

所以

已知1996年的序號是，那么1998年應為所以預計1998年的銷量為回歸模型的擬合優度和顯著性一、回歸模型的擬合優度yoxSRF總離差來自殘差來自回歸圖11-13總變異分解為兩部分可以證明，對最小二乘法，如下等式成立：

總平方和SST殘差平方和SSE回歸平方和SSR越大，則越小，因而回歸方程的擬合程度越高。定義

即

稱為可決系數（也叫做判定系數）。越大，說明回歸平方和占總平方和的比例越大，殘差平方和占總平方和的比例越小，回歸直線擬合優度越好。二、回歸模型的顯著性檢驗為了分析Y與X之間是否存在線性關系，我們可以對回歸模型進行顯著性檢驗。通常也稱為F檢驗。其檢驗步驟如下：(1)假設回歸方程是不顯著的，即原假設：方程不顯著對立假設：方程顯著(2)計算回歸方程的F統計量(3)根據給定的顯著性水平和兩個自由度1和(n一2)查F分布表中相應的臨界值若，則拒絕原假設，說明回歸方程顯著；若，則接受原假設，說明回歸方程不顯著。案例11.5討論案例中回歸方程的顯著性并分析回歸模型的擬合優度。解：通過計算可得：

根據公式（）

若查表得,由于實際的F值大于，拒絕原假設，說明生產費用與產量之間的線性關系是顯著的。再根據公式(11.7)可得。

說明回歸方程的擬合程度是較高的。隨堂練習1、直線回歸方程中，參數的經濟意義。答：參數的經濟意義，代表經濟現象經過修勻的基礎水平；稱為回歸系數，表示：每變動一個單位時．影響平均變動的數量。2、某企業生產的某種產品的產量與單位成本資料如下表月份產量X(千臺)單位成本y(元)13822481358044825578667777768678（1）確定直線回歸方程，并說明回歸系數的意義。（2）測算產量為6500臺時，單位成本為多少？解：由已知條件可計算出：（1）由式可計算出：的意義：當產量每增加1干臺時，單位成本平均下降約元（2）當x＝6．5時，代入回歸方程有：所以產量為6500臺時，單位成本為元3、試述相關分析與回歸分析的關系。答：