有限差分法基礎

數值離散概述

有限差分法求解微分方程（如流體控制方程）的基本過程是：①將求解區域劃分為差分網格，用有限個網格點代替連續的求解域，將待求解的變量（如密度、速度等）存儲在各網格點上②將偏微分方程中的微分項用相應的差商代替，從而將偏微分方程轉化為代數形式的差分方程，得到含有離散點上的有限個未知變量的差分方程組。③求解該差分方程組，也就得到了網格點上變量的數值解。有限差分法求解示例求微分方程：

的數值解。離散網格點x0x1x2x3xn-1xn

令得到差分格式差商代替微商其中得到的線性方程組差分和逼近誤差

差分概念：

設有的解析函數，函數對的導數為：

、分別是函數及自變量的微分，是函數對自變量的導數，又稱微商。上式中的、分別稱為函數及其自變量的差分，為函數對自變量的差商。

差分的三種形式（一階）：

向前差分

向后差分

中心差分

與其對應的差商的三種形式（一階）：

向前差商

向后差商

中心差商差分和逼近誤差

由導數（微商）和差商的定義可知，當自變量的差分（增量）趨近于零時，就可以由差商得到導數。因此在數值計算中常用差商近似代替導數。差分和逼近誤差差分和逼近誤差

用泰勒級數展開可以推導出導數的有限差分形式。差分和逼近誤差差分和逼近誤差

逼近誤差：差商與導數之間的誤差，表明差商逼近導數的程度。由函數的Taylor級數展開，可以得到逼近誤差相對于自變量差分的量級，稱為用差商代替導數的精度。

差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差差分和逼近誤差（二階導數）

二階中心差分：

二階中心差分：差分和逼近誤差（二階導數）差分方程的建立過程

差分相應于微分，差商相應于導數。只不過差分和差商是用有限形式表示的，而微分和導數是以極限形式表示的。如果將微分方程中的導數用相應的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。模型方程

為了抓住問題的實質，同時又不使討論的問題過于復雜，常用一些簡單的方程來模擬流體力學方程進行討論分析，以闡明關于一些離散方法的概念。這些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：

對流方程：

對流－擴散方程：

熱傳導方程：

Poisson方程：

Laplace方程：時間一維空間一維的例子

以對流方程說明差分方程的建立過程。1.劃分網格

選定步長和，然后在坐標平面用平行于坐標軸的兩族直線劃分網格：2.針對某一點，用差商近似代替導數

對流方程在點為差分方程的建立過程

時間導數用一階向前差商近似代替：

空間導數用一階中心差商近似代替：則對流方程在點對應的差分方程為差分方程的建立過程差分方程和其定解條件一起，稱為相應微分方程問題的差分格式。上述初值問題的差分格式可改寫為：觀察上述差分格式可看出：若知道第層的，可由一個差分式子直接算出第層的，故稱這類格式為顯式格式。差分方程的建立過程

顯式有限差分模板：

時間推進：第一個例子的求解結果求微分方程：

的數值解。精確解：第一個例子的求解結果

例

考慮長度為1的均勻直桿，其表面是絕熱的，而且桿截面足夠細，可以把斷面上的所有點的溫度看成是相同的。軸取為沿桿軸方向，對應桿的端點，則桿內溫度分布隨時間變化由下面的擴散方程來描述：熱傳導方程的求解

時間導數用一階向前差商近似代替：

空間導數用二階中心差商近似代替：

取，則最終的差分方程：熱傳導方程的求解

顯式有限差分模板：熱傳導方程的求解0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.52.02.53.0100100000000000100100100100100100100100100100100100505062.562.568.868.80252537.537.545.30012.512.521.921.90006.256.2514.100006.256.250006.256.2514.10012.512.521.921.90252537.537.545.3505062.562.568.868.8熱傳導方程的求解

如仍取而為縮短計算時間，時間步長取，則最終的差分方程：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.510010000000000010010010010010010010002000100-10000100000000000001000100-1001000200熱傳導方程的求解差分法的基本理論上例中，令表示差分方程的精確解．利用Taylor級數將上式中鄰近節點的解在(i，n)點展開，整理并略去上標后可得上式就是與差分方程等價的微分方程式。一般地說，任何一個微分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor級數表示，這樣都可以得到一個與差分方程對應的新的微分方程，該微分方程稱為差分方程的修正方程式。1.相容性上式中的就是差分方程與微分方程的差別，稱之為截斷誤差。顯然與、成正比，一般情況下，當步長趨向零時,有限差分方程的截斷誤差是趨向于零的，則稱有限差分方程與相應的偏微分方程是相容的。一個可用的偏微分方程的差分表達式必須是相容的。否則在、趨近零時，差分方程不能趨于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意義!

2.收斂性收斂性研究的是差分方程的解與微分方程的解之間的差別問題。如果在求解區域中的任一離散點上，當網格步長、趨于零時，有限差分方程的解趨近于所近似的微分方程解，則稱有限差分方程的解是收斂的。

3.穩定性穩定性討論的是差分解的誤差在計算過程中的發展問題。在數值解中，引進誤差是不可避免的，電子計算機也有舍入誤差，因此實際算得的有限差分方程的解是近似解。這種誤差是要向其他方向傳播的，如果計算中引入的誤差在以后逐層計算過程中影響逐漸消失或者保持有界，則稱差分方程是穩定的。否則就是不穩定的。上式中為差分方程的精確解,如果令為差分方程的近似數值解，之間的誤差為。同樣，近似數值解也滿足同樣的方程：分析例題VonNeumann穩定性分析方法簡介上式稱為誤差傳播方程。4.Lax等價定理對于一個適定的線性初值問題，如果有限差分近似是相容的，則穩定性是收斂性的充分和必要條件。這是有限差分方法最基本的定律。適用條件：1）偏微分方程的解存在、唯一且連續地依賴于初值；2）該定理只適用于線性問題，對非線性此定理至今未得到證明。重要的實際意義：一般情況下，證明有限差分方程的解收斂于它所近似的偏微分方程的解比較困難。而證明有限差分方程的穩定性和相容性相對來說比較容易。根據該定理只要證明有限差分方程是相容的、穩定的，就保證了收斂性。幾種差分格式介紹FTCS格式（時間向前差分、空間中心差分）

幾種差分格式介紹FTFS格式（時間向前差分、空間向前差分）

幾種差分格式介紹FTBS格式（時間向前差分、空間向后差分）

幾種差分格式介紹幾種差分格式介紹幾種差分格式介紹迎風格式

內容總結有限差分法基礎。①將求解區域劃分為差分網格，用有限個網格點代替連續的求解域，將待求解的變量（如密度、速度等）存儲在各網格點上。與其對應的差商的三種形式（一階）：。差分相應于微分，差商相應于導數。只不過差分和差商是用有限形式表示的，而微分和導數是以極限形式表示的。如果將微分方程中的導數用相應的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。為了抓住問題的實質，同時又不使討論的問題過于復雜，常用