期末線上自測數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據誘導公式以及特殊角的三角函數值，即可容易求得結果.【詳解】因為.故選：D.2.設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A，利用交集定義和運算計算即可．【詳解】由題意可得，則故選：D3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用全稱量詞的命題的否定解答即可.【詳解】解：因為全稱量詞的命題的否定是存在量詞的命題，命題“，”是全稱量詞的命題，所以其否定是“，”.故選：C4.“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由菱形和平行四邊形的定義可判斷.【詳解】解：四邊形是菱形則四邊形是平行四邊形，反之，若四邊形是平行四邊形則四邊形不一定是菱形，所以“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”的充分不必要條件.故選：A.5.已知函數以下關于的結論正確的是（）A.若，則B.的值域為C.在上單調遞增D.的解集為【答案】B【解析】【分析】A選項逐段代入求自變量的值可判斷;B選項分別求各段函數的值域再求并集可判斷;C選項取特值比較大小可判斷不單調遞增;D選項分別求各段范圍下的不等式的解集求并集即可判斷.【詳解】解:A選項:當時,若,則;當時,若,則,故A錯誤;B選項:當時,;當時,,故的值城為,B正確;C選項:當時,,當時,,在上不單調遞增,故C錯誤;D選項:當時,若,則;當時,若,則,故的解集為,故D錯誤;故選:B.6.已知函數，則的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】計算的值即可判斷得解.【詳解】解：由題得，所以排除選項A,D.,所以排除選項C.故選：B7.已知，則“函數為偶函數”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】充分性判斷：利用偶函數的性質，結合和差角正弦公式求；必要性判斷：應用誘導公式化簡并判斷奇偶性，最后由充分、必要性定義確定題設條件間的關系.【詳解】當為偶函數時，則恒成立，即，；當時，為偶函數；綜上，“函數為偶函數”是“”的必要不充分條件.故選：B8.設，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據指數函數和對數函數的單調性得出的范圍，然后即可得出的大小關系.【詳解】由題意知，，即，，即，，又，即，∴．故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列函數是奇函數的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】先求函數的定義域，再判斷與的關系即可求解【詳解】對A，函數的定義域為R,關于（0,0）對稱，且，故函數為奇函數，符合題意；對B，函數定義域為R,關于（0,0）對稱，且，故函數為非奇非偶函數，不符合題意；對C,函數定義域為R,關于（0,0）對稱，且，故函數為奇函數，符合題意；對D,函數定義域為，不關于（0,0）對稱，故函數為非奇非偶函數，不符合題意；故選：AC10.已知，，則（）A. B.為第一或第三象限角C. D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由題意確定出所在的象限即可判斷A，進而判斷的符號可以判斷D，再結合二倍角公式判斷C，最后根據，求出的范圍，然后對n的奇偶性進行討論，最后判斷B.【詳解】因為，，所以在第二象限，則，A錯誤；易知，則D錯誤；，C正確；因為，若，則，則為第一象限角，若，則，則為第三象限角，則B正確.故選：BC.11.若x，．且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據題意，由基本不等式和不等式的性質依次分析選項，綜合可得答案．【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，若，，，當且僅當時等號成立，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，，當且僅當時等號成立，C錯誤；對于D，，則有，變形可得，故，當且僅當時，取等號，故D正確；故選：ABD．12.邊際函數是經濟學中一個基本概念，在國防、醫學、環保和經濟管理等許多領域都有十分廣泛的應用，函數的邊際函數定義為．某公司每月最多生產75臺報警系統裝置，生產臺的收入函數（單位：元），其成本的數（單位：元），利潤是收入與成本之差，設利潤函數為，則以下說法正確的是（）A.取得最大值時每月產量為臺B.邊際利潤函數的表達式為C.利潤函數與邊際利潤函數不具有相同的最大值D.邊際利潤函數說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少【答案】BCD【解析】【分析】求出函數、的解析式，可判斷B選項；利用二次函數的基本性質可判斷A選項；求出利潤函數與邊際利潤函數的最大值，可判斷C選項；利用邊際利潤函數的單調性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，二次函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，因為，所以，取得最大值時每月產量為臺或臺，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，因為函數為減函數，則，C對；對于D選項，因為函數為減函數，說明邊際利潤函數說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少，D對.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______________.【答案】2【解析】【分析】由對數的運算法則直接求解.【詳解】故答案為：214.要在半徑cm的圓形金屬板上截取一塊扇形板，使弧AB的長為m，那么圓心角_________．（用弧度表示）【答案】【解析】【分析】由弧長公式變形可得：，代入計算即可.【詳解】解：由題意可知：（弧度）.故答案為：.15.若則函數的最小值為________．【答案】1【解析】【分析】結合圖象可得答案.詳解】如圖，函數在同一坐標系中，且，所以在時有最小值，即.故答案為：1.16.函數的部分圖像如圖所示，則的單調遞減區間為______．【答案】【解析】【分析】根據圖像可得周期，求出后代入性質即可求解.【詳解】由題知，，解得，由解得：，所以，令，.解得：，.所以的單調遞減區間為：.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，.（1）當時，求，；（2）若，求實數m的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，然后根據集合的交集以及并集的運算進行求解；（2）分和兩種情況討論，列出要滿足的不等關系，即可求解.【小問1詳解】，當時，，所以，；【小問2詳解】當時，有，即，此時滿足;當時，若，則有，解得，綜上，實數取值范圍時.18.已知函數，且．（1）求a的值；（2）判斷在區間上的單調性，并用單調性的定義證明你的判斷．【答案】（1）4（2）在區間上單調遞減，證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據即可得出答案；（2）對任意，且，利用作差法比較的大小關系，即可得出結論.【小問1詳解】解：由得，解得；【小問2詳解】解：在區間內單調遞減，證明：由（1）得，對任意，且，有，由，，得，，又由，得，于是，即，所以在區間上單調遞減．19.已知.（1）化簡，并求的值；（2）若，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數誘導公式將化簡，將代入求值即可；（2）利用將變形為，繼而變形為，代入求值即可.【小問1詳解】則【小問2詳解】由（1）知，．則20.設函數.（1）求函數的最小正周期和單調遞增區間；（2）求函數在區間上的最小值和最大值，并求出取最值時的值．【答案】（1），；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據正弦函數性質求函數的最小正周期和單調遞增區間；（2）先確定取值范圍，再根據正弦函數性質求最值及其對應自變量【詳解】（1）函數的最小正周期為，由的單調增區間是可得，解得故函數的單調遞增區間是．（2）設，則，由在上的性質知，當時，即，；當時，即，．【點睛】本題考查正弦函數周期、單調區間、最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21.已知函數為定義在R上的奇函數．（1）求實數m，n的值；（2）解關于x的不等式．【答案】（1）（2）答案詳見解析【解析】【分析】（1）利用以及求得的值.（2）利用函數的奇偶性、單調性化簡不等式，對進行分類討論，由此求得不等式的解集.【小問1詳解】由于是定義在R上的奇函數，所以，所以，由于是奇函數，所以，所以，即，所以.【小問2詳解】由（1）得，任取，，由于，所以，，所以在上遞增.不等式，即，，，，，，①.當時，①即，不等式①的解集為空集.當時，不等式①的解集為.當時，不等式①的解集為.22.我們知道，聲音由物體的振動產生，以波的形式在一定的介質（如固體、液體、氣體）中進行傳播．在物理學中，聲波在單位時間內作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強．但在實際生活中，常用聲音的聲強級D（分貝）來度量．為了描述聲強級與聲強之間的函數關系，經過多次測定，得到如下數據：組別1234567聲強①聲強級1013.0114.7716.022040②現有以下三種函數模型供選擇：，，．（1）試根據第1—5組的數據選出你認為符合實際的函數模型，簡單敘述理由，并根據第1組和第5組數據求出相應的解析式；（2）根據（1）中所求解析式，結合表中已知數據，