2022年山東省淄博市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案及部分解析)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.若xo為f(x)的極值點，則()A.A.f(xo)必定存在，且f(xo)=0

B.f(xo)必定存在，但f(xo)不一定等于零

C.f(xo)可能不存在

D.f(xo)必定不存在

3.

4.設y=2-x，則y'等于()。A.2-xx

B.-2-x

C.2-xln2

D.-2-xln2

5.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.極大值f(4，1)=63B.極大值f(0，0)=20C.極大值f(-4，1)=-1D.極小值f(-4，1)=-1

6.lim(x2＋1)=

x→0

A.3

B.2

C.1

D.0

7.微分方程y′-y=0的通解為()．

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

8.

9.設y=exsinx，則y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

10.若，則下列命題中正確的有()。A.

B.

C.

D.

11.當x→0時，與x等價的無窮小量是（）

A.

B.ln(1+x)

C.

D.x2(x+1)

12.

13.

14.A.A.

B.

C.

D.

15.若x0為f(x)的極值點，則（）．A.A.f(x0)必定存在，且f(x0)＝0

B.f(x0)必定存在，但f(x0)不－定等于零

C.f(x0)不存在或f(x0)＝0

D.f(x0)必定不存在

16.（）。A.2πB.πC.π/2D.π/417.設函數y=f(x)的導函數，滿足f'(-1)=0，當x＜-1時，f'(x)＜0；x＞-1時，f'(x)＞0．則下列結論肯定正確的是()．A.A.x=-1是駐點，但不是極值點B.x=-1不是駐點C.x=-1為極小值點D.x=-1為極大值點

18.

19.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面20.設∫0xf(t)dt=xsinx，則f(x)=()A.sinx+xcosxB.sinx-xcosxC.xcosx-sinxD.-(sinx+xcosx)二、填空題(20題)21.設函數x=3x+y2,則dz=___________22.設區域D：0≤x≤1，1≤y≤2，則23.

24.

25.

26.

27.過坐標原點且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程為_________.

28.

29.

30.

31.

32.

33.______。

34.

35.

36.37.

38.設y=sin2x，則dy=______．

39.

40.設y＝sin(2＋x)，則dy＝．三、計算題(20題)41.

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.

44.45.46.證明：47.求微分方程的通解．

48.

49.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

50.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．51.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

52.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．53.54.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．55.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．57.

58.求曲線在點(1，3)處的切線方程．59.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．60.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.展開成x-1的冪級數，并指明收斂區間(不考慮端點)。

68.（本題滿分8分）

69.

70.

五、高等數學(0題)71.設f(x)在x=a某鄰域內連續且f(a)為極大值，則存在δ>0，當x∈(a一δ，a+δ)時，必有()。A.(x—a)[f(x)一f(a)]≥0

B.(x—a)[f(x)一f(a)]≤0

C.

D.

六、解答題(0題)72.計算二重積分

，其中D是由直線

及y=1圍

成的平面區域．

參考答案

1.D解析：

2.C

3.D解析：

4.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則。由于y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2．考生易錯誤選C，這是求復合函數的導數時丟掉項而造成的!因此考生應熟記：若y=f(u)，u=u(x)，則

不要丟項。

5.D

6.C

7.C所給方程為可分離變量方程．

8.C

9.C由萊布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

10.B本題考查的知識點為級數收斂性的定義。

11.B?

12.D

13.A

14.C

15.C本題考查的知識點為函數極值點的性質．

若x0為函數y＝f(x)的極值點，則可能出現兩種情形：

(1)f(x)在點x0處不可導，如y＝|x|，在點x0＝0處f(x)不可導，但是點x0＝0為f(x)＝|x|的極值點．

(2)f(x)在點x0可導，則由極值的必要條件可知，必定有f(x0)＝0．

從題目的選項可知應選C．

本題常見的錯誤是選A．其原因是考生將極值的必要條件：“若f(x)在點x0可導，且x0為f(x)的極值點，則必有f(x0)＝0”認為是極值的充分必要條件．

16.B

17.C本題考查的知識點為極值的第一充分條件．

由f'(-1)=0，可知x=-1為f(x)的駐點，當x＜-1時，f'(x)＜0；當x＞-1時，f'(x)＞1，由極值的第一充分條件可知x=-1為f(x)的極小值點，故應選C．

18.C解析：

19.B對照二次曲面的標準方程可知，所給曲面為錐面，因此選B．

20.A

21.22.本題考查的知識點為二重積分的計算。

如果利用二重積分的幾何意義，可知的值等于區域D的面積．由于D是長、寬都為1的正形，可知其面積為1。因此23.由可變上限積分求導公式可知

24.1/2本題考查了對∞-∞型未定式極限的知識點，

25.

26.1/3

27.3x-7y+5z=0本題考查了平面方程的知識點。已知所求平面與3x-7y+5z-12=0平行,則其法向量為(3,-7,5),故所求方程為3(x-0)+(-7)(y-0)+5(z-0)=0,即3x-7y+5z=0.

28.

29.

30.

解析：

31.(12)

32.x/1=y/2=z/-133.本題考查的知識點為極限運算。

所求極限的表達式為分式，其分母的極限不為零。

因此

34.63/12

35.

36.發散

37.38.2cos2xdx這類問題通常有兩種解法．

解法1利用公式dy=y'dx，先求y'，由于y'=cos2x·(2x)'2cos2x，

因此dy=2cos2xdx．

解法2利用微分運算公式

dy=d(sin2x)=cos2x·d(2x)=2cos2xdx．

39.x+2y-z-2=040.cos(2＋x)dx

這類問題通常有兩種解法．

解法1

因此dy＝cos(2＋x)dx．

解法2利用微分運算公式

dy＝d(sin(2＋x))＝cos(2＋x)·d(2＋x)＝cos(2＋x)dx．41.由一階線性微分方程通解公式有

42.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％50.由二重積分物理意義知

51.

52.

53.

54.

列表：

說明

55.函數的定義域為

注意

56.

57.

則

58.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

59.

60.由等價無窮小量的定義可知

61.

62.

63.

64.