1.通過研究1弧度的意義理解弧度制的概念和意義,能正確進行弧度與角度的換算,熟記特殊角的弧度數.2.了解弧度制下角的集合與實數集R之間的一一對應關系.3.掌握弧度制下的弧長公式和扇形面積公式,會利用公式解決簡單的實際問題.7.1.2

弧度制1.角度制:規定周角的①

為1度的角,這種用度作為單位來度量角的單位制叫作角度制.2.弧度制:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角,記作②1rad

.

這種用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.3.角的弧度數求法:如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l,那么l,α,r之間存在的關系是③|α|=

,這里α的正負由角α的終邊旋轉方向決定.正角的弧度數是正數,負角的弧度數是負數,零角的弧度數為0.1|角度制和弧度制注意:(1)1弧度的角的大小與所取的圓的半徑大小無關.(2)以弧度為單位表示角的大小時,“弧度”兩字或“rad”可以省略不寫,但用度

為單位表示角的大小時,度(°)一定不能省去.1.角度與弧度的互化

2.一些特殊角的度數與弧度數的對應關系2|角度制與弧度制的換算度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0

⑤

⑥

π

2π設扇形的半徑為r,弧長為l,α(α為正角)為其圓心角,則3|扇形的弧長和面積公式

度量單位類別

α為角度制α為弧度制扇形的弧長l=⑦

l=⑧

αr

扇形的面積S=⑨

S=

αr2=⑩

rl

1.1弧度的角與1度的角大小相等.

(

?)提示:1rad=

度.2.用弧度表示的角都是正角.

(

?)提示:弧度也可表示負角,負角的弧度數是一個負數.3.1度的角是周角的

,1弧度的角是周角的

.

(√)4.無論是用角度制還是用弧度制度量角,它們均與圓的半徑大小有關.

(

?)提示:用角度制和弧度制度量角均與圓的半徑大小無關.5.-150°化成弧度是-

.

(

?)提示:-150°=150×

=

,-

=-210°.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.6.若扇形的半徑變為原來的2倍,弧長也變為原來的2倍,則扇形的面積變為原來的2倍.

(

?)提示:由S=

lr得扇形的面積變為原來的4倍.|扇形的弧長和面積的求解1.有關扇形的弧長l,圓心角α(0<α<2π),面積S的題目,一般是知二求一.解此類題目

的關鍵在于靈活運用公式l=αr,S=

rl=

αr2.2.扇形周長及面積的最值問題(1)當扇形周長一定時,扇形的面積有最大值.其求法是把面積S轉化為關于半徑r的二次函數,但要注意r的取值范圍,還要特別注意扇形的弧長l必須滿足0<l<2πr.(2)當扇形面積一定時,扇形的周長有最小值.其求法是把周長L轉化為關于半徑r的函數,但要注意r的取值范圍.近年來,隨著我市經濟的快速發展,政府對民生越來越關注.市區現有一塊近似正三角形的土地ABC(如圖所示),其邊長為2百米,為了滿足市民的休閑需求,市政府擬在三個頂點處分別修建扇形廣場,即扇形DBE,DAG和ECF,其中

,

與

分別相切于點D,E,且

與

無重疊,剩余部分(陰影部分)種植草坪.設BD的長為x百米,草坪面積為S萬平方米.(1)試用x分別表示扇形DAG和DBE的面積,并寫出x的取值范圍;(2)當x為何值時,草坪面積最大?并求出最大面積.思路點撥(1)根據扇形的面積公式求出相關扇形的面積,根據條件可得CF+AG<AC,且BD的長小于或等于△ABC的高,從而解得x的取值范圍;(2)用三角形面積減去三個扇形面積和可得草坪面積,再利用二次函數的知識可求出最值.解析

(1)∵BD=x百米,∴BE=x百米,AD=AG=EC=FC=(2-x)百米.∵△ABC為正三角形,∴∠A=∠B=∠C=

.∴S扇形DBE=

×

x2=

x2萬平方米,S扇形DAG=

×

×(2-x)2=

×(2-x)2萬平方米.∵

與

無重疊,∴CF+AG<AC,即2-x+2-x<2,解得x>1.又∵三個扇形都在三角形內部,∴x≤

,∴x∈(1,

].(2)易得S△ABC=

萬平方米,∴S陰影=S△ABC-S扇形DBE-S扇形DAG-S扇形ECF=

-

×[x2+2(2-x)2]=

-

×

萬平方米,∴當x=

時,S陰影取得最大值,為