獨立性檢驗練習題持不滿意態度的居民的結構比例圖例1某小區采取一系列措施,宣傳垃圾分類的知識與意義,并采購分類垃圾箱.為了解垃圾分類的效果,該小區物業隨機抽取了200名居民進行問卷調查,每名居民對小區采取的措施給出“滿意”或“不滿意”的評價.根據調查結果統計并作出年齡分布條形圖和持不滿意態度的居民的結構比例圖,如圖所示.持不滿意態度的居民的結構比例圖年齡分布條形圖年齡分布條形圖在這200份問卷中,持滿意態度的頻率是0.65.完成下面的2×2列聯表,并依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對該小區采取的措施的評價是否有差異;居民評價合計滿意不滿意51歲及以上的居民50歲及以下的居民合計200附表及參考公式α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ2=n(ad-解：根據題目所給數據,計算得到2×2列聯表為：居民評價合計滿意不滿意51歲及以上的居民45358050歲及以下的居民8535120合計13070200零假設為H0:“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對該小區采取措施的評價沒有差異.根據列聯表中的數據,計算得到χ2=200×(45×35-85×35)280根據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為“51歲及以上”和“50歲及以下”的居民對該小區采取措施的評價有差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.例2：海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）,其頻率分布直方圖如下：（1）記A表示事件“舊養殖法的箱產量低于50kg”，估計A的概率；（2）填寫下面列聯表，并依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,能否認為認為箱產量與養殖方法有關：箱產量＜50kg箱產量≥50kg舊養殖法新養殖法根據箱產量的頻率分布直方圖，對兩種養殖方法的優劣進行較。α0.050.010.001xα3.8416.63510.828附:χ2=n(解：（1）舊養殖法的箱產量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.04)×5=0.62因此，事件的概率估計值為0.62（2）根據箱產量的頻率分布直方圖得列聯表箱產量＜50kg箱產量≥50kg舊養殖法6238新養殖法3466零假設為H0:箱產量與養殖方法無關.根據列聯表的數據,計算得到χ2=200×(62×66?34×38)2100×100×96×104≈15.705>6.根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即推斷箱產量與養殖方法有關有關,此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（3）箱產量的頻率分布直方圖表明：新養殖法的箱產量平均值(或中位數)在50kg到55kg之間，舊養殖法的箱產量平均值（或中位數）在45kg到50kg之間，且新養殖法的箱產量分布集中程度較舊養殖法的箱產量分布集中程度高，因此，可以認為新養殖法的箱產量較高且穩定，從而新養殖法優于舊養殖法.例3、甲、乙兩臺機床生產同種產品,產品按質量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產品的質量,分別用兩臺機床各生產了200件產品,產品的質量情況統計如下表:(1)甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?(2)依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,能否認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?α0.050.010.001xα3.8416.63510.828附:χ2=n(解(1)由表格數據得甲機床生產的產品中一級品的頻率為150200乙機床生產的產品中一級品的頻率為120(2)零假設為H0:甲機床的產品質量與乙機床的產品質量無差異.根據2×2列聯表中的數據,計算得到χ2=400×(150×80-50×120)2200根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.例3.為了解某班學生喜歡打籃球是否與性別有關,對本班50人進行了問卷調查,得到如下2×2列聯表:性別打籃球合計喜歡打籃球不喜歡打籃球男20525女101525合計302050依據小概率值α=0.005的獨立性檢驗,推斷喜歡打籃球與性別__________(填“有關”或“無關”)

解：零假設為H0:喜歡打籃球與性別無關.根據列聯表的數據,計算得到χ2=50×(20×15-5×10)225根據小概率值α=0.005的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即推斷喜歡打籃球與性別有關,此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.例4、某網購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況，從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機抽取了100名，并繪制右圖所示頻率分布直方圖，已知之間三組的人數可構成等差數列.（1）求m,n的值；（2）分析人員對100名調查對象的性別進行統計發現，消費金額不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根據統計數據完成下列2×2列聯表，并判斷是否有99%的把握認為消費金額與性別有關？（3）分析人員對抽取對象每周的消費金額y與年齡x進一步分析，發現他們線性相關，得到回歸方程y=?5x+b.已知100名使用者的平均年齡為38歲，試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.附：x2解：（1）由頻率分布直方圖可知，m+n=0.01?0.0015×2?0.001=0.006，由中間三組的人數成等差數列可知m+0.0015=2n，可解得m=0.0035,n=0.0025（2）周平均消費不低于300元的頻率為(0.0035+0.0015+0.001)×100=0.6，男性女性合計消費金額≥300204060消費金額＜300251540合計4555100因此100人中，周平均消費不低于300元的人數為100×0.6=60人.所以2×2列聯表為K所以有99%的把握認為消費金額與性別有關.(3)調查對象的周平均消費為:0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+0.10×550=330由題意知：330=-5×38+b所以b=520，y=-5×25+520=395例5、.某校為調查高中生在校參加體育活動的時間,隨機抽取了100名高中學生進行調查,其中男生、女生各占一半,下面是根據調查結果繪制的學生日均體育鍛煉時間的頻率分布直方圖:將日均體育鍛煉時間不低于40分鐘的學生評價為“良好”,已知“良好”評價中有18名女生.學生性別是否良好合計非良好良好男女合計(1)請將列聯表補充完整;(2)試依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,分析高中生的性別是否與喜歡體育鍛煉有關.參考公式:χ2=n(ad?bc)χ2獨立性檢驗中常用的小概率值和相應的臨界值:α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解:(1)設學生日均體育鍛煉時間為x分鐘,根據頻率分布直方圖可知x≥40的頻率為(0.025+0.020+0.005)×10=0.5.抽取總人數為100,故評價為“良好”的學生人數為50.列聯表如下:學生性別是否良好合計非良好良好男183250女321850合計5050100(2)零假設為H0:高中生的性別與喜歡體育鍛煉無關.根據2×2列聯表中的數據,計算得到χ2=100×(18×18-32×32)250×根據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,有充分證據推斷H0不成立,即高中生的性別與喜歡體育鍛煉有關,此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.例6.某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關,現采用分層隨機抽樣的方法從中抽取了100名工人,先統計了他們某月的日平均生產件數,然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產件數分成5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統計,得到的頻率分布直方圖如圖所示.25周歲以上(含25周歲)組25周歲以下組(1)從樣本中日平均生產件數不足60的工人中隨機抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;(2)規定日平均生產件數不少于80者為“生產能手”,請你根據已知條件作出2×2列聯表,依據小概率值α=0.1的獨立性檢驗,能否推斷生產能手與工人所在的年齡組有關?解:(1)由已知得,樣本中有25周歲以上(含25周歲)組工人60名,25周歲以下組工人40名.故樣本中日平均生產件數不足60件的工人中,25周歲以上(含25周歲)組工人有60×0.05=3(人),記為A1,A2,A3;25周歲以下組工人有40×0.05=2(人),記為B1,B2.從中隨機抽取2名工人,所有可能的結果共有10種,該試驗的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)}.設事件A=“至少有1名‘25周歲以下組’工人”,則A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)}.故所求的概率P(A)=0.7(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上(含25周歲)組”中的生產能手有60×0.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產能手有40×0.375=15(人),據此可得2×2列聯表如下:組別是不是生產能手合計生產能手非生產能手25周歲以上(含25周歲)組15456025周歲以下組152540合計3070100零假設為H0:生產能手與工人所在的年齡組無關.χ2=100×(15×25?15×45)根據小概率值α=0.1的獨立性檢驗,沒有證據推斷H0不成立,因此可以認為H0成立,即認為生產能手與工人所在的年齡組無關.練習鞏固：1.為了調查學生對網絡課程的喜愛程度,研究人員隨機調查了相同人數的男、女學生,發現有80%的男生喜歡網絡課程,有40%的女生不喜歡網絡課程.若依據小概率值α=0.01的獨立性檢驗,可以推斷喜歡網絡課程與性別有關;依據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,可以推斷喜歡網絡課程與性別無關,則被調查的男、女學生的總人數可能為()附:χ2=n(ad-α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828A.130 B.190 C.240 D.250答案:B解析:設調查的男、女學生的人數均為5x,根據題意,得到2×2列聯表為性別網絡課程合計喜歡不喜歡男4xx5x女3x2x5x合計7x3x10x則χ2=10x·(8x2-3x即139.335≤10x<227.388.只有選項B符合題意.2.對196名接受心臟搭橋手術的病人和196名接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究,調查他們是否又發作過心臟病,得到2×2列聯表如表所示.手術心臟病合計又發作過心臟病未發作過心臟病心臟搭橋手術39157196血管清障手術29167196合計68324392依據小概率值α=0.1的獨立性檢驗,推斷這兩種手術對病人又發作心臟病的影響.(填“有差別”或“沒有差別”)

答案:沒有差別解析:零假設為H0:這兩種手術對病人又發作心臟病的影響沒有差別.根據2×2列聯表中的數據,計算得到χ2=392×(39×167?29×157)根據小概率值α=0.1的獨立性檢驗,沒有充分證據推斷H0不成立,因此認為H0成立,即這兩種手術對病人又發作心臟病的影響沒有差別.3某校團委對“學生性別和喜歡微電影是否有關”作了一次調查,其中女生人數是男生人數的,男生喜歡微電影的人數占男生人數的,女生喜歡微電影的人數占女生人數的若依據小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷學生性別和喜歡微電影有關,則男生至少有人.

附:α0.050.010.001xα3.8416.63510.828答案:18解析:設男生人數為x,則由題意可得2×2列聯表為性別微電影合計喜歡不喜歡男x5xx女2xxx合計7x17x4x零假設為H0:學生性別和喜歡微電影無關.根據2×2列聯表中的數據,計算得到χ2=4