2.3等差數列的前n項和有一次，老師和高斯經過建筑工地，建筑工地上放著一堆圓木，從上到下每層的數目分別為1，2，3，……，100.老師問：高斯，你知道共有多少根圓木嗎？問題就是：計算1＋2＋3＋…＋99＋100=？創設情景上頁下頁高斯的算法計算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之處在于他發現這100個數可以分為50組：第一個數與最后一個數一組；第二個數與倒數第二個數一組；第三個數與倒數第三個數一組，……每組數的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉化為乘法運算，迅速準確得到了結果.首尾配對相加法中間的一組數是什么呢？下頁上頁n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1分析：這其實是求一個具體的等差數列前n項和.①②啟發倒序相加法上頁下頁探究高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到一般等差數列的前n項和嗎？上頁下頁合作探究已知等差數列｛an｝的首項為a1，項數是n，第n項為an，求前n項和Sn.如何才能將等式的右邊化簡？①②思考：還有別的推導方法嗎？上頁下頁已知等差數列｛an｝的首項為a1，項數是n，第n項為an，求前n項和Sn.＋＋＋…＋①②上頁下頁另解①+②得倒序相加法公式變形思考：比較這兩個公式，如何記憶？從哪些角度反映等差數列性質？上頁下頁等差數列的前n項和的公式：含a1和d求和公式含a1和an公式記憶上頁公式應用公式記憶對比：我們可結合梯形的面積公式來記憶等差數列前n項和公式.na1anna1a1(n-1)d將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形.下頁返回公式應用練一練上頁下頁例題講解

例1、2000年11月14日教育部下發了《關于在中小學實施“校校通”工程的通知》，某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網。據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元。為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么，從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？分析：①找關鍵句；②求什么，如何求？上頁下頁解：依題意得，該市在“校校通”工程的經費每年比上一年增加50萬元，所以每年投入的資金構成等差數列{an}，且a1=500,d=50,n=10.那么，到2010年（n=10),投入的資金總額為答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.上頁下頁例題點評解決實際問題的步驟：（1）仔細閱讀題目，審清題意；（2）提取相關數學信息，建立數學模型（本題為等差數列模型）；（3）解決此數學模型所體現的數學問題（本題是根據首項和公差選擇前n項和公式進行求解）；（4）還原問題（回到實際問題中作答）。易錯方面：（1）審題不清（如：把前n項和與最后一項混淆）（2）項數……（3）忘記答或寫單位上頁下頁例題講解例2、已知一個等差數列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？分析：方程思想和前n項和公式相結合解：由題意知：S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式得到還有其它方法嗎？方程思想上頁下頁一題多解例2、已知一個等差數列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？上頁下頁一題變式例2變式、已知一個等差數列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前30項和的公式嗎？【另解】由等差數列的性質，可推得：

成等差數列

解得：前30項的和為2730.整體思想點評：

上述方法沒有列出方程求出具體的個別量，而是恰當地運用數學中的整體思想來快速求出，要注意體會這種思想在數學中的運用.上頁下頁變式提高整體思想上頁下頁知識小結1．等差數列前n項和的公式；2．等差數列前n項和公式的推導方法——

3.公式的應用；上頁下頁（兩個）倒序相加法(知三求一)例題講解當n>1時：①

當n=1時：

也滿足①式.上頁下頁變式訓練當n>1時：

①

當n=1時：

不滿足①式.點評：分類討論思想上頁下頁【深化探究】●

如果一個數列的前n項和為其中p、q、r為常數，且p≠0，那么這個數列一定是等差數列嗎？如果是，它的首項和公差是什么？（1）若r≠0，則這個數列一定不是等差數列.（2）若r＝0，則這個數列一定是等差數列.結論：數列是等差數列等價于常數項為0的關于n的二次型函數上頁下頁例題講解【解析】由題意知，等差數列的公差為

于是，當n取與最接近的整數即7或8時，取最大值.函數思想還有其它方法嗎？上頁下頁例題講解從等差數列的通項公式出發來分析上頁下頁【本節小結】1.等差數列的前n項和公式3.推導等差數列前n項和公式方法：倒序相加法4.本節基本思想：方程思想函數思想分類討論思想整體思想上頁下頁作業1.課本P52頁練習22.課本P52頁習題2.3A組23.做好下面方面：熟記公式體會本節數學思想方法首頁下頁內容總結2.3等差數列的前n項和。層的數目分別為1，2，3，。，100.老師問：。計算1＋2＋3＋。下頁。第一個數與最后一個數一組。第二個數與倒數第二個數一組。第三個數與倒數第三個數一組，。每組數的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了。另解。公式變形。等差數列的前n項和的公式：。求和公式。對比：我們可結合梯形的面積公式來記憶等差數列前n項和公式.。將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形.。公式應用。例題講解。例1、2000年11月14日教育部下發了《關于在中小學實施“校校通”工程的通知》，某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網。為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增