第一講極限與連續

一、重要的概念

1.極限定義

(1)數列極限定義一(￡—N)lima,,-A：若對任意的￡>0,總存在N20,當〃〉N時，有Al<￡成立,

〃一>00

稱A為數列｛a｝的極限，記lima“=A。

nH->Q0

(2)自變量趨于無窮時函數極限的定義一(￡一S)lim/(x)=4：若對任意的￡>0,總存在3>0,當0<lx—al<S

xia

時，有l/(x)—Al<￡成立，稱A為函數/(x)當x->a時的極限，記lim/(x)=A。

xTa

(3)自變量趨于有限值時函數極限的定義一(￡—X)lim/(x)=A：若對任意的￡>0,總存在X>0,當lxl>X

XT8

時，有l/(x)—Al<￡成立，稱A為函數/(x)當x->8時的極限，記lim/(x)=A。

xfoo

(4)左右極限的定義一/(a—0)：若對任意的￡>0,總存在3>0,當0<a—x<3時，有I/(x)—A1<￡成立，

稱A為函數f(x)在x=a處的左極限，記lim"x)=A=/(a—0)。

XTQ一

f(a+O)：若對任意的￡>0，總存在b>0,當寸，有I/(x)-41<￡成立，稱A為函數/(x)在工=a

處的右極限,記lim/(x)=4=/(a+0)。

XT4+

注解：lim/(x)存在=/(a—0),/(a+0)都存在且相等。

2.無窮小

(1)無窮小的定義一以零為極限的函數稱為無窮小。

(2)無窮小的層次關系及等價無窮小的定義

設af0,￡f0,若lim2=0,稱△是a的高階無窮小，記為〃=o(a)；若lim2=k(/0,oo),稱￡與a為同

aa

階無窮小，記為夕=0(a),特別地，若lim2=l,稱與a為等價無窮小，記為0~a。

a

(3)無窮小的性質

1)有限個無窮小之和還是無窮小；

2)無窮小與有界函數之積還是無窮小；

3)無窮小與常數之積還是無窮小；

4)有限個無窮小之積還是無窮小；

5)lim/(x)=A的充分必要條件是/(尤)=A+。，其中af0；

6)j3-ao/3-a=o(a)；

7)a~a',0?，，且lim邑存在，則lim2也存在且lim2=lim夕。

a'aaa

(4)xfO時常用的等價無窮小

1)x~sinx?tanx~arcsinx~arctanx?ln(l+%)?/-1；

2)ax-1-x\na

八廠a

3)i1—cosx---,1i—cosax~—x2；

22

4)(l+x)u-1~ax.

3.連續

(1)若lim/(x)=/(a),稱/(x)在點x=a處連續；

x—>a

(2)若/(x)在區間(a,6)內點點連續，且f(a)=f(a+0),/S)=f(b-O),稱f(x)在區間[a,切上連續,記為

/(x)eC[a,b]。

4.間斷點的分類

設f(x)在x=a處間斷，則

(1)若/(a—0)J(a+0)都存在，則稱x=a為函數/(x)的第一類間斷點，更進一步，

1)若/(a—0)=/(a+0),稱x=a為/(x)的可去間斷點；

2)若/(a—0)H/(a+0),稱x=a為/(x)的跳躍間斷點。

(2)若/(a-0),/(a+0)至少有一個不存在，稱x=a為函數/(x)的第二類間斷點。

二、重要定理

(-)極限定理

1.極限存在必唯一性定理一極限存在必唯一(需掌握證明)。

2.數列極限的有界性定理一若lim%=A,則存在M〉0,對一切的〃，有(需掌握證明)。

AT8

3.夾逼定理一設/(x)<g(x)4〃(x),且lim/(x)=lim/z(x)=A,則limg(x)=A(對數列有同樣的定理)。(需掌

握證明)。

(-)閉區間上連續函數的性質

1.最值定理一設f(x)€C[aQ],則f(x)在區間設，句上取到最大和最小值。

2.有界定理一設f(x)eC[a力],則存在K>0,使得l/(x)KK,無e[a,b]。

3.零點定理一設/(x)eC[a,句，且f(a)f(b)<0,則存在使得/4)=()。

4.介值定理

(1)設/(x)eC[a,b],對任意〃w(其中為/(x)在[a,句上的最小值和最大值),存在使

得/?=77。

(2)設句,且/(a)H/(b)(不妨設/(a)</("))，對任意〃e"(a),/(b)]，存在句，使得

三、重要極限

「「八、一

sinx1x

1.lim----=1；2.lim(l+x)=eo

x->0xx->0

四、常用的馬克勞林公式

I?x"

(1)=1+x+—+-?-+—+。(尤”)。

2n\

(2)sinx=x--+-?■+(-1)"x2,,+1+o(x2n+')?

3!(2n+l)!

(3)cosx=]_L+…+(Lx?"+o[x2n)。

2!(2n)!

1

(4)=1+x+廠0+?,,+x”+)o

1-X

1

(5)——=1—x+%20+…+(—l)"x"+o(x")。

1+x

x2(-l)'I

(6)ln(l+x)=x----F,—l-------x"+o(x”)o

2n

八、“，-1)2a(a—1)…(a—〃+1)?,八

(7)(1+x)"=1+ax+-----x2+----------------x+o(x")。

2!〃！

五、常見題型

(-)求極限

注解：求極限的方法

方法一：重要極限

方法二：極限存在準則

方法三：等價無窮小

方法四：馬克勞林公式

方法五：羅必達法則

方法六：中值定理

方法七：定積分

]

1.lim(--—廣…。

arctanx

]arctanxx-arcianx

解答.Hm(』)xTn(l+x)_4-X__Ctan))-arc-Xjlx-ln(l+A-)]arctanx

arctanxarctanx

-r-arctanx

lim-----------------------------

xT()[.t-ln(l+.t)1arctanx

2

.i八x?「x-arctanxx-arctanx

Mx-ln(l+xx)----，所以=hm-------------------=21im-----------

21。[x-ln(l+x)]arctanx*一。r

=21im—==于是lim(---嚴…=>。

XTO3X23101+/3arctanx

(i+-r

2.lim[——'o

Xf+8p

3.設/(x)二階連續可導，//(0)=4,lim/S=0,求lim[l+ZG)F。

.￥->0%XTO%

rl

4.設/(x)在x=0的鄰域內可導，且/'(0)=4,求lim"x)7m"d

5.設為=1當〃21時,

1I1+X1

解答:令/(-)二因為八X)-I____x________>0(x>0),所以｛%｝單調。

2Vx(1+x)2

又因為為=1,04a,川41,所以數列｛%｝有界，從而數列｛%｝收斂，令lim%=A,則有AAl士

〃一＞1+A2

6.lim---------------

1Inx?sin依

X_rAxx-1-1(x-l)lnx_i(x-l)ln[l+(x-l)]1

解答：lim---------------=-limx-lim-lim

—IInx?sin向ln[l+(x-1)]sinTZX.r->l(x-l)sin?(x-l)7TI1U-1)271

1e'+2

7.！吧一1］。

ex

ln(l+—3)_1

/+23-1

解答：r3

lim—)-l]=limlim2=lim

3x->0x2XTOXXTOx3

8.lim,---------/

71+sinx-Jl+tanx

("Tan*])M+sEx+714-tanx)

解答：limlim產

x->0V1+sinx-V1+tanxXTOsinx-tanx

2limU=21imx-tanxx-tanxx3

2lim

sinx-tanx…sinx-tanxx->0x3sinx-tanx

x-tanx1-sec2x1

因為limlim

x->0x3SO3x23

x3Xx2lanx1

limlim-cosx=--,所以lim

20sinx-tanx…sinxcosx-12V1+sinx-71+tanx3

,,,1cos2X

TEE)o

X2

1x

10.lim[]°

XTOx

ln(l+x)e~-1

A”心1x、e*—1—xln(l+x)6?'—1—xln(l+x)

解答：hm[r----------；-]=hm——；--------------=lim---------------,

x3

ioln(l+x)e~-1io(/_i)]n(l+x)x

42

2jrr

由e「=1+/+一+。(/)及]n(l+x)=x——+o(x2),得

2!2

e*-1=x~H--■I*o(x4),xln(l+x)=x~----+o(x')，

22

從而ex-l-xln(l+x)=—+o(x3),于是lim[--?-----------J=—。

2-olnQ+x)/-12

11.lim/+]=T---1-

+4+167n2+4n2

12.lim[(l+-)(1+-)??-(!+-)]"o

msnnn

u/,,kzrai.2x+nx~+2—n

13.求t>常數使得hm--------------=5。(m--2,/z=8)

I1x+(m+2)x-1

?A

14.設f(X)=lim(如口sig》,求/(X)的間斷點并指出其類型。

fsinx

./x.sinxxx

QintQint-SinX----------

解答：首先/(X)=lim(N")sin，finx=Hm[(1+)sin,-sin.t]sinx=^sinx

fsinxfsinx

其次/(x)的間斷點為x==0,±l,…)，因為lim/(x)=e，所以x=0為函數/(x)的第一類間斷點中的可去問

斷點，x=*7(A=±l,…)為函數的第二類間斷點。

15.設/(X)在[a,瓦|上連續,任取者且兄/?](i=),任取匕＞0(i=l,2,--,n),證明:存在句,

使得klf(xi)+k2f(x2)+-+knf(xn)=(kl+k2+-+kn)f^)。

第二講一元函數微分學

一、重要的概念

1.導數一設y=/(x)的定義域為。，xoeD,記Ay=/(/+&0-/(而)，若lim包存在，稱y=/(x)在點與處

Ax

可導，其極限稱為函數y=/(x)在點X。處的導數，記為尸(后)或包。

dx…

2.左、右導數一若lim/(Xo+—)-/(/)存在,稱＞=/(x)在無°處右可導，記為人(/)；

Ax-＞+0A%

若lim/(&+八*)二)(如)存在,稱＞=/(X)在與處左可導，記為/'(%),函數y=/(x)在與處可導的充分必要

Ax-＞-0AX

條件是其左右導數都存在且相等。

注解：導數的其他定義

(1)r(x(,)=lim'"x。+")―/5)；

°?TOM

(2)")=lim+；

/?—>0h

(3);(x0)=lim/(x)_，(x。)。

XT%X-Xo

2.可微一設y=/(x)在/的鄰域內有定義，若△)，=46+。(At),稱y=/(x)在X。處可微，其中AAc稱為函數

y-/(x)在x0處的微分，記為dyIV=J(=AAr,習慣上記為dyIt=A=Adx?

二、重要的定理

1.若函數可導，則函數一定連續。

2.可導與可微等價。

3.四個中值定理

(1)羅爾中值定理一

(2)拉格郎H中值定理

(3)柯西中值定理

(4)泰勒中值定理

三、重要公式

(一)基本求導公式

(二)四則求導法則

(三)復合函數鏈式求導法則

四、?元函數微分學的應用

(一)單調性與極值

(二)最值

(三)凹凸性

(四)弧微分、曲率與曲率圓

1.弧微分

(1)(1)若L:y=/(x),則ds--Jl+f'[x}dx；

⑵若L:7一次),貝I」ds=J"⑴+*⑴dt；

y='

(3)若L7=，則ds=ylr\0)+r'2(0)d0。

IvwI1

2.曲線的的曲率K=)二；3.曲線的曲率半徑為/?=」?；

(1+為5K

4.曲率圓

(1)定義一設函數/(x)在Xo處有二階導數，且1r(X。)力0,記尸(與，打)為曲線y=/(x)上對應于X。的點，若圓L

在點尸(公,打)滿足：與曲線y=/(x)相切；與曲線y=/(x)有相同的凹凸方向；與曲線y=/(x)在點尸(飛,打)處

有相同的曲率半徑，稱圓L為曲線y=/(x)在點尸(Xo，y。)處的曲率圓。

(2)曲率圓的中心

曲率圓中心(a,Z?)必在曲線>=/(x)在尸(x0,為)處的法線上，所以有。一/=一/'(%)(6—>0)。

，22，2

▽r、2r(l+/(x0)2/'(Xo)U+/'2(Xo)]l+/Up)

又[-/(X。3-")]+(b->0)=[\、1]'則。=X。--------—，b=y°

"(Xo)l/(%)/"Go)

例子

If^2x.4

1.求曲線y=2--f招T力在點(0,2)處的曲率圓。

2J)

解答：<=一祀5’,(=(16--1%5'，則y(o)=o,y〃(o)=-i。

3

曲線y=2-；^'te^dt在點(0,2)的曲率半徑為R="；；；；；」=1,

cy'(0)U+y'2(0)],小、l+y'2(0),

曲率中心為a=0—J_J=0n,b=y(0)+—7=1,

y”(0)了⑼

所求的曲率圓為/+(y—1)2=1。

x=r-sinr

2.求曲線《上對應于參數/=%的點P處的曲率圓。

y=1-cosf

解答：，=萬對應的點為P（肛2）。

空=Sim也=_____J_,則甥=0,也1_」

dx1-cos?dx2(1-cos?)2dx'-"dx24

3

（1+v'-y

曲線在點pg,2）處的曲率半徑為R='y一I,54,

v'Cl+y")l+v'2

曲率中心為a=7T-工'”?l,_.=71,b=2+Y-L“=-2，

yy

所求的曲率圓為(x—%)2+(>+2)2=16。

(五)漸近線

五、常見的題型

,ac-j.B+].f~(a+3h)—f~(a—2h)

1.設/(%)在x=Q處可導，求lim-------------------o

A->0h

2.設/(x)連續，且對任意的有/(x+y)=/(x)+/(y)+2盯,/(0)=1,求/(x)。

dy

3.y=esinx,求

J(sin2x)

4.設/(x)二階可導，且Iim/^=1J"(O)=2,求。

x->0xx->0%，

pX—]+Z7YX<0

5.設/(x)=1',若f(x)在x=0處可導，求。(a=0,/?=1)

+Z?x,X>0

>=/（爭4）,廣。）=儂1+/）,求知日

6.

2x+1dx

x=a\ntan-"(^=-cos2rsinr)

7.2,求

dx~dx~a

y=asint

ln(l+x)

------X￥()

8.設/(x)=*'，求/'(x)并討論/。)在x=0處的連續性。

[l,x=O

9.設/(x)連續，9(x)=f/(")力，且lim/?=A,求“(x),并討論"(x)在x=0處的連續性。

J)x->0X

10.F(x)=fdy「言,求尸(x)。

11.設/(x)連續，且g(x)=f//(x-f)力，求g'(x)。

12.設e'>'-x+y—2=0確定函數y=/(x),求/"(0)。

13.設戶'=Jx?+J,求生。

dx

14.X=夕。)是丁=/(幻的反函數，/(無)可導,且尸(x)=e*+x+i,/(0)=3,求夕'(3)。

15.選擇題

(1)設/0())=/"(而)=0,/"'(/)>0,則下列正確的是()

(A);(/)是f'M的極大值；(8)/(x0)是/(x)的極大值;

?/(%)是/(x)的極小值；(。)(與"(%))是〉=/(口的拐點。

(2)設/(x)在x=0處二階可導，且+=2,/(0)=0,則()

?10X

(A)/(0)是/*)的極大值.(B)/(0)是/(x)的極小值.

(C)(0,/(0))是曲線y=/(x)的拐點.(D)/(0)不是/(x)的極值點，(0,/(0))也不是曲線y=/(x)的拐點.

(3)設/(x)二階連續可導，且lim/0=—l,則()

XT0X

(A)/(0)是/(x)的極小值；(B)/(0)是/(x)的極大值；

(C)(0J(0))是曲線y=/(x)的拐點；(。)》=0是/。)的駐點但不是極值點。

16.設/(X)在［a,加上連續,f(a)=f(b),又H(a)￡(b)>0,證明：存在族e(a,b),使得/?)=/(a)。

解答：因為4(a)￡S)〉0,所以《(a),￡(。)同號，不妨假設H(a)〉0,￡S)>0,

由/：(a)〉0,存在花1(4,6),使得/(項)>/(a);

由『二(b)>0,存在々eS,。)，使得/(x〉</(b),令夕(x)=/(x)-/(a),

因為e(X1)=f(xt)-f(a)>0,(p(x2)=f(x2)~f(a)=f(x2)-/(b)<0,

所以有零點定理，存在J介于X1與了2之間(Je(a,b)),使得e(。)=0,即/C)=/(a)。

17.設函數/(x)在區間［0,3］上連續，在(0,3)內可導，且/(0)+/(1)+/(2)=3,/(3)=1,證明：存在Je(0,3),

使得廣修)=0。

18.設">0,證明：存在欠(。/)，使得//(0)—b2/(a)="(a—研|/4)—(&)］。

19.設/(x)在［0,1］上連續,在(0,1)內可導，K/(0)=l,/(l)=0,證明:存在Je(0,l),使得

2/?+仔鉆)=0。

20.設/(X)在［a,句上連續,在他力)內可導，且/(a)/3)>0J(a)/(審)<0。證明：存在Je(a力)，使得

21.設/(x)在［a,加上連續,在他力)內可導，f(a)=f(b)=l,證明:存在J,伍力)，使得

/(〃)-/'(〃)=e"3。

22.設/(x)在［0,1］上連續，(0］)內二階可導,且lim當Ul,limgU2,證明：

.D，X*TrX-1

(1)存在Je(0,l),使得/G)=0；(2)存在使得

23.設尸且/(—1)=0,/⑴="'(0)=0。證明:存在&€(一口),使得尸?=3。

24.,質點從時間f=0開始直線運動，移動了單位距離使用了單位時間，且初速度和末速度都為零。證明：在運動過

程中存在某個時刻點，其加速度絕對值不小于4。

25.設/(x)在［-a,a］(a>0)上有四階連續的導數，且lim/年存在。

XTO

(1)寫出/(X)的帶拉格朗日余項的馬克勞林公式；

?7(4)(^)=60f/(x)Jx

(2)證明：存在可看2e［-a,a］,使得

。4廠)?)=120/6)

26.設/(x)在[a,b]上滿足l/〃(x)K2,且/(x)在(a/)內取到最小值，證明："'⑷l+"'S)K2(b—a)。

27.f"(x)eC[O,1],/(O)=/(I)=0,minf(x)=-1,證明：存在Je(O,l),使得了"?)28。

0<x^l

28.設/(x)在[0,1]上二階可導，""(x)Kl(xe[0,1]),/(O)=/⑴，證明對對任意的xe[0,1],有

29.設/(x)在[0,1]上二階可導,且l/(x)Ka,l/"(x)Kb,其中a力都是非負常數，c為(0,1)內任意一點。

(1)寫出/(x)在犬=c處帶Lagrange型余項的一階泰勒公式;

b

(2)證明：l/Xc)\<2a+~.(1996年真題)

30.設函數/（X）在。，加上二階可導,且/⑷=43）=0。證明：存在Je①力），使得

4

（b-aY

解答：由泰勒公式，得/（丁一）=/（"）+—^-（——一。）2,卷€3-丁）,

22!2；2

/（等）=/3）+/答（（―6）242s（甘力），兩式相減，得

f（b）-/（?）="也""（幻-f"&）］="s）-/（?）K匕*【I1m）?+""&）|］當）兇尸6）?

OO

4

時,3,則有⑸7("

4

當小）時，取一，則有

31.設/(x)在[0,1]上二階可導，/(0)=/(l)jaif\x)1<2,證明：對任意的xe[0,l],有l/'(x)Kl。

32.設/(x)二階可導，/(0)=0,且1r(x)>0,證明：對任意的。〉0力〉0,有f(a+()>/(a)+fS).

33.設/(x)二階可導，lim』?=1且/"(x)〉0,證明：當XKO時，/(x)>x,

x->0X

、口,八、十…1。2(h-a)

34.設。>。>0,證明：In—>-------

aa+b0

證明：ln->2Q)-a)。(In/?-Ina)(a+b)—23—a)〉0。

aa+b

令/(x)=(Inx-lnd)(a+x)-2(x-a),f(a)=0。

f\x)=1+—+lnx-lntz-2=--1+lnx-lna/Q)=0,

xx

上”/、1a(x-a)八“、、

fU)=------=——；—>O(b>x>a)

XXrXt

由甘)=。

=>f'(x)>0(x>a)

f(x)>0(x>a)

"3)=0

再由=>/(x)>0(x>a),而b>a>0,所以73)〉0,

/(x)〉O(x〉a)

即(lnZ?-lna)(a+b)-2(b-a)>0,從而ln->迎二色。

aa+h

2a\nh-\na1

35.設0<Q<b,證明:—?-----<--------------<―(

a"+b~b—ay]cib

\nb-\na1

證明：首先證明

b-a

xa

mmlnO-lna1Z17,xb-a八二匚e人/、11-

因為---------<-.(Inh—Ind)—；<0,所以令夕(x)=Inx—InCL—；,

b-aNab」aby/xa

0(a)=0‘(p'(x)='一；(~^=+&)=_(五一￡<O(x>a),

xy/a2vx2x\x2x\ax

(p((i)—0In/?—In4Z1

由＜=°(x)<O(x>a),而b>。，所以eS)<0,即---------<-；=o

［“(x)<0(x>a)b-a瓢

2a\nb-\na

再證

a2+b2b-a

方法一：因為-JJ-<In"Tn@0(二+a2乂皿、—Ea)—2a(b—a)>0,所以

a~+/?-b-a

令fM=(x2+?2)(lnx-lna)-2a(x-a\f(a)=0,

f\x)=2x(\nx-\na)+x+-——2a=2x(lnx-lnrz)+——的->0(x>a)。

xx

,/(。)=°下,、z、rad7uut、ir/i\/./\2aIn/?—In6?

由｛n/(x)>0(x>a),因為〃>a,所以/3)>/(a)=0M，即Hn一^~~-y<-----。

f(x)>0(x>a)a~+b~b-a

方法二：令/(x)=lnx,則存在ge(a,b),使得獨二小=!，其中0<a<J<b,則4>［>/所以

b-a4gba~+/?

2。\nb-lna

a2+〃<b-a°

1)

36.證明不等式xarctanxN—ln(l+x~)。

2

37.設f(x)在［0,+s)內可導且f(0)=l/a)</a)(x〉0),證明：/(x)<ex(x>0)o

證明:令0(勸=6一了(%),則0(x)在［0,+8)內可導,

又夕(0)=1,(p\x)=e-x［f\x)-/(x)］<0(x>0),所以當x>0時，(p(x)<^(0)=1,所以有/(%)</(x>0)。

xyx+y

38.證明：對任意的x,yeR,且xWy,有§；62。

39.設/(x)在［a,+8)上可導，當了>。時-，f'(x)>k>0,/(a)<0。證明：方程/(x)=0在(a,a—/皎))內有

k

且僅有一個實根。

40.設￡,(冗)=1+/+,??+/'(及=2,3,???)。證明：

(1)方程，(x)=l在［0,+8)上有唯一的實根；(2)求lim/。

n—>cc

41.設/(x)在［0,1］上二階可導，且/(0)=r(0)=_/\1)=/'(1)=0,證明：方程/"&)一/。)=0在(0,1)內有根。

證明：令9(x)=er"(x)+/'(x)］。

42.設人為常數，方程依一工+1=0在(0,+oo)內恰有一根，求k的取值范圍。

X

解：令/(X)=h-'+l，/(x)=攵+!，X￡(0,+8)。

XX

(1)若左>0,由lim/(%)=-8,lim/(%)=+8,又/(%)=女+3〉0,所以原方程在(0,+8)恰有一個實根；

Xf0+

(2)若左=0,lim/(x)=-oo,limf(x)=1>0,又/'。)=二>0,所以原方程也恰有一個實根；

A->0+Xf+X

(3)若Z<0,lim/(x)=-co,lim/(x)=-oo,令尸(x)=攵+4=0=/=」—,

XT0+2內xyl-k

又/〃")=—W<0,所以/"o)=l—20為/(x)的最大值，令1—2匚%=0,得人=一!，所以上的取值范圍

x4

是伙1%=—/或k>0｝。

43.證明方程Inx=土—/J1—cos2xdx在(0,+oo)內有且僅有兩個不同的實根。

第三講一元函數積分學

一、重要的概念

1.原函數一設尸(X)與〃龍)為兩個函數,若尸(x)=/(x),則稱/(X)為/(X)的一個原函數。

注解：(1)連續函數一定存在原函數；

(2)有第一類間斷的函數一定不存在原函數，有第二類間斷點的函數可能存在原函數；

(3)任意兩個原函數之間相差常數。

2.不定積分一設/(x)存在原函數，則其所有的原函數稱為/(x)的不定積分，記為J/(x)dx,即J/(xMx=F(x)+Co

注解：(1)—if{x}dx-f{x)；(2)f—/(x)Jx=f(x)+Co

dxJJdx

3.定積分

二、重要的定理

1.積分基本定理的引理

設/(x)wC[a,b],令①(x)=f/(f)力，貝ij①'(x)=/(x)；

2.積分基本定理

設/(x)eC[a,。],且尸(x)為/(x)的一個原函數，貝ij[/(x)dx=F(b)—E(a)。

三、重要的積分性質

(―)定積分基本性質

L^[f(x)±g(x)]dx=^f(x)dx±fg(x)dx；

2.[kf{x}dx=女jf{x}dx[k=constant)；

3.f/(x)dx=[/(x)dx+f/(x)dx；

4.jdx=/?-〃；

5.設/(工)20(。工1<份，貝ijj/(x)dx20；

推論1若/(%)>g(x)(。<x<h),則[f(x)dx>[g(x)dx；

推論2若b>a,貝<11/(x)Idx；

6.設/(x)在[a,加上可積，S.m<f(x)<M,則znS—a)4f/(x)dx4M(b-a)；

7.設/(x)GC[a,W，則存在使得f/(x)dx=/⑹3―a)；

8.(1)設“x)wC[a,b],/0)20且，/(%)公=0,則/(x)三O(xw[a,回)；

(2)若/(x)eC[a,b],/(x"0且/(x)不恒為零，則f/(x)dx>0；

(3)若/(x)€CT“向，/(x)Ng(x),且〃x)與g(x)不恒等，則f/(x)dx>fg(x)dx；

9.設/(x),g(x)eC[a向，貝ij(f/(x)g(x)dx)<f(x)dxg(x)dxo

(二)定積分的特殊性質

兀n

1.設/(x)為連續函數，則E/(sinx)dx=f/(cosx)dx,特別地，

an￡〃n—171

rsinAZ/X=rcosxdx-In,且/〃=----/〃_2，A)=—=1；

J)J)〃-2

2.￡sinxdx=2Psinxdx=21n；

3.「0；岫=?2?晨處,〃為偶數,;

'|o,〃為奇數；

n

4.1^/(sinx)dx=T1/(sinx)dx=萬//(sinx)Jx；

5.設/(x)是以T為周期的連續函數，則對任意的實數a有

(1)『f(x)dx=〃/f(x)dx；(2)^'Tf(x)dx=￡f(x)dx-.

6.設/(x)wC[—a,a],則

(1)]；/(x)dx=["(x)+ft-x^dx；

(2)若/(-X)=/(x),則[J(x)dx=21/(x)dx；

(3)若/(—x)=——(x),則『/(x)Jx=0o

J-a

四、積分法

1.換元積分法；

2.分部積分法：|wi/v=MV-JV</H,udv=uvI*-Jvdu。

五、定積分的應用

1.平面區域的面積

(1)設。={(x,y)la4x?b,夕](x)4y4夕2(苫)}，則A=，[92(X)-9I(X)WX；

(2)設。={(仇廣)1a04￡,0"〈夕(。)},則a=g/pie)de；

(3)D={(0,r)\a<0</3,p^<r<p2(0)},則S=g/[必腦)一月0)口。；

(4)曲線L:y=/(x)>0(xe[a,b]),則L繞x軸一周所得旋轉曲面的表面積為A=24f"x)Jl+:3公；

2.旋轉體的體積

L：y=/(x)(a<x<b)分別繞x軸和>■軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為匕=萬//￡妙，

Vy=2萬jxI/(x)Idx(O<a<b)；

3.截口面積已知的幾何體的體積

設幾何體。位于x=a與尤=8之間(a〈與，對任意的xw[a,W，其截口面積為A(x),則該兒何體的體積為

V=[A(x)dx。

4.曲線段的長度

(1)設L:y=/(x)(tzWb),則ds=J1+f'(x)dx,/=jds=J1+f\x)dx\；

(2)設L:[x='")(a4f?￡),則ds=J"if)+“jf)力,/=fds=4%)+"%)力;

y=帕)上

(3)設L:r=廠(夕)(二W6</?),則ds=Jr(/)+r〈，)d，,I-r(0)+r'[0}dOo

六、常見題型

1.計算下列不定積分

/、「5-x,rdx

(1)ft=dx；(2)-----]-----；

J/+x+1(2-X)71-X

,,、rsinx+cos2x,

(3)[--------------dx；(4)-----------dx；

，.2XJ1+sinx

l+cosx+sin-

2

r1“、r1+sinx,

(5)____2____HY(6)\ev---――dx；

Jsin2xcosxJ1+COSX

rarctanx,

(7)irCUC,(8)jx2arctanxdxo

Jx2(l+x2)

2.設函數/(%)連續，下列變上限積分函數中，必為偶函數的是()

⑷/廿。)-/(-6力;⑻「"0)+/(7)]力;

(C)//(『)力；(D)「尸⑴力。

乃?3?27

,、、t狂”,sinxsin尤、,gzsinx

3.(1)計算日—r+-—-)dx；(2)-：------)dx；

%1+x1+e1+cosx

(3)卜4-Jl-x2dx；

-COdx

(5)

(X-1)4A/X2-2X

4.設y'=arctan(x-l)2,y(0)=0,求，y(x)dx。

i

5.設/(x)在［0,1］上可微，且/⑴=2￡8”/。)公。證明：存在<€((),1),使得

/0=2仔C)。

6.設/(x),g(x)eC[a,。],證明：存在。e(a,6),使得了《)[g(x)dx=g《)f/*心。

7.設/(x)是以T(T>0)為周期的連續函數，且/(x)N0,證明：\im-f

%—>+oox山T?b

8.設/(x)在上連續且單調增加，證明：巴/j/(x)dx。

9.設/(x)在[0,2]上連續，在(0,2)內可導，/(0)=/⑵=0,且|/'(x)K2,證明：If/(x)dxK2。

10.設/'(x)eC[a力],/(a)=0,證明：[f[x)dx<(/?-Q)￡f'(x)dx?

11.設/(x)eC[a,切,/'(x)在口,功上可積，/(a)=/(/?)=0,證明："(x)Kg，/'(x)Mx。

12.設廣(x)eC[0,a]J(0)=0,證明：|『/(x)dx4竺/,其中M