PAGE三湘名校教育聯盟·2023屆高三第二次大聯考理科數學一、選擇題：本大題共12個小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1.已經集合，，那么A.B.C.D.【答案】C2.復數的共軛復數為A.B.C.D.【答案】C3.以下有關命題的說法正確的選項是A.假設為假命題，那么均為假命題B.是的必要不充分條件C.命題假設那么的逆否命題為真命題D.命題使得的否認是：均有【答案】C4.等差數列的前項和為，，，那么數列的前2023項和為A.B.C.D.【答案】A5.將甲、乙、丙、丁四位老師分配到三個班級，每個班級至少一位老師，那么共有分配方案A.81種B.256種C.24種D.36種【答案】D6.2023年9月24日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主、英國著名數學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜測，這一事件引起了數學界的震動.在1859年，德國數學家黎曼向科學院提交了題目為?論小于某值的素數個數?的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜測.在此之前，著名數學家歐拉也曾研究過這個問題，并得到小于數字的素數個數大約可以表示為的結論.假設根據歐拉得出的結論，估計10000以內的素數的個數為〔素數即質數，，計算結果取整數〕A.1089B.1086C.434D.145【答案】B7.滿足，且，那么的最小值為〔〕A.B.C.D.10【答案】C8.某幾何體的三視圖如下圖，其中，正視圖中的曲線為圓弧，那么該幾何體的體積為A.B.64－4πC.64－6πD.64－8π【答案】B9.直線，，點P為拋物線上的任一點，那么P到直線l1，l2的距離之和的最小值為A.2B.C.1D.【答案】B10.，滿足約束條件，假設的取值集合為，且，那么實數的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D11.函數，假設方程恰有兩個不同的實數根，那么的最大值是A.-1B.C.D.【答案】B12.函數，，對任意的恒有，且在區間上有且只有一個使得，那么的最大值為A.B.8C.D.【答案】C二、填空題〔每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上〕13.傾斜角為的直線的斜率等于雙曲線的離心率，那么__________．【答案】14.在區間內任取一個實數，在區間內任取一個實數，那么點位于曲線的圖像上方的概率為__________．【答案】15.如圖，在同一平面內，點位于兩平行直線，同側，且到，的距離分別為1，2.點，分別在，上，，那么的最大值為__________．【答案】616.如圖，在棱長為2的正方體中，、分別為棱、的中點，是線段上的點，且，假設、分別為線段、上的動點，那么的最小值為__________．【答案】三、解答題：共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.〔一〕必考題：60分17.在中，角所對的邊分別為，.〔1〕求的值；〔2〕假設為邊上的點，且，求的長.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)CD=13．【解析】試題分析:〔1〕先根據正弦定理將邊角關系化為角的關系，再根據三角形內角關系以及兩角和正弦公式化簡可得，最后根據兩角和余弦公式求的值；〔2〕先根據正弦定理求得BD，再根據余弦定理求的長.試題解析：(Ⅰ)解：由得：即∵A、B、C是△ABC的內角，∴因此，，又，故由得：∴(Ⅱ)解：由得：由正弦定理得：，∴在△BCD中，∴CD=13．18.如圖，菱形與正所在平面互相垂直，平面，，.〔1〕證明：平面；〔2〕假設，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明過程詳見解析〔2〕【解析】【分析】〔1〕過點作于，由面面垂直的性質可知平面，又平面，可得，即四邊形為平行四邊形，得到線線平行，從而得到線面平行；〔2〕分別以，，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的向量公式進行計算即可得到答案.【詳解】解：〔1〕如圖，過點作于，連接EH，∴.∵平面平面，平面，平面平面于∴平面.又∵平面，.∴，∴四邊形為平行四邊形.∴，∵平面，平面，∴平面.〔2〕連接.由〔1〕得為中點，又，為等邊三角形，∴.分別以，，為軸建立如下圖的空間直角坐標系.那么，，，.，，，設平面的法向量為.由，得令，得.，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查線面平行的判定定理和利用空間向量求線面角，利用空間向量解題的一般步驟是：〔1〕觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；〔2〕寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；〔3〕設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；〔4〕將空間位置關系轉化為向量關系；〔5〕根據定理結論求出相應的角和距離.19.某種產品的質量以其質量指標值來衡量，質量指標值越大說明質量越好，記其質量指標值為，當時，產品為一等品；當時，產品為二等品；當時，產品為三等品.現有甲、乙兩條生產線，各生產了100件該產品，測量每件產品的質量指標值，得到下面的試驗結果.〔以下均視頻率為概率〕甲生產線生產的產品的質量指標值的頻數分布表：指標值分組頻數10304020乙生產線產生的產品的質量指標值的頻數分布表：指標值分組頻數1015253020〔1〕假設從乙生產線生產的產品中有放回地隨機抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；〔2〕假設該產品的利潤率與質量指標值滿足關系：，其中，從長期來看，哪條生產線生產的產品的平均利潤率更高？請說明理由.【答案】〔1〕〔2〕甲【解析】【分析】〔1〕先求出隨機抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式計算所求概率值；〔2〕分別計算甲、乙生產線生產產品的利潤分布列，作差比擬大小即可得到結論.【詳解】解：〔1〕由題意知，從乙生產線生產的產品中隨機抽取一次抽中三等品的概率為，所以.〔2〕甲生產線生產的產品的利潤分布列為0.60.4所以，乙生產線生產的產品的利潤分布列為0.50.40.1所以，因為，所以所以從長期來看，甲生產線生產的產品平均利潤率較大．【點睛】此題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法.20.橢圓的離心率為，其上焦點到直線的距離為.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕過點的直線交橢圓于，兩點.試探究以線段為直徑的圓是否過定點？假設過，求出定點坐標，假設不過，請說明理由.【答案】〔1〕〔2〕詳見解析【解析】【分析】〔1〕由橢圓離心率結合得到a,b,c之間的關系，計算焦點到直線的距離得到a,b的值，從而得到橢圓方程;〔2〕當直線l斜率不存在時，得到為直徑的圓的方程，當直線l斜率為0時，得到為直徑的圓的方程，從而得到兩圓的交點Q，然后只需證明當直線的斜率存在且不為0時為直徑的圓恒過點Q即可.【詳解】解：〔1〕由題意，，，所以，.又，，所以，，故橢圓的方程為〔2〕當軸時，以為直徑的圓的方程為當軸時，以為直徑的圓的方程為.可得兩圓交點為．由此可知，假設以為直徑的圓恒過定點，那么該定點必為．下證符合題意．設直線的斜率存在，且不為0，那么方程為，代入并整理得，設，，那么，，所以故，即在以為直徑的圓上．綜上，以為直徑的圓恒過定點．【點睛】此題主要考查橢圓標準方程、直線與橢圓的位置關系以及曲線過定點問題，解決曲線過定點問題一般有兩種方法：①探索曲線過定點時，可設出曲線方程，然后利用條件建立等量關系進行消元，借助于曲線系的思想找出定點，或者利用方程恒成立列方程組求出定點坐標.②從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關.21.函數.〔1〕求函數在區間上的最大值；〔2〕證明：，.【答案】〔1〕〔2〕證明過程詳見解析【解析】【分析】〔1〕對函數求導，判斷單調性，由單調性即可得到函數的最值;〔2〕由題意可知只需證明結合〔1〕的單調性和最值即可得到證明.【詳解】解：〔1〕，，知：在和上遞減，在上遞增，當時，；當時，，故〔2〕由〔1〕知在和上遞減，在上遞增，①當時，，而，故在上遞增，∴，∴，即；②當時，，令，那么，故在上遞增，上遞減，∴∴，即，綜上，，.【點睛】此題考查利用導數求函數的最值和證明不等式問題,考查學生的綜合分析能力.〔二〕選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分.22.在直角坐標系中，直線的參數方程為〔為參數〕，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標，曲線的極坐標方程為.〔1〕寫出曲線的直角坐標方程與直線的極坐標方程；〔2〕假設直線與曲線交于點〔不同于原點〕，與直線交于點，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】(1)先根據極坐標與直角坐標的對應關系得出極坐標方程C，將直線參數方程化為普通方程；(2)將分別代入直線l和曲線C的極坐標方程求出A，B到原點的距離，作差得出|AB|．【詳解】〔1〕∵，∴，∴曲線C的直角坐標方程為．∵直線l的參數方程為〔t為參數〕，∴．∴直線l的極坐標方程為．〔2〕將代入曲線C的極坐標方程得，∴A點的極坐標為．將代入直線l的極坐標方程得，解得．∴B點的極坐標為，∴．【點睛】此題考查了極坐標方程與直角坐標方程的轉化，參數的幾何意義，屬于根底題．23.函數.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設不等式有解，求實數的取值范圍.【答案】〔1〕