22222222①aeaba。|教：光一,空間向量的直角坐標運算:1,(1)a,,)bb,)，aaa)，33a,))(，1223abb，123//aa(133babb。123

，(2)若A(xyz)，B(xy,z)，則AB,z111212121(3)模長公式：a,,a)bbb)，3|abbb1213aab(4)夾角公式cos11|ab2

。（5）兩點間的距離公式：若(x,)，(x,)122AB(x))2)，21d

A,

x)2)2)21212

22,空間向量的數量積。1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量

b，在空間任取一點

作OA,則AOB叫做向ab的夾角，記作且規0然ba，則稱a互相垂直，記作ab。2（2）向量的模：OAa，則有向線的長度叫做向的長度或模，記作||（3向量的數量積已知向量|a即a（4）空間向量數量積的性質：

b叫數量積記a，1

相信自己可以

（5）空間向量數量a。交換律a（分律平面的向量的概念定義：已知平面，直線，取的方向向量，有，則稱為為平面量。

的法向注意：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量。已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量。平面法量的求法（1）平面法向量的確定通常有兩種方法：①幾何體中已經給出有向線段，只需證明線面垂直；②幾何體中沒有具體的直線，此時可以采用待定系數法求解平面的法向量。（2）在空間直角坐標系中，求出一個平面的法向量的坐標，一般步驟如下：①設出平面的法向量為。②找出（求出）平面內的兩個不共線的向量的坐標，，。③根據法向量的定義建立關于，y，z的方程組④解方程組，取其中的一個解，即得法向量。由于一個平面的法向量有無數個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量。以是平

的法向量一、空向量解決平、垂直空間角和空距離的本模型。1直線與平面行與垂的判定

aa（1a

a

（2an2平面與平面行與垂（1

n2

相信自己可以

（2n111

1

23立體幾何中角（1異面直線所成的角ABcosAB

ABCD（2）.平面與平面所成的角nncos((圖一)nnnn22

（圖二）n122

（圖一）（圖二）（3線面角求法：設直線的方向向量為平面的法向量為直線與平面所成的角為，與的角為，則有。4立體幾何中各種距（1）點面距的求：如圖，BO⊥平面，垂足為O，則點B到平面若AB是平面的任一條斜線段，則在Rt△BOA中，

的距離就是線段BO的長度。。設平面

的法向為，則點B到平面

的距離為。3

相信自己可以

（2）.兩異面線距離的求如圖，設，是兩條異面直線，是與的公垂線段的方向向量，又C，D分別是，上任意兩點，則與的距離是。用向量法求點面距的一般驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發的平面的任一條斜線段對應的向量；③求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離。即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量。線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。直線與平面之間的距離：，其中，是平面

的法向量。兩平行平面

之間的距離：

，其中

z，是平面

的法向量。

C

B二、空向量在高考的應用例1．3.如圖,在直三棱柱－ABC中，＝3，＝4，111

A

EAA＝4，DAB中點，（I）求證AC⊥；（II）11

C

By求證：AC//平面；11

x

A2,如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，，底面，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。4

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πA(1)求證：BM∥平面PADπA(2)在側面PAD內找一點N，使MN面PBD；(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。3,如圖，四棱錐PABCD中，側PDC是邊長為的正三角形且與底面垂直底面PB的中點.(Ⅰ)求與底面ABCD成角的大小；(Ⅱ)求證：PA平CDM；(Ⅲ)求二面角DMCB的余弦值.

的菱形，M為4,如圖三棱ABC中VC⊥面ABC⊥BCD是AB的中點，∠VDC．

Ｖ（I）求證：平VAB⊥VCD；（II）試確定的值，使得直線BC與平所成的角為．6，5,已知斜三A