第頁浙江省余杭高級中學高三上學期第二次階段性檢測數學（理）試題考生須知:1.本卷滿分150分,考試時間120分鐘.2.答題前,在答題卷密封區內填寫學校、班級和姓名.3.所有答案必須寫在答題卷上,寫在試題卷上無效.4.考試結束,只需上交答題卷.選擇題部分一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．1．已知，那么復數對應的點位于復平面內的（▲）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限2．設集合，則等于（▲）A． B． C．D．3．如果對于任意實數，＜＞表示不小于的最小整數，例如＜＞，＜＞，那么“”是“”的(▲)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．設數列的前n項和，則的值為（▲）A．15 B．16C．49D．5．8月在北京召開了國際數學家大會,會標如圖示,它是由四個直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形,若直角三角形中較小的銳角為,大正方形面積是1,小正方形面積是,則的值是（▲）A．B．C．D．6．已知非零向量a，b滿足|a+b|=|a–b|=|a|，則a+b與a–b的夾角為（▲）A．B．C．D．7．設函數，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處的切線的斜率為（▲）A．4B．C．2D．8．已知函數為奇函數，該函數的部分圖象如圖所示，是邊長為2的等邊三角形，則的值為(▲)A． B．C． D．9．定義一種運算，令，且，則函數的最大值是（▲）A． B．C．1 D．10．已知，若函數不存在零點，則c的取值范圍是（▲）A． B． C． D．非選擇題部分二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．11．已知向量，，，若∥，則=▲．12．若函數，則=▲.13．設的最小值為▲．14．已知數列滿足：則▲．15．已知，且，則▲．16．當一個非空數集F滿足條件“如果，則，并且當時，”時，我們就稱F為一個數域。以下四個關于數域命題：①0是任何數域的元素；②若數域F中有非零元素，則；③集合是一個數域；④有理數是一個數域。其中正確命題的序號為▲．17．給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為．如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動.若其中,則的最大值是▲．

三、解答題:本大題共5小題,共72分．解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟．18.（本小題滿分14分）在中，角所對的邊為，已知。（1）求的值；（2）若的面積為，且，求的值。19．（本小題滿分14分）設首項為，公差為的等差數列的前項和為，已知。（1）求及；（2）若數列滿足，求數列的通項公式。20．（本小題滿分14分）已知函數滿足，當時，；當時，。（1）求函數的單調區間；（2）若，求函數在時的零點個數。21．（本小題滿分15分）已知向量。（1）求當時函數的值域；（2）是否存在實數若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之。22．（本小題滿分15分）設函數，其中為常數。（1）當時，求函數的單調區間；（2）若函數有極值點，求的取值范圍及的極值點；（3）證明：對任意不小于的正整數，不等式都成立。

余杭高級中學高三第二次階段性檢測數學（參考答案及評分標準）三、解答題18．解：（1）…………6分 （2），由正弦定理可得：由（1）可知…………8分，得到由余弦定理可得………12分由可得或，所以或…………14分19．解：（1）因為是首項為，公差為的等差數列解得…………6分（2）由題可知：①②①-②可得…………9分由（1）可知…………11分所以…………13分符合，所以…………14分20.解：（1）由題可知由可知，即函數是以2為最小正周期的周期函數由圖可知，函數的單調遞減區間為，遞增區間為…………6分21．解：（1）………5分由，所以………………8分所以函數的值域為………………10分（2），即，，所以。…………13分因為，且，所以不存在。…………15分22．解：（1）當時，函數，此時有惟一極小值點，………………3分則當時，，所以在上為減函數，當時，，所以在上為增函數。………………5分（2）由題意得，的定義域為，，……6分①當時，，函數在定義域上單調遞增。此時函數無極值點；…7分②當時，有兩個相同的解，但當時，；當時，，所以當時，函數在上無極值點；……8分③當時，有兩個不同解，，④當時，，舍去。而，此時，當時，單調遞減，當時，，單調遞增，所以當時有惟一極小值點。………………9分當時，，此時，當時，單調遞增，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，有一個極大值點和一個極小值點……………10分綜上所述，當且僅當時，有極值點：當時有惟一極小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點……11分解法二：（Ⅰ）由題意得，的定義域為，…7分如圖作出函數的圖象，當時，由可解得……………9分由圖象可知：當且僅當時，有極值點：當時有惟一極小值點……10分當時，有一個極大值點和一個極小值點………11分（3）由（1）知時，函