2008年全國統一高考數學試卷（理科）（全國卷I）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）（5分）函數戶＞/京（芝-1）卜右的定義域為（ ）A.{x|xN0}B.{x|xNl}C.（x|x^l}U{0}D.{x|0WxWl}（5分）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是（ ）3.（5分）ffiAABC中，U二，AC=b.若點D滿足瓦i=2丘，則15=（ ）A.奈成 B.蕓成 C.奈半 D.導與（5分）設aER,且（a+i）2i為正實數，則a=（ ）A.2 B.1 C.0 D.-1（5分）已知等差數列{aj滿足a2+a4=4,a3+a5=10,則它的前10項的和S】。二（）A.138B.135A.138B.135C.95D.236.（5分）若函數y寸（x）的圖象與函數y=lnV；+l的圖象關于直線y=x對稱，則6.f(x)=( )A.e2x-2B.e2xA.e2x-2B.e2xC.e2x+iD.e2x+27.（5分）已知曲線y7.（5分）已知曲線y=笠tL在點（3,2）處的切線與直線ax+y+l=0垂直，則aK-1的值為（ ）8.B.-i2（5分）為得到函數8.B.-i2（5分）為得到函數E頊寫眉）的圖象，只需將函數序協的圖象（）A.2D.-2A.向左平移匹個長度單位 B.向右平移匹個長度單位12 12C.向左平移羅L個長度單位 D.向右平移旦丄個長度單位6 69.（5分）設奇函數f（x）在（0,+8）上為增函數，且f（l）=0,則不等式&—9<0的解集為（A.(-1,0)U(1,+°°)B.(-8, -1)u(0,1)C.(-A.(-1,0)U(1,+°°)B.(-8, -1)u(0,1)C.(-8, -1)U(1,+8)D.(-1,0)U(0,1)10.（5分）若直線土湛與圓x2+y2=l有公共點，則（abA.32+b2<lB.32+b2^1C.丄a211.（5分）已知三棱柱ABC-A]B]C]的側棱與底面邊長都相等，A】在底面ABC

內的射影為^ABC的中心，則AB]與底面ABC所成角的正弦值等于（ ）D.1

~~2

aAA.丄3A.丄312.（5分）如圖,D.匕3一環形花壇分成A,B,C,D四塊，現有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為B.84C.60D.48B.84C.60D.48二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13.（5分）若x,y滿足約束條件則z=2x-y的最大值為 （5分）已知拋物線y=ax2-1的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的 三個交點為頂點的三角形面積為 .（5分）在^ABC中，AB=BC,C0Sg=_-L.若以A,B為焦點的橢圓經過點C,18則該橢圓的離心率e= .（5分）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為寸3,M,N分別是AC,BC的中點，貝I]EM,AN所成角的余弦值3等于 .三、解答題（共6小題，滿分70分）（10分設△ABC的內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且acosB-bcosA^-c.5（I）求也 的值；tanB（H）求tan（A-B）的最大值. 18.（12分）四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC丄底面BCDE,BC=2,CD=.2,AB=AC.（I）證明：AD丄CE； （H）設CE與平面ABE所成的角為45°,求二面角C-AD-E的大小.D19.(12分)已知函數f(x)=-x2+ax+l-Inx.(I)當a=3時，求函數f(x)的單調遞增區間；(H)若f(x)在區間(0,丄)上是減函數，求實數a的取值范圍.220.(12分)已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.(I)求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；(H)&表示依方案乙所需化驗次數，求&的期望.21.（12分）雙曲線的中心為原點0,焦點在x軸上，兩條漸近線分別為I】，12,經過右焦點F垂直于I]的直線分別交I],匕于A,B兩點.已知IoaKIabKI瓦I成等差數列，且EF與瓦同向.（I）求雙曲線的離心率；（H）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.22.(12分)設函數f(x)=x-xlnx.數列｛aj滿足0<a1<l,ana=f(an).(I)證明：函數f(x)在區間(0,1)是增函數；(H)證明：a<anl<l；nn+l—b(B)設b￡(電，1),整數k —.證明：ak1>b.日］Inb +2008年全國統一高考數學試卷（理科）（全國卷I）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.（5分）函數1） 的定義域為（ ）A.{x|xN0}B.{x|xNl}C.（x|x^l}U{0}D.{x|0WxWl}【考點】33：函數的定義域及其求法.【分析】偶次開方的被開方數一定非負.x（x-1）NO,xNO,解關于x的不等式組，即為函數的定義域.【解答】解：由x（X-1）N0,得xNl,或xWO.又因為xNO,所以xNl,或x=0；所以函數的定義域為{x|xNl}U{0}故選：C.【點評】定義域是高考必考題通常以選擇填空的形式出現，通常注意偶次開方一定非負，分式中分母不能為0,對數函數的真數一定要大于0,指數和對數的底數大于0且不等于I.另外還要注意正切函數的定義域.2.（5分）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是（ ）【考點】3A:函數的圖象與圖象的變換.【專題】16：壓軸題；31：數形結合.【分析】由已知中汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，汽車的行駛路程s看作時間t的函數，我們可以根據實際分析函數值S（路程）與自變量t（時間）之間變化趨勢，分析四個答案即可得到結論.【解答】解：由汽車經過啟動后的加速行駛階段，路程隨時間上升的速度越來越快，故圖象的前邊部分為凹升的形狀；在汽車的勻速行駛階段，路程隨時間上升的速度保持不變故圖象的中間部分為平升的形狀；在汽車減速行駛之后停車階段，路程隨時間上升的速度越來越慢，故圖象的前邊部分為凸升的形狀；分析四個答案中的圖象，只有A答案滿足要求，故選：A.【點評】從左向右看圖象，如果圖象是凸起上升的，表明相應的量增長速度越來越慢；如果圖象是凹陷上升的，表明相應的量增長速度越來越快；如果圖象是直線上升的，表明相應的量增長速度保持不變；如果圖象是水平直線，表明相應的量保持不變，即不增長也不降低；如果圖象是凸起下降的，表明相應的量降低速度越來越快；如果圖象是凹陷下降的，表明相應的量降低速度越來越慢；如果圖象是直線下降的，表明相應的量降低速度保持不變.3.（5分）在^ABC中，AC=b.若點D滿足旬=2說，則奇二（ ）【考點】9B:向量加減混合運算.【分析】把向量用一組向量來表示，做法是從要求向量的起點出發，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點，把整個過程寫下來，即為所求.本題也可以根據D點把BC分成一比二的兩部分入手.【解答】解：???由AD-AB=2(AC-15)????3AD=AB+2AC=c+2b.??.虻*單.故選：A.【點評】用一組向量來表示一個向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎，要學好運算，才能用向量解決立體幾何問題,三角函數問題，好多問題都是以向量為載體的(5分)設a^R,且(a+i)2i為正實數，則a=( )A.2 B.1 C.0 D.-1【考點】A4：復數的代數表示法及其幾何意義.【分析】注意到a+bi(a，b^R)為正實數的充要條件是a>0,b=0【解答】解：(a+i)2i=(a2+2ai-1)i=-2a+(a2-1)i>0，a=-1.故選D.【點評】本題的計算中，要注意到相應變量的范圍.(5分)已知等差數列｛an｝滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項的和S10=( )A.138 B.135 C.95 D.23【考點】83：等差數列的性質；85:等差數列的前n項和.【專題】11：計算題.【分析】本題考查的知識點是等差數列的性質，及等差數列前n項和，根據a2+a4=4,a3+a5=10我們構造關于基本量(首項及公差)的方程組，解方程組求出基本量(首項及公差)，進而代入前n項和公式，即可求解.【解答】解：V(a3+a5)-(a2+a4)=2d=6，d=3，a1=-4，...S皿+些址些95.10 1 2故選：C.【點評】在求一個數列的通項公式或前n項和時，如果可以證明這個數列為等差數列，或等比數列，則可以求出其基本項(首項與公差或公比)進而根據等差或等比數列的通項公式，寫出該數列的通項公式，如果未知這個數列的類型，則可以判斷它是否與某個等差或等比數列有關，間接求其通項公式.(5分)若函數y寸(x)的圖象與函數y=lnV；+l的圖象關于直線y=x對稱，則f(x)=( )A.e2x-2 B.e2x C.e2x+i D.e2x+2【考點】4R：反函數.【專題】11：計算題.【分析】由函數y寸(x)的圖象與函數y=ln梔+1的圖象關于直線y=x對稱知這兩個函數互為反函數，故只要求出函數y=f(x)的反函數即可，欲求原函數的反函數，即從原函數y=lnV；+l中反解出x,后再進行x,y互換，即得反函數的解析式.【解答】解：,「廠1二.?.梔二e廣1,「.x=(ey-i)2=0-2,改寫為：y=e2x-2?.?答案為A.【點評】本題主要考查了互為反函數圖象間的關系及反函數的求法.(5分)已知曲線y=WL在點(3,2)處的切線與直線ax+y+l=O垂直，則aK-1TOC\o"1-5"\h\z的值為( )2 B.丄 C.-丄 D.-22 2【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程.【專題】53：導數的綜合應用.【分析】求出函數的導數，切線的斜率，由兩直線垂直的條件，即可得到a的值.

【解答】解：*=也，x-1w/_x-1-（k+1）-~2?y ,（x-l）2 （x-1）2???曲線y二功1在點（3,2）處的切線的斜率k=-丄，X-1 2?.?曲線y二丑在點（3,2）處的切線與直線ax+y+l=O垂直，.二直線ax+y+l=O的斜率k/=-aX-1,即a=-2.故選：D.【點評】本題考查導數的幾何意義的求法，考查導數的運算，解題時要認真審題,仔細解答，注意直線與直線垂直的性質的靈活運用.8.（58.（5分）為得到函數貯5昵*?。┑膱D象,只需將函數y=sin2x的圖象（A.向左平移匹個長度單位A.向左平移匹個長度單位12C.向左平移四個長度單位6向右平移匹個長度單位12D.向右平移四個長度單位6【考點】HJ：函數y=Asin（sx+。）的圖象變換.【專題】11：計算題.【分析】先根據誘導公式將函數斤（處號）化為正弦的形式，再根據左加右減的原則進行平移即可得到答案.【解答】解：?7=<?口日/￡4^-）二或口/乂'^?-）二藥112（:<+_^_），只需將函數y=sin2x的圖象向左平移翌個單位得到函數斤匚口頊公眉）的圖象?故選：A.【點評】本題主要考查誘導公式和三角函數的平移.屬基礎題.9.（5分）設奇函數f（x）在（0,+°°）上為增函數，且f（l）=0,則不等式FG）「Hr）V0的解集為（）B.(-8,_1)U(O,1)A.（-1,B.(-8,_1)U(O,1)D.(-1,0)U(0,1)(-8, -1)U(1,+8)D.(-1,0)U(0,1)【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合.【專題】16：壓軸題.【分析】首先利用奇函數定義與沱-O 得出x與f(x)異號，然后由奇函數定義求出f(-1)=-f(1)=0,最后結合f(x)的單調性解出答案.【解答】解：由奇函數f(X)可知fCx)-f(-s) <Q?即X與f(X)異號,K K而f(1)=0,貝1Jf(-1)=-f(1)=0,又f(x)在(0,+8)上為增函數，則奇函數f(x)在(-8,0)上也為增函數，當0<x<l時，f(x)<f(1)=0,得貝云)vo,滿足；當x>l時，f(x)>f(1)=0,得淪)〉0,不滿足，舍去；K當-lVxVO時，f(x)>f(-1)=0?得VO,滿足；x當x<-1時，f(x)<f(-1)=0,得旦立>0,不滿足，舍去；X所以x的取值范圍是-1VXV0或OVxVl.故選：D.【點評】本題綜合考查奇函數定義與它的單調性.10.(5分)若直線王盧二1與圓x2+y2=l有公共點，則(abA.a2+b2<lB.a2+b2^1 C. 12\ab【考點】J9：直線與圓的位置關系.【分析】用圓心到直線的距離小于或等于半徑，可以得到結果.【解答】解：直線與圓有公共點，即直線與圓相切或相交得：dWr

故選：D.【點評】本題考查點到直線的距離公式，直線和圓的位置關系，是基礎題.11.（5分）已知三棱柱ABC-A]B]C]的側棱與底面邊長都相等，A】在底面ABC內的射影為^ABC的中心，則AB]與底面ABC所成角的正弦值等于（ ）D'f【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系.【專題】11：計算題；31：數形結合；4R：轉化法；5G：空間角.【分析】法一：由題意可知三棱錐氣-ABC為正四面體，設棱長為2,求出AB】及三棱錐的高，由線面角的定義可求出答案；法二：先求出點A】到底面的距離A#的長度，即知點％到底面的距離B]E的長度，再求出AE的長度，在直角三角形AEB]中求AB】與底面ABC所成角的正切，再由同角三角函數的關系求出其正弦.【解答】解：（法一）因為三棱柱ABC-A]B]C]的側棱與底面邊長都相等，A】在底面ABC內的射影為^ABC的中心，設為D,所以三棱錐A]-ABC為正四面體，設棱長為2,則^AAiB]是頂角為120。等腰三角形, 所以AB]=2X2Xsin60°=2膜，A]D=J廣乂扼）所以AB]與底面ABC所成角的正弦值為址二登1返;1 AB]2V33（法二）由題意不妨令棱長為2,點B]到底面的距離是B]E,如圖，A]在底面ABC內的射影為^ABC的中心，設為D,

故DA二四1,3由勾股定理得A]D=M|二半故B戶繆,如圖作A]S丄AB于中點S,過B1作AB的垂線段，垂足為F,BF=1,B1F=A1S-/3，AF=3,在直角三角形B]AF中用勾股定理得：AB]=2龍，所以AB.與底面ABC所成角的正弦值sin/B_,AE=^L=」2.1 1 2^33【點評】本題考查了幾何體的結構特征及線面角的定義，還有點面距與線面距的轉化，考查了轉化思想和空間想象能力.12.（5分）如圖，一環形花壇分成A,B,C,D四塊，現有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為B.84CB.84C.60D.48【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率.【專題】16：壓軸題.【分析】這道題比起前幾年出的高考題要簡單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結果.【解答】解：分三類：種兩種花有A42種種法；種三種花有2A43種種法；種四種花有A44種種法.共有A42+2A43+A44=84.故選：B.【點評】本題也可以這樣解：按A-B-C-D順序種花，可分A、C同色與不同色有4X3X（1X3+2X2）=84.二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）丄+y〉。13.（5分）若x,y滿足約束條件＜ 則z=2x-y的最大值為9.【考點】7C：簡單線性規劃.【專題】11:計算題；13:作圖題.【分析】首先作出可行域，再作出直線l0：y=2x，將I。平移與可行域有公共點，直線y=2x-z在y軸上的截距最小時，z有最大值，求出此時直線y=2x-z經過的可行域內的點的坐標，代入z=2x-y中即可.【解答】解：如圖，作出可行域，作出直線I0：y=2x，將I0平移至過點A處時，函數z=2x-y有最大值9.【點評】本題考查線性規劃問題，考查數形結合思想.14.（5分）已知拋物線y=ax2-1的焦點是坐標原點，則以拋物線與兩坐標軸的

三個交點為頂點的三角形面積為2【考點】K8：拋物線的性質.【專題】11：計算題.【分析】先根據拋物線y=ax2-1的焦點坐標為坐標原點，求得a,得到拋物線方程，進而可知與坐標軸的交點的坐標，進而可得答案.【解答】解：由拋物線y=ax2-1的焦點坐標為（°,丄_1）坐標原點得，4a4 4與坐標軸的交點為（0,-1）,（-2,0）,（2,0），則以這三點圍成的三角形的面積為丄X4X1二2故答案為2【點評】本題主要考查拋物線的應用.考查了學生綜合運用所學知識，解決實際問題的能力.15.（5分）在^ABC中，AB=BC, 二二.若以A，B為焦點的橢圓經過點C，1&則該橢圓的離心率e=旦.f—【考點】K4：橢圓的性質.【專題】11:計算題；16：壓軸題.【分析】設ABWG1，匸口紀二壬，則二AB’+BC’-□就號，由此可知2^巽，2c=l，從而求出該橢圓的離心率.3【解答】解：設AB=BC=1，。口記二土，則AC2=A&2+BC2-2AB-BC-cosB^y-，????|，涂蒔與2g=1,3????|，涂蒔與2g=1,3e-二一2aS答案：土【點評】本題考查橢圓的性質及應用，解題時要注意的正確計算.16.（5分）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為寸3,M,N分別是AC,BC的中點，貝I]EM,AN所成角的余弦值3等于丄.—6一【考點】LM：異面直線及其所成的角；MJ：二面角的平面角及求法.【專題】11：計算題；16：壓軸題.【分析】先找出二面角的平面角，建立邊之間的等量關系，再利用向量法將所求異面直線用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可.【解答】解：設AB=2,作CO丄面ABDE,0H丄AB,貝I]CH丄AB,ZCHO為二面角C-AB-D的平面角CH淄，0H=CH-coSZCH0=l,結合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐,—k1—k—t..—1—?—AN號(AC+AB)，EJI=yAC-AE?H1 ? 1II."I(AB+ACX—AC-AE)^-故EM,AN所成角的余弦值業卜竺匚故答案為：丄|AN||EM| 6【點評】本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題.三、解答題（共6小題，滿分70分）17.（10分）設^ABC的內角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且acosB-bcosA急c.5求垣也的值；tanB求tan(A-B)的最大值.【考點】GP：兩角和與差的三角函數；HP：正弦定理.【分析】本題考查的知識點是正弦定理及兩角和與差的正切函數，由正弦定理的邊角互化，我們可將已知中aCosB-b<osA=^^進行轉化得5到sinAcosB=4cosAsinB,再利用弦化切的方法即可求垣地的值.tanB由(I)的結論，結合角A,B,C^jAABC的內角，我們易得tanA=4tanB>0,則tan(A-B)可化為 ,再結合基本不等式即可得到tan(AcotB4-4tanB-B)的最大值.【解答】解：(I)在^ABC中，舞配-Me虹L，b由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=^sin.C=—sin(A+B)=^sinAcosB-l-^cosAsinB5 5 5 5即sinAcosB=4cosAsinB,則坦業二#tanB(H)由t"得tanBtanA=4tanB>0+島_r,_tsnA_tanB_tan_14-tanA-tanB_H4tan2B_cotB+4tanB%7寸匚口電?4弋aB一4當且僅當4tanB=cotB,tanB=^-,MnA二2時,等號成立，故當tanA=2,tanB^時，tan(A-B)的最大值為4【點評】在解三角形時，正弦定理和余弦定理是最常用的方法，正弦定理多用于邊角互化，使用時要注意一般是等式兩邊是關于三邊的齊次式.18.(12分)四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC丄底面BCDE,BC=2,

CD^/2，AB=AC.(I)證明：AD±CE；(H)設CE與平面ABE所成的角為45。，求二面角C-AD-E的大小.AE【考點】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法.【專題】5F：空間位置關系與距離.【分析】(1)取BC中點F,證明CE丄面ADF,通過證明線面垂直來達到證明線線垂直的目的.(2)在面AED內過點E作AD的垂線，垂足為G,由(1)知，CE丄AD,則NCGE即為所求二面角的平面角，^CGE中，使用余弦定理求出此角的大小.【解答】解：(1)取BC中點F,連接DF交CE于點0,VAB=AC,??.AF丄BC.又面ABC丄面BCDE,「.AF丄面BCDE,「.AF丄CE.再根據tan/CE"tan/FDC=g，可得ZCED=ZFDC.又ZCDE=90°,Z0ED+Z0DE=90o,ZDOE=90°,艮卩CE丄DF,「.CE丄面ADF,「.CE丄AD.(2)在面ACD內過C點作AD的垂線，垂足為G.?「CG丄AD,CE丄AD,「.AD丄面CEG,「.EG丄AD,則ZCGE即為所求二面角的平面角.作CH丄AB,H為垂足.???平面ABC丄平面BCDE,矩形BCDE中，BE丄BC,故BE丄平面ABC,CHu平面ABC,故BE丄CH,而ABEBE=B,故CH丄平面ABE,?.?NCEH=45°為CE與平面ABE所成的角.?「CE=.E，???CH=EH=.：-3.

直角三角形CBH中，利用勾股定理求得日七而7勺產而専】，.?.AH=AB-BH=AC-1;直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+(AC-1)2,AAB=AC=2.由面ABC丄面BCDE,矩形BCDE中CD丄CB,可得CD丄面ABC,故^ACD為直角二角形，AD二°自。2+CD4+故CG捋律年DG二正*乎EG=A/nE2-DG2=^p-,又CE=V&,2CG-GE則4CGE矣*C萼,2CG-GE??/CGE二兀-arcc□s( ，【點評】本題主要考查通過證明線面垂直來證明線線垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，屬于中檔題.19.(12分)已知函數f(x)=-x2+ax+l-Inx.(I)當a=3時，求函數f(x)的單調遞增區間；(H)若f(x)在區間(0,丄)上是減函數，求實數a的取值范圍.2【考點】3D：函數的單調性及單調區間；3E:函數單調性的性質與判斷.【專題】16：壓軸題.【分析】(I)求單調區間，先求導，令導函數大于等于0即可.(2)已知f(x)在區間(0,丄)上是減函數，即F(x)W0在區間(0,丄)上2 2恒成立，然后用分離參數求最值即可.【解答】解：(I)當a=3時，f(x)=-x2+3x+l-Inx.?十(小一寫+3?二-SJhDX Z解f(x)>0,即：2X2-3x+l<0函數f(x)的單調遞增區間是(丄，1).(II)F(x)=-2x+a-―,Vf(x)在(0,+)上為減函數，.\xe(qs丄)時-2x+a- 0恒成立.2 K即aW2x+丄恒成立.設=2x+—?則丁(x)=2—當?.?xE(0s時，%>4,.?.g，(x)<0,???g(x)在(o,§)上遞減，.*.g(x)>g(丄)=3,2—3.【點評】本題考查函數單調性的判斷和已知函數單調性求參數的范圍，此類問題一般用導數解決，綜合性較強.20.(12分)已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物.血液化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病.下面是兩種化驗方法：方案甲：逐個化驗，直到能確定患病動物為止.方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗.若結果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗.求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；(H)&表示依方案乙所需化驗次數，求&的期望.【考點】C6：等可能事件和等可能事件的概率；CH：離散型隨機變量的期望與方差.【分析】(1)由題意得到這兩種方案的化驗次數，算出在各個次數下的概率，寫出化驗次數的分布列，求出方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率.根據上一問乙的化驗次數的分布列，利用期望計算公式得到結果.【解答】解：(I)若乙驗兩次時，有兩種可能：①先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好一次驗中概率為:C2A3%知X1 _6乂6 、1A3%；一3踞逐’②先驗三只結果為陰性，再從其它兩只中驗出陽性(無論第二次試驗中有沒有,均可以在第二次結束)嘴M24 2—:二 二—，疽/5x3x45..?乙只用兩次的概率為555若乙驗三次時，只有一種可能：先驗三只結果為陽性，再從中逐個驗時，恰好二次驗中概率為在三次驗出時概率為里..?甲種方案的次數不少于乙種次數的概率為:*(3洗(好弋)保嘖*(H)&表示依方案乙所需化驗次數,.云的期望為E^=2X0.6+3XQ.4=2.4.【點評】期望是概率論和數理統計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數，學習期望將為今后學習概率統計知識做鋪墊.同時，它在市場預測,經濟統計，風險與決策等領域有著廣泛的應用，為今后學習數學及相關學科產生深遠的影響.21.（12分）雙曲線的中心為原點0,焦點在x軸上，兩條漸近線分別為I”12,經過右焦點F垂直于I]的直線分別交I],匕于A,B兩點.已知IoaKIabK1551成等差數列，且毎與瓦同向.（I）求雙曲線的離心率；（H）設AB被雙曲線所截得的線段的長為4,求雙曲線的方程.【考點】KB：雙曲線的標準方程；KC：雙曲線的性質.【專題】11：計算題；16：壓軸題.【分析】（1）由2個向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率.（2）利用第（1）的結論，設出雙曲線的方程，將AB方程代入，運用根與系數的關系及弦長公式，求出待定系數，即可求出雙曲線方程.22 _H H【解答】解：（1）設雙曲線方程為土土二L/二，+/,由商，瓦同向，ab2..?漸近線的傾斜角范圍為（0,匹），4■7 9 9.??漸近線斜率為：kl=-<l-A=^^=e2-l<b.-.l<e2<2-1a 丄日 "■oaKIaSKIobI成等差數列，...|ob|+|oa|=2|ab|,/.Iab12=(|ob|-|oa|)(|ob|+|oa|)=(|ob|-|oa|)?2|ab|,???雄頃lOBl-l叫)曲，I|oa|+|ob|=2|ab?.?|0A|二號曲丨IlOAl?翠曲丨‘，

可得：而在直角三角形SB中，注意到三角形。AF也為直角三角形，即tanZAOB=|；2k1-k2爭項"2=。，?,_b_c-a13a252k1-k2爭項"2=。，?,_b_c-a13a25?抵4e2(2)由第(1)知，a=2b,2可設雙曲線方程為4b2b2J,2由于AB的傾斜角為2L+丄NAOB,故AB的斜率為tan(2L+丄/AOB)=-cot22 22(±ZAOB)=-2,2AAB的直線方程為y=-2(x-應b),代入雙曲線方程得：15x2-32扼bx+84b2=0,+X1.x2=Slbl,1